Диссертация (1150474), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

A   A1 , A2  , тогдаrA1 у1   A2 у2 . Если же рассматривать Ay  а , по той же схеме можно найти у0 . у   ci уi  у0 .i 1V   GVVi  0   yi , пусть при интегрировании Vi будут оставаться линейно-независимы.0V   GV  g , V0  0   y0  V0  r  . Если   V1 ,Vr  — фундаментальная матрица системы уравнений (4.7) [42], то решениепредставляется в виде:000V0  r     r  C  V0  r  , C   C1 ,   BV  l   B    l  C  V0  l    b,Cr  .Tоткуда следует, что B  l  C  b  BV0  l  .

Тогда, зная C ,0 находится решение V  r  . Здесь количество решаемых задач Коши 4  r или r .2.Метод сетокПостроение численного решения граничной задачи сводится к построению решениясистемы алгебраических уравнений. Для этого в прямоугольной области [0, l1;0, l2 ] вводитсяравномерная сетка с шагом h1  l1 / n1 в направлении x1 и с шагом h2  l2 / n2 в направлении x2( n1 и n2 — целые числа) с координатами узлов  x1i , x2 j  . Вторые частные производные функцииu  u  x1 , x2  в точке (i, j ) заменяются разностными отношениями 2uijx21ui 1 j  2uij  ui 1 j21h, 2uijx22uij 1  2uij  uij 1h22.97Первые частные производные, необходимые для определения компонент метрического тензора,аппроксимируются следующим образомuijx1ui 1 j  ui 1 j2h1,uijx2uij 1  uij 12h2.Результаты решения задач по всем методам совпадают с точностью до 2-3%.Некоторые особенности численной реализации нелинейных краевых задач.Нелинейные задачи, как правило, имеют неединственное решение.

И здесь частонаблюдается такое свойство решений, как бифуркация — раздвоение (разветвление) решения.На практике это означает наличие у тела нескольких равновесных форм, что согласуется смногочисленнымиэкспериментальнымиданными.Втеориижедляпостроениябифуркационных ветвей используются различные методы (например, метод продолжения попараметру со сменой параметра продолжения, когда кривые можно пройти до интересующейточки, меняя параметр продолжения в предельных точках [97]).В настоящей работе в ходе натурных экспериментов наблюдалось достижение максимумав зависимости «нагрузка-деформация». Эта точка рассматривалась как точка бифуркациирешения. Так, например, в экспериментах по растяжению круглой мембраны нормальнымдавлением достижение точки максимума давления отражено на рисунке 4.8 и в таблице 2.

Вэкспериментах по растяжению кольцевой мембраны одна из возможных равновесных формотражена на рисунке 4.13. Эксперименты по сжатию пластины также подтверждают, чтовозможно не только тривиальное положение равновесия (рисунок 2.3).Такие же результаты экспериментов, связанные с бифуркациями были получены у Feng,Троценко В.А., Трелоара и др. При одноосном растяжении стержня могут образовыватьсяшейки [7, 11, 24, 27], цилиндрической оболочки нормальным давлением — локальное«выпучивание», получено в работах [39, 86, 90, 93, 99].Перейдем к рассмотрению некоторых сложностей, которые, вероятно, возникнут причисленном решении нелинейных задач.

На примере задачи о растяжении мембранынормальным давлением покажем особенности прохождения точки максимума давления.Для прохождения точки максимума зависимости «давление—максимальный прогиб»l(рисунок 4.12) можно взять интеграл V  2 z  s ds , физически означающий объем внутри098растянутой мембраны. Объем пространства под мембраной и давление связаны, согласноуравнению Клапейрона-Менделеева, следующим соотношением:Q V  V0   M ,где под M понимаем некий параметр, пропорциональный массе закачанного воздуха.

Этоуравнение дополняет систему (4.1), и они решаются совместно при заданном значении M .Здесьиспользовалсяследующийвариант. Учтемприрастяжениимембраны некий«паразитный» объем V0 , который появляется еще до начала процесса нагружения вследствиеналичия в установке шлангов, клапанов или даже специально подвешенной емкости. Вопервых, это позволяет повысить точность эксперимента за счет уменьшения воздействиявнешнего давления, а во-вторых, этот подход позволяет выбрать в расчетах начальноеприближение, в качестве одного из значений можно взять M  0 .Следует отметить, что при решении краевой задачи (4.1) может возникнуть ситуация,когда производнаяTобращается в ноль, и тогда матрица Якоби в (4.6) вырождается, так,1например, для упругого потенциала с n  2T121n1 1 n  ,производнаяT   n  2  1n   n  2  1 n  131обращается в ноль при12 n n2.2nТаким образом, если в (1.4) параметр материала n  2 , то матрица Якоби может вырождаться.Подобная ситуация была обозначена в § 4.2, когда растягивающее мембрану усилие достигалоэкстремума, толщина на внутреннем контуре стремилась к нулю.В задаче о растяжении сплошной круглой мембраны нормальным давлением возникаетособенность.

