Диссертация (1150474), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Предполагается, что радиусвнутреннего контура r * (варианты радиусов 0.1, 0.3, 0.5), а R  1 — радиус внешнего контура.Пусть r *  1 . Граничные условия для системы (4.1) имеют вид:r (1)  1, z(1)  0,при r  r * : r  r *   r * ,  2  1,0z  r*   0Система (4.1) для случая кольцевой мембраны приводится к виду:r 0T1 sin  1 2 0 2q2  r   C2 r T   T cos 012d 2 1 cos   2dr 0dz 1 sin dr 0r074Решение этих уравнений строилось с применением численных методов. На рисунке 4.11представлены формы кольцевой мембраны при различных значениях безразмерного давленияQq00.r R hКруглая мембрана, внутренний радиус 0.11.4Q=2.271.2прогиб10.8Q=2.670.60.40.2000.20.40.60.8радиус11.21.4Рисунок 4.11На рисунке 4.12 показана зависимость давление—максимальный прогиб при разныхr0идля случая сплошной мембраны. Как следует из рисунка 4.12, жесткость кольцевой мембранытем больше, чем больше радиус внутреннего контура.

Максимум давления (рис. 4.12)достигается, как правило, сразу после выхода мембраны за границы опорного контура (рис.4.11).Зависимость между кратностью удлинения1 на внутреннем контуре и максимальнымпрогибом при различных значениях радиуса внутреннего контура показана на рисунке 4.14.Изменения кратности удлинения1 и 2 вдоль радиуса для значения внутреннего радиуса 0.1при Q  2.27 отражена на рисунке 4.15.75Круглая мембрана - кольцо, неогук87r0=0.56r0=0.3Давление54r0=0.13Сплошная мембрана21000.511.522.5Максимальный прогиб33.5Рисунок 4.12Автором работы была проведена серия экспериментов по растяжению круглой кольцевоймембраны нормальным давлением по методике, описанной в параграфе 4.2.

В центре мембраназакреплялась жестко по радиусу, указанному в постановке задачи. В эксперименте наблюдаетсяпотеря устойчивости осесимметричной деформации кольцевой мембраны. После выхода заграницы опорного контура наблюдалось локальное «выпучивание» (рис. 4.13). Некоторыерезультаты экспериментов представлены на рисунке 4.13, на котором отражено изменениеформы мембраны в окрестности точки максимума давления. До точки максимума давления(0.96 атм.) форма мембраны переставала быть осесимметричной. После точки максимумадавления (0.99 атм.) происходило резкое развитие не осесимметричной формы (0.92 атм.).

Виддеформированного кольца сверху при давлении 0.92 атм. отображен на рисунке 4.13. Расчетныеи экспериментальные зависимости «максимальный прогиб – безразмерное давление», как и вслучае круглой мембраны (рис. 4.9) практически совпадают.76Рисунок 4.13Круглая мембрана - кольцо, неогук141 на внутреннем контуре12r0=0.310r0=0.58r0=0.1642000.20.40.60.81Максимальный прогибРисунок 4.141.21.41.677Круглая мембрана, внутренний радиус 0.1, Q =2.671091Кратность,  , 287615432100.10.20.30.420.50.6радиус0.70.80.91Рисунок 4.15§ 4.4 Круглая мембрана с жестким центромРассматривается задача о растяжении мембраны с жестким центром.

Из системы уравнений(4.1) следует квадратура:0r T1 sin   С  1 02 2q r 2 ,2в которой C — постоянная интегрирования.При С=0 справедливо равенство:2 r *T1 sin    qr * ,2где 2 r * - длина окружности жёсткого центра, T1 sin   Tz - вертикальная сила, действующаяна единицу длины,2 r*T1 sin  - суммарная сила, действующая на единицу длины окружностивнутри круга (на контуре жесткого центра), q r * - суммарная сила, действующая со стороны2давления,  r*2- площадь жесткого центра.

В случае нагрузки на внутренний контурдобавляется груз P * 2 r *  C . Поэтому на жестком центре должно выполняться условие: r T sin  01r 0  r*1 *2qr  Pr *278Граничные условия для этой задачи следующие:r (1)  1,z (1)  0,r  r*   r* r T sin  01r 0  r*.1 2 qr *  P*2Для случая мембраны с жестким центром, нагруженной нормальным давлением(конструкция рассматривается как амортизирующее устройство) для различных значенийвнутреннего радиуса отображены зависимости «осадка-вертикальная нагрузка на жестком00центре» на рисунках 4.16 ( r  0.5 ) и 4.17 ( r  0.2 ). В расчетах предполагалось, что0 h 1.6r0=0.55q=0.543Pq=1.52q=210-1q=2.500.511.52z02.533.54Рисунок 4.16Решение строилось с применением численных методов.

Здесь использовались методсеток, метод решения Коши, которые подробнее описаны в § 4.9. Как следует из рисунков 4.16,4.17 зависимость «вертикальная нагрузка - осадка» может иметь точку максимума.792.5r0=0.22q=0.5P1.51q=10.5q=30-0.500.511.52z02.5q=233.54Рисунок 4.17§ 4.5 Контактная задача для круглой мембраныРассматривается задача о растяжении мембраны с жестким центром без поверхностнойнагрузки. Схема растяжения показана на рисунке 4.18.Рис. 4.18Вертикальный подъем мембраны осуществлялся посредством металлической круглойпластины радиусом r . Между пластиной и мембраной соблюдалось свободное скольжение засчет специальной смазки так, что часть мембраны в зоне контакта свободно смещалась вгоризонтальном направлении под действием нагрузки, действующей в вертикальном80направлении. Зона контакта в этой задаче фиксированная, r * не меняется.

