Диссертация (1150474), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Дубна, 2014.9.Международная конференция «Устойчивость и процессы управления», посвященная 85-летию со дня рождения проф., член-корр. РАН В.И. Зубова, г. Санкт-Петербург, 2015.10. Международная конференция «Современные методы прикладной математики, теорииуправления и компьютерных технологий», г.

Воронеж, 2016 .Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [49-60], [104107]. Статьи [105], [106], [107] опубликованы в журналах, рекомендуемых ВАК. В работах [55,56, 58-60], [105], [106], [107] соавторам принадлежат постановка задачи и проверкаправильности полученных автором диссертационной работы результатов посредством решениязадач другими численными методами. Работа [57] написана в соавторстве с А.

В. Крицкой,которойпринадлежитпостановказадачииеетеоретическоедиссертационной работы принадлежит численное решение задачи.исследование,автору11ГЛАВА 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛАСТОМЕРОВ§ 1.1 Структура и свойства линейных макромолекулЭластомеры при растяжении могут испытывать большие обратимые деформации безразрушения. Это объясняется тем, что их структура представляет собой длинную гибкую цепь(до нескольких тысяч элементов), образованную из молекул, как правило, углерода. Звеньяцепи могут вращаться относительно друг друга, связи С—С при этом играют роль осейвращения. В следствие большой длины макромолекулы способны изгибаться.

Под действиемнагрузки макромолекула способна менять форму, из свернутого в клубок состояния поддействием нагрузки она расправляется. При прекращении действия нагрузки макромолекулавозвращается в исходное состояние, делая деформацию обратимой. Этим объясняется высокаяэластичность полимеров.Попытка связать упругость образца с упругостью составляющих его молекул былапредпринята в 1934-1936 гг. независимо друг от друга V.

Kuhn и H. F. Mark с E. Guth.Впоследствии этим занимались V. Kuhn, P. J. Flory, М. Mooney [108]. В основе ихтеоретическихисследованийлежалистатистическиеметоды.Однакорассматриватьстатистически отдельную молекулу довольно трудно. Чтобы попытаться предсказать свойствареальной молекулы ее пытаются воспроизвести с помощью математической абстракции, вкоторой с целью упрощения пренебрегают некоторыми важными с физической точки зрениясоотношениями. Например, макромолекула представляется как совокупность свободносочлененных звеньев, которые вращаются вокруг связей С—С. Тогда макромолекула можетрасполагаться в пространстве неизмеримо большим количеством разнообразных свернутыхконфигурацийОдним из таких упрощений является представление о макромолекуле как о совокупностисвободно сочлененных звеньев, т.е.

свободно вращающихся вокруг телесного угла,определяемого величиной валентного угла.Основные механические свойства эластомеров были кратко сформулированы К. Ф.Черныхом в [77]:121.Высокоэластичная деформация, достигающая сотен процентов, носит сдвиговыйхарактер. Модуль сдвига в зависимости от степени наполнения эластомера меняется примернов пределах 0,1 – 15 МПа. Эластомеры относятся к низкомодульным материалам.2.При деформации эластомеры проявляют вязкие свойства: ползучесть, релаксациянапряжений, которые связаны с разрушением связей и надмолекулярных образований,деформацией наполнителя.3.При всестороннем сжатии эластомер ведет себя как низкомолекулярное тело(твердое или жидкое).

Модуль объемного сжатия эластомеров имеет порядок 100-1000 МПа.Модуль сдвига на два-три порядка меньше, чем модуль объемного сжатия. Эластомерзначительно «охотнее» меняет форму, чем объем. Поэтому и используется предположение онесжимаемости эластомеров.Эластомеры обладают нелинейными механическими свойствами и, соответственно, прирасчете изделий из эластомеров нельзя использовать закон Гука. Связь между напряжениями идеформациями здесь задается с помощью упругого потенциала [20, 79, 80, 88, 113].§ 1.2 Упругие потенциалыПод упругим потенциалом понимается плотность запасённой энергии деформации присовершении над телом работы внешних сил. Запасённая энергия зависит от измененияотносительного расстояния между частицами эластомера.Введем упругий потенциал  , зависящий от значений инвариантов деформации    1 , 2 , 3  ,i— главные кратности удлинений.

Выделим в деформируемом телеэлементарный объем, как показано на рисунке 1.1.13Рисунок 1.1Пусть длина каждого ребра до деформации dx1, dx2 , dx3 . Пусть параллелепипедрастягивается в направлении координатных осей. На координатных площадках возникаютнапряжения  i . Длина ребер после деформации при таком растяжении будет i dxi , где i— кратности удлинения ребра в результате деформации. Дадим небольшие возможныеприращения кратностям удлинений — i . Тогда приложенные к элементарному объему силысовершат работуU   i  j ki dx j dxk dxi ,i, j, k  1,2,3i  j  k.Эта работа, в силу закона сохранения энергии, расходуется на изменение энергиидеформации, поэтому U      i  j k   i dx j dxk dxi  0.i (1.1)Отсюда, в силу произвольности i , получаем для случая сжимаемого материалазависимость между напряжениями и деформацией, определяемую через упругий потенциал: i  j k .iДля несжимаемого материала i зависимы.

