Диссертация (1150474), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Будем искать решение для одного члена ряда (5.12), тогда с учетом (5.13):c1i 1c2 i 20 1  1  cos  ,0000 cos   i 1 sin   cos   i 2 sin  (5.14)0c1c222  11   A 2  1  2  sin  . 11   A 1   0000 cos   i 2 sin   cos   i 2 sin  Левую и правую части первого из уравнений (5.14) разложим в ряд Фурье по косинусам, алевую и правую части второго из уравнений разложим в ряд Фурье по синусам.

Первое00уравнение умножим на cos  , а второе на sin  и проинтегрируем на промежутке0,2  .Получим уравнения для нахождения c1 , c2 :i 121 1c1  i 2i 1  11   2A 12 2 1  211c2  1  1  , 1c1  i 2  11   2A 2  (5.15)222 1c2  1  2  .111Решение этой системы имеет вид: 2  1 1  2   1  1   11   A 12 i   1  1 1  1 с1 2 1  2  11   A 12    1  11   A 22 c2 i   2  11  1   11       1    .    2A 12  2  11   A 12    1  ,1(5.16)22A 211Найденные константы дают возможность построить поле напряжений.2. Мембрана с отверстиемНа внутреннем контуре, задаются следующие граничные условия:T11 cos   T21 sin   0,T12 cos   T22 sin   0.гдеT11  T1  11T21   A x1 x10 x20 x1 12 12 B x20T12   A, x2 x20 x20 x1T22  T2   21, x1 12 B x10 x1  22 x10, x2 x20. x2T1 и T2 - усилия, приложенные на бесконечности.Для случая отверстия решение представляется также в виде суммы ряда, и коэффициентыразложения находятся из удовлетворения выражениям:2  1 1 cos   2  2 sin   eik d  0 .0Как показывают экспериментальные данные (§ 5.5), в первом приближении это эллипс.§ 5.4 Одноосное растяжение мембраны.

Нелинейное решениеУравнения (5.3) с граничными условиями (5.7) являются нелинейными уравнениями, идля поиска их решения использовался метод установления.112x2   12  x1x2 x 11  x1Te e Te e   x0 1  x0 2   x0  x0 1  x0 2 t  x01 111 22xxxxT1 T2 0 T 12  01 e1  02 e 2   0 T 22  01 e1  02 e 2   0  0xx x2 x1   x2 x2   x1  x2 1 2(5.17)Предполагается, что решение этого эволюционного уравнения с учетом граничныхусловий будет стремиться с ростом t к решению уравнения (5.3).Дискретизация этого уравнения по временной переменной осуществлялась обычнымспособомx x(t )  x(t   ) T1 T2 0  0  L T ij , x  ,t x1  x2где- шаг интегрирования по времени.

В неявной схеме правая часть этого уравнениявычисляется в момент времени t , а в явной – в момент времени t   . Поскольку явная схема влинейных задачах имеет узкий диапазон сходимости, а неявная – абсолютно устойчива, то вслучае решения нелинейных задач предпочтение следует отдавать неявной схеме. В работеиспользовался следующий вариант аппроксимации правой части уравнения (5.17) по временнойпеременнойxij (t )  xij (t   ) L T ij (t   ), xij (t )  .(5.18)При такой аппроксимации на каждом временном шаге уравнение (5.18) становитсялинейным относительно вектора x и, соответственно, при его решении можно использоватьметоды решения линейных уравнений.В качестве численного метода решения уравнения (5.18) использовался метод сеток.Этот метод построения численного решения был реализован в математическом пакетеMatlab с использованием его встроенных функций.На рисунке 5.2 показан результат численного решения в виде мембраны размерами 2 на1, растянутой в 2 раза.

Как следует из расчета, сетка искажается в углах, что согласуется сэкспериментальными данными (рис. 1.7).113Рисунок 5.2§ 5.5 Экспериментальные исследованияВ работе для растяжения образцов с отверстиями использовалась экспериментальнаяметодика, разработанная Трелоаром для одноосного растяжения. В экспериментах используетсяустановка, описанная в главе 1.В качестве испытуемых образцов брались полосы листовой резины различных марок(ГОСТ: ТУ 38.105.116-81, ТУ 38.305.05379-95) шириной от 7 см до 12 см, длиной от 15 см до 40см, а толщиной 0.5 мм до 13 мм.На рисунке 5.3 показано как выглядит мембрана, прикрепленная к зажимам дорастяжения.

На рисунке 5.4 образец после растяжения. Во всех экспериментах отверстиепринимало форму, близкую к эллиптической. На рисунке 5.5 показана форма отверстия послерастяжения мембраны в 5 раз, точки соответствуют экспериментальным данным, сплошнаялиния расчетным.Рисунок 5.3114Рисунок 5.4Рисунок 5.5Некоторые из результатов экспериментов приведены на рис. 5.6, 5.7. Все геометрическиехарактеристики (удлинения и размеры полуосей) даны в безразмерном виде (отношение длинымембраны и размеров отверстия к первоначальным размерам).В ходе эксперимента исследовалось влияние ширины образца на раскрытие отверстия,влияние геометрических параметров образца и размеров отверстия на его раскрытие, влияниенапряжений на параметры отверстия.1. Влияние ширины образца на раскрытие отверстияВ этой серии экспериментов растягивались образцы различной длины и ширины, но содинаковыми размерами отверстий.На рисунке 5.6 для образцов длиной 15 см, шириной 10 см, толщиной 0.5 мм и длиной 10см, шириной 15 см, толщиной 0.5 мм с одинаковым диаметром отверстия 12 мм показаноизменение параметров (размеры полуосей) отверстия в зависимости от удлинения.

По оси Х115отложено удлинение, по оси Y большая и малая полуоси эллипса. «Звездочками» отмеченыбольшая и малая полуоси эллипса узкой мембраны, «квадратами» — широкой.Какследуетгеометрическихизэкспериментальныхпараметровисходногоданных,образцаврассматриваемомотносительныедиапазонепоперечныеразмерыдеформируемого отверстия в рамках погрешности измерений от этих параметров практическине зависят.Относительные измененияразмеров полуосей1086420123456Рисунок 5.62.

Влияние геометрических параметров образца и размеров отверстия на его раскрытиеВ этой серии экспериментов растягивались образцы различной длины и ширины, сразличными размерами отверстий.Какследуетизанализаполученныхданныхврассматриваемомдиапазонегеометрических параметров исходных образцов и первоначальных размеров отверстийотносительные поперечные размеры деформируемых отверстий от этих параметров такжепрактически не зависят.3. Влияние напряжений на параметры отверстияЭксперименты из п.1 и п.2 проводились на разных образцах при различных внешнихнагрузках, в этом эксперименте осуществлялось растяжение образца с тремя отверстиямиразных размеров.

Таким образом, вдали от отверстий реализовывалось одно и тоженапряженное состояние при одном и том же уровне напряжений для всех отверстийодновременно. Этот эксперимент ставился таким образом, чтобы можно было определитьобщую кратность удлинения образца и кратность удлинения в окрестности каждого отверстияотдельно.116На рис. 5.7 для образца длиной 358 мм, шириной 100 мм, толщиной 0.8 мм с тремяотверстия диаметрами 15 мм, 26 мм, 35 мм показана зависимость размеров полуосей отверстийот общей кратности удлинения образца.Аналогичный эксперимент был поставлен для образца длиной 370 мм, шириной 100 мм,но с толщиной 13 мм и с двумя отверстия диаметрами 11 мм и 32 мм.Как следует из анализа экспериментальных данных (рис.5.7) относительные размерыразличных отверстий в деформированных образцах, находящихся под одной и той женагрузкой, от их первоначальных размеров практически не зависели при отношениях ширинымембраны к диаметру отверстия больших 2.На рисунке 5.7 «кружками» отмечены параметры малого отверстия, «квадратами» —среднего, «звездочками» — большого.Относительные измененияразмеров полуосей6Отверстия разных диаметров54321011.522.53Рисунок 5.74.

Сопоставление теории и экспериментаДля сопоставления экспериментальных и теоретических результатов по раскрытиюкруглого отверстия необходимо определить физические характеристики материала. Для ихопределения в § 1.3 описаны эксперименты по одноосному растяжению мембраны безотверстия. Найденные константы  , n использовались для определения относительныхразмеров отверстия.117§ 5.6 Искажения однородного напряженно-деформированного состоянияНа мембранах с отверстием однородное напряженное состояние искажается вокрестности отверстия (рис.5.4).

И чем больше деформация, тем больше искажение. Вместе сэтим замечено, что наибольшее искажение происходит в ортогональном к плоскости мембранынаправлении (рис.5.4). При этом при деформациях порядка 500% область искаженияоднородногонапряженногосостояния,какпоказывалиэкспериментальныеданные,сопоставима с размерами отверстия. Поэтому линеаризованный вариант (5.8) нелинейныхуравнений равновесия (5.5) можно использовать для исследования напряженного состояния вокрестности отверстия.

Как следует из рисунка 5.9 при деформациях порядка 100-200 % этовполне допустимо.Наряду с этими искажениями, при растяжении тонких мембран в окрестностирастянутого отверстия наблюдается выход из плоскости мембраны (образуется складка рис.5.8). Размеры складчатой зоны и форма складки зависят от размеров отверстия. В вертикальнойплоскости происходит двусторонний выход.

Характеристики

Список файлов диссертации