Уравнения движения (4.1) записываются в виде (4.2), и тогда удобно применятьдля решения метод Рунге-Кутты. Однако в этом случае возникает трудность выбора начальных0данных для задачи Коши, поскольку полюс r  0 — особая точка, в которойРассмотрим второе уравнение в системе (4.2):1  2  1.99 0  rT1   T2 cos  . Если решать задачу методами типа Рунге-Кутты, например, используя неявную схему0Эйлера, то из этого уравнения получим в точке r  0 :0  0  rT1    rT1   T2 cos .  h  00Отсюда следует, что в точке r  0hT1  T2 cos .Поскольку T2  T1 ,а h — шаг интегрирования, то есть достаточно малая величина, то эторавенство нельзя удовлетворить.

Решение такой задачи лучше проводить, используя конечноразностную аппроксимацию системы уравнений (4.1). Решение краевой задачи методом стрельбс интегрированием системы дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутты вматематических пакетах Maple, Mathematica, Matlab может не привести к положительномурезультату при использовании встроенных программ, в которых реализуется автоматическийвыбор шага интегрирования.

Поэтому для решения конкретных задач такого рода с учетомвозможной бифуркации авторы создают собственные программные комплексы [97]. Вдиссертационной работе интегрирование осуществлялось на фиксированной сетке неявнымметодом трапеций. Также следует учесть, что если решается задача, учитывающая большиедеформации, то в решении могут появиться большие значения производных (например, рис.4.11), в то же время может оказаться малым коэффициент при старшей производной. Все этоприводит к тому, что итерационный процесс может расходиться, либо может быть недостигнута требуемая точность решения задачи. Таким образом, на практике метод стрельбоказывается эффективен только при малых нагрузках.

Тогда выходом из сложившейсяситуации для решения такого рода задач может стать применение метода сеток в сочетании сметодом установления. Эффективность в этом случае связана еще и с тем, что благодарясовременным компьютерным технологиям удается ускорить процесс вычислений. В частности,так называемая векторизация позволяет значительно сократить время при решении задачиметодом сеток.Следует упомянуть здесь еще одну проблему, которая может возникнуть при решениинелинейныхзадач.Этопроблемавыбораначальногоприближениядляпроцессаинтегрирования. Рассмотрим ее на примере осесимметричной деформации оболочки вращения.Пусть оболочка вращения находится в исходном положении равновесия, в котором1000T1  0 , T2  0 ,   0, r  r , z  0 .Если брать это решение в качестве начального приближения, то первое уравнение в (4.1)0вырождается, а второе принимает вид q r  0 . В этом случае естественно использовать методсеток в сочетании с методом установления.Отметим сложность применения метода сеток без метода установления с учетом особойточки.

Снова обратимся к системе (4.1). При замене производных конечно-разностнымисоотношениями, получаемая при этом разностная схема аппроксимирует краевую задачу (4.1): 0 1   r  r  1   0 1   0 1    ri 1  ri    0 1    r T1    r T1   i i 1    r T1    r T1    1 2h   1 i  1 i 1 hh 1 i i 1z z  T2   qr i  i 1 i 1   0 2h  0 1   z  z 1   0 1   0 1    zi 1  zi    0 1    r T1    r T1   i i 1    r T1    r T1    1 2h   1 i  1 i 1 hh 1 i i 1r r   qr i  i 1 i 1   0 2h В общем виде эти уравнения можно записать таким образом:1Ar  qDz  T2  02h 2,1Az  qDr  02h 2(4.8)где матрицы A, A — трехдиагональные с доминирующей главной диагональю и отличаютсятолько первой строкой, причем известно, что это обратимые матрицы (в условиях растяженияусилие T1 считается положительным). Матрица D — двухдиагональная.

Из второго уравнениявыразим вектор z и подставим в первое, которое примет вид:Fr  T2  0 ,гдеF1A  2h 2 q 2 DA1D .2h 2Итерационная схема для метода сеток тогда предлагается следующей:F k 1r k  T2где k - номер итерации.k 1 0,(4.9)101В линейном случае, когда q  0 , в системе (4.8) отсутствуют слагаемые qDz, qDr ,матрицы A, A полученной системы линейных алгебраических уравнений — трехдиагональные,и существует единственное решение разностной задачи, причем решение может быть полученометодом прогонки. Для устойчивости этого метода в линейном случае должно выполнятьсядостаточное условие [22, 42]:Сi  Ai  Bi .где в данном случае0 1  0 1 Ai   r T1    r T1  , 1 i  1 i 10 1 0 1 Bi   r T1    r T1  , 1 i 1  1 iCi  Ai  BiПри малых q итерационная схема (4.9) также может сходиться, но при больших значениях q всилу непрерывной зависимости матрицы F от q этот итерационный метод может расходитьсяввиду наличия предельной точки по давлению, что подтверждается многочисленнымиz z экспериментами.

Характеристики

Список файлов диссертации