Из условия несжимаемостиJ  123  1получаем231  132  123  0 .Отсюда находим 3 и поставим полученное выражение в (1.1)14  1   2 3   2   3  2 3 0.  1   3  113  1 23  2Оставшиеся в этом выражении вариации 1 и 2 независимы, поэтому справедливыследующие соотношения между напряжениями и упругим потенциалом1   3  1 3,13 2   3  2 3.23Эти выражения можно записать и в такой форме i  ipi i  1, 2,3 ,(1.2)где p ─ скалярная функция.В теории оболочек используется статическая гипотеза Кирхгофа  3 3  31 ,  2  , полагаем p  0,3отсюда находится функцияp  3,3тогда приходим к закону упругости для несжимаемого материала i  i 3i3i  1, 2 .(1.3)На сегодняшний день большинство предложенных в литературных источникахпотенциалов строятся эмпирически на основе экспериментальных данных, а не на основестатистической теории [12, 77, 103, 116].

К числу таких потенциалов относятся потенциалы,которые и будут использоваться в работе при решении задач [79]:степенной потенциал, предложенный К.Ф. Черныхом (типа Огдена): 1     1n  2 n  3n  3  1     1 n  2  n  3 n  3  ;2 nиз которого следуют потенциалы Бартенева-Хазановича ( n  1,   1 ), Муни-Ривлина ( n  2 ),неогуковский ( n  2,   1);Джента — Томаса ( 0    1) [91]Беккера ―Трелоара2   I  3  3 1    ln II 3 ;153  2  i  ln i  1 ;i 1Присса (   1 )1    I  3  4 1    11  21  31  3  ;4Волькенштейна (   1 )1    I  3  4 1    1  2  3  3  ;4Исихары, являющегося частным случаем потенциала Бидермана (   1,   0 )21    I  3  1    II  3    I  3  ;2Чоеглы (   1,   0 )1    I  3  1    II  3    I  3 II  3  ;2Клоснера―Сегала (   1,   0 )21    I  3  1    II  3    II  3  .2В работе [74] для описания поведения мягких биологических тканей использовалисьследующие виды формы  :  1exp  II  3  1 ,   1 exp  2 I  I 2  3II   1 ,2 2  1 exp  2  I  3   1   3  II  3   4  III  3 ,  1 exp  2  I  3   3  II  3   1 ,где  i — постоянные материала.

В этом случае также можно указанным ниже в этом параграфеспособом перейти к использованию степенного потенциала, имеющего более простой вид. Этопозволит облегчить расчет напряженно-деформированного состояния стенок кровеносныхсосудов при различных способах нагружения, а также может оказаться полезным при поискеновых материалов для искусственных аналогов сосудов в ситуации, когда эти сосудыповреждены травмой, атеросклерозом или инфекционным процессом [114].Для всех этих потенциалов  — линейный модуль сдвига, n — безразмерный параметр,а  ирассматриваются как материальные постоянные, I , II , III ,— главные инвариантыдеформации:16I  12  22  32 , II  12 22  2232  3212 , III  12 2232 .Для двухпараметрического семейства потенциалов вида2 n 1  2n  3n  3 ,n2i 2 ni  3nn(1.4)i  1, 2 .Распишем выражения для усилий для некоторых из указанных потенциалов.0 1T1   h 1    1  21 2Черныха:0  11 T2   h 1    1  1      2  1   ;2 12  2 0 1T1  2 h 1  21 2Бартенева — Хазановича:T1 Муни — Ривлина:Неогуковский:Джента — Томаса:T2 ,0 1T2  2 h 1 122; 01 h 1     1  3 2   1    1  22  1  ,2 1 2  01 h 1     2  2 3   1    2  12  1  ;2 1 2 0 1 T1   h  1  3 2  ,1 2 0 1 T2   h  2  2 3  ;1 2 1 2  122  3  1   0 2 2T1  h 1  32   3 1    ,2  1II1 2  12 2  3  2   0 2 2T2  h 2  32   3 1    ;2  2II0 1T1  2 h ln 1  1  2 1  ln 3   ,1 20 1T2  2 h ln 2  1 1  ln 3   ;2 1 2Беккера — Трелоара: 0 , ;22h 1     12  32   4 1    2  14 1 022T2  h 1     22  32   4 1    1  24 2T1 Присса: 1  1      2  2   , 1 17T1 Волькенштейна:T2  021h 1     12  32   4 1    1  24 11 2 ,  021 h 1     22  32   4 1    1  2   .4 22 1  Такое разнообразие предлагаемых потенциалов затрудняет выбор потенциала при расчетеконкретных изделий, поскольку определение физических характеристик основывается наодноосном растяжении образцов.

Характеристики

Список файлов диссертации