В математическойпостановке рассматривались два участка, на которых мембрана деформировалась.Участок 1 — зона контакта. Уравнения (4.1) рассматриваются при следующих граничныхусловиях: 0  r T1   T2r  1,(4.4)0r  2 r0 0*0 r  r00В центральной части форма известна.   0, r  1 r , 2 r0 1  2 .

Из (4.4)rнаходятся 1 , 2 , z  z0 .00Участок 2 Вне зоны контакта рассматриваются уравнения (4.1) при q  0 . r *  r  1 . Здесьдолжны быть удовлетворены следующие граничные условия:z (1)  0,r (1)  1а также1  2 r  r0  *0*,Поскольку общее решение задачи должно быть непрерывным, то при r  rдолжнывыполняться условия:00x  r*   x  r*  I  II00z  r*   z  r*  I  II.Решение системы (4.1) при рассмотренных граничных условиях осуществлялось сприменением численных методов. Некоторые из результатов расчетов представлены на рисунке4.21 в виде зависимости между вертикальной нагрузкой Р и вертикальным перемещением z  0 для радиусов жесткого центра 0.1 и 0.4.

Внешний радиус мембраны принят за единицу. Взадаче о растяжении мембраны с жестким центром без поверхностной нагрузки расчетныезависимости между осадкой и вертикальной нагрузкой были линейными, в отличии отрезультатов, представленных на рисунке 4.16. Решение поставленной задачи было получено81численно, для проверки численных результатов была поставлена серия экспериментов порастяжению образцов разных марок резин диаметром 101 мм посредством подъема винта, наконце которого закреплена шайба радиуса r * (0.1 и 0.4 см) (рисунок 4.19).Рисунок 4.19На рисунке 4.20 приведена расчетная форма мембраны, а также символом «звездочка»показаны экспериментальные точки.Рисунок 4.20822.5n=22R0=0.4P1.51R0=0.10.500123z(0)456Рисунок 4.21Близкий по содержанию эксперимент описан в работе [81], однако методика проведенияэксперимента существенно отличается.

Авторы этой работы реализовали сферическую зонуконтакта с мембраной, тем не менее, несмотря на другую методику проведения эксперимента,полученныеавторамирезультатысогласуютсясрезультатами,полученнымивдиссертационной работе.§ 4.6 Сферическая оболочка под внутренним давлениемРешение уравнений (4.1) для замкнутой сферической оболочки постоянной толщины0h  const радиуса R 0 , нагруженной нормальным давлением, можно получить в явном виде. Всилу симметрии задачи деформированная оболочка отличается от недеформированной тольковеличиной её радиуса. При равенстве усилий в окружном и меридиональном направлениях,кратности удлинения в этих направлениях равны относительному изменению радиуса.

С учетомэтого из уравнений (4.1) следует решение:831  2    R R 0 , T1  T2  T ,00    s r0 ,00r  R sin  , z  R cos  .Разрешающая система уравнений тождественно удовлетворяется, если выполняется02равенство 2T1   ,    R q , из которого при заданном значении давления находитсяотносительное изменение радиуса. Это же уравнение определяет и зависимость междудавлением и деформацией, которая может иметь и точки экстремума. Производная dq d подсчитывается по формулеdq dT 2 R01 3   1  2T1  .d dОтсюда следует, что q  q    будет убывающей величиной, еслиT  2T .В частномслучае степенного потенциала экстремум давления достигается при 3n 2n  3при условии, что n  3 .3 nВ частном случае неогуковского материала экстремум давления достигается при   1.83 ,а для потенциала Бартеньева-Хазановича – при   1.357 .Для сопоставления этих теоретических результатов с экспериментальными былапоставлена серия экспериментов по растяжению эллипсоида вращения внутренним давлением.В качестве экспериментальных образцов брались оболочки с поперечными размерами от 30 ммдо 100 мм при толщине стенки 0,2 мм.

Во всех экспериментах давление измерялось в ммводяного столба с точностью 1 мм. Максимальная погрешность измерения давлениясоставляла 2%. Во всех экспериментах характерным являлось то, что при большихдеформациях после некоторого падения давления при растущих деформациях начинался егорост, если до этого момента материал не разрушался. На рис. 4.22 показана зависимостьдавления от размеров полуосей эллипсоида. Экспериментальные точки обозначены символом«звездочка».Расчетнаязависимость«давление-кратностьудлинения»дляслучаястепенногопотенциала на рисунке 4.23 представлена в виде сплошной линии, экспериментальные точкиобозначены с помощью символа «звездочка».

Как следует из полученных результатов,теоретические и экспериментальные зависимости достаточно хорошо согласуются до кратностиудлинения 2.5. Во всех экспериментах при больших деформациях, начиная с некоторогозначения кратности удлинения, наблюдался минимум зависимости P  z  0   , после которого84рост деформации сопровождался увеличением давления. Степенной потенциал (1.4) не даетполучить точку минимума. Полученные результаты согласуются с результатами, полученнымив [38, 83, 99, 123, 124].Давление (мм.в.ст.)1000800600400200002468Относительные размеры осей1012Рисунок 4.22600500q400300n=22001000012345Рисунок 4.23Полученныевработерасчетныерезультатысогласуютсясэкспериментальными.Максимальное давление достигается при кратности удлинений не больше двух, что согласуетсяс теоретическими результатами, полученными для сферической оболочки.Таким образом, как следует из авторских экспериментальных результатов и теоретическихпредпосылок, резиновые мембраны и оболочки могут иметь ограниченную несущуюспособность по нагрузке, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации