Диссертация (1150474), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

если мембрана или оболочка будут находиться под нагрузкой85больше предельно допустимой, то начнётся процесс непрерывного растяжения вплоть доразрушения (§ 3.5). Это означает, что происходит потеря устойчивости, если нагрузка превыситмаксимально допустимую. Точка экстремума нагрузки является точкой бифуркации решения,поскольку в окрестности этой точки при одной и той же нагрузке могут существовать дварешения. Аналогичная бифуркация происходит и при сжатии тонкого стержня (пластины).

Вэкспериментах по растяжению мембран точку максимума нагрузки удалось пройти без потериустойчивости (равновесным способом) за счёт способа нагружения – постепенным нагнетаниеммассы воздуха в замкнутый ограниченный мембраной объём. Для случая сжатого стержнятакой способ найти не удаётся.§ 4.7 Контактные задачи для сферической оболочкиСжатие сферической оболочки двумя плоскостями.Ставится задача о сжатии растянутой нормальным давлением сферической оболочкидвумя параллельными жесткими плоскостями. Предполагается, что в зоне контакта междуоболочкой и плоскостью осуществляется свободное скольжение (рис.

4.24).Участок 1 — зона контакта.Принимается, что в зоне контакта форма плоская:0r  r  , z  z0 , x  r ,    2 ,гдеr  — точка прекращения контакта.Участок 2 — вне зоны контакта.На границах этого участка выполняются следующие граничные условия:при s  s* : r  r * ,   0при s R2: r  1,  2 z  0 z  z0 ;, z (1)  0 .Система уравнений (4.1) решалась при этих граничных условиях с применениемчисленных методов.86Проводилась серия экспериментов по сжатию оболочки плоскостями по следующейметодике.

Сферическая оболочка диаметра 75 мм подвергалась растяжению нормальнымдавлением. Оболочка помещалась под пластину из оргстекла на фиксированной высоте 80 мм,давление внутри оболочки нагнеталось с помощью насоса небольшими порциями воздуха.Велась фотосъемка сжатой оболочки на фоне масштабно-координатной сетки. Зона контактапросматривалась по смазке. После достижения контакта происходило растяжение вгоризонтальном направлении.Расчетная форма сжатой оболочки приведена на рисунке 4.24.

На рисунках 4.25-4.27показаны зависимости от осадки зоны контакта, поперечного размера оболочки, давления, атакже вертикальной силы соответственно. На рисунке 4.28 приведена расчетная зависимость«зона контакта — поперечный размер», а также символом «звездочка» отмеченыэкспериментальные точки». Как видно из рисунка, эта зависимость близка к линейной. Решениестроилось с применением численных методов.P2Зона контактаz1Q=1.070-1-2-3-2-1P0xРисунок 4.24123Зона контакта, Поперечный размер871.21Поперечныйразмер0.80.60.4Зонаконтакта0.2000.20.40.60.810.81z(0)/z0Рисунок 4.2587Давление65432100.20.40.6z(0)/z0Рисунок 4.2688Вертикальная сила108642000.20.40.60.8133.5z(0)/z0Рисунок 4.273Зона контакта2.521.510.5011.522.5Поперечный размерРисунок 4.28Вид сжатой плоскостями сферической оболочки (реальный объект) показан на рисунке4.29.

Вверху фотографии — отражение оболочки от стеклянной сжимающей поверхности.89Рисунок 4.29Растяжение сферической оболочка нормальным давлением в цилиндрической трубке.Предполагается, что цилиндрическая трубка является жесткой и не деформируется принаступлении контакта со сферической оболочкой.Граничные условия для этой задачи имеют следующий вид:Участок 1 — зона контакта.r  r* , 2, z  1s .Участок 2 Вне зоны контактаz  0,    , 1  2 в полюсе.При рассмотренных граничных условиях система уравнений (4.1) решалась сприменением численных методов.

Цилиндрическая трубка считалась бесконечно длинной.Схема растяжения отражена на рисунке 4.30. Сначала происходит свободное растяжениеоболочки вплоть до контакта с цилиндрической трубкой, после чего происходит контакт сцилиндрической поверхностью, ограничивающий ее перемещение в радиальном направлении.В зоне контакта происходит растяжение оболочки в вертикальном направлении вдольцилиндрической поверхности. Вне зоны контакта происходит свободное растяжениенормальным давлением.Эксперимент по растяжению сферической оболочки нормальным давлением в стекляннойтрубке проводился следующим образом (рис. 4.31). Сферическая оболочка (диаметр 75 мм) дорастяжения помещалась в стеклянную трубку, диаметром 90 мм в первом варианте, и 80 мм вовтором. Давление нагнеталось небольшими порциями воздуха с помощью насоса.

Наповерхности контакта растяжение происходит без трения за счет специальной смазки. Более90темный участок оболочки на фото за счет смазки отражает зону контакта. Измерение зоныконтакта происходило также, как и в эксперименте по сжатию сферической оболочкиплоскостями.z2Цилиндр1Q0-1Зона контакта3-2-3-50r5Рисунок 4.30В расчете использовался неогуковский потенциал. Некоторые результаты расчетов показаны нарисунках 4.32-4.34.Рисунок 4.31Зависимость длины зоны контакта от z(0) показана на рисунке 4.32, экспериментальные данныеотмечены «звездочками».913Зона контакта2.521.510.5011.522.5z(0)33.54Рисунок 4.32На рисунках 4.33 и 4.34 приведены зависимости давления Q отz  0  для обоих вариантовразмеров цилиндрической трубки.

Как видно из рисунка 4.33, в первом случае последостижения контакта, давление начинает медленно возрастать, нагнетается только масса иразмер оболочки вдоль цилиндрической поверхности увеличивается. Во втором вариантедавление начинает расти сразу после достижения оболочкой контакта (рис.4.34).1.5Q10.5Контакт00510z(0)Рисунок 4.3315921.61.41.2Q10.80.6Контакт0.40.21234z(0)567Рисунок 4.34§ 4.8 Растяжение сферической оболочки, имеющей отверстиеРассматривается задача о растяжении сферической оболочки, имеющей отверстие радиусазначительно меньше, чем радиус оболочки. Система уравнений (4.1) решается при следующихграничных условиях.На контуре отверстия принимаетсяT1  0, z  0 .На экваторе оболочкиsR:   , z  0.22Аналитическое решение построить не удается, поэтому задача решалась с применениемчисленных методов.Растяжению нормальным давлением в экспериментах подвергались сферическиеоболочки с диаметрами от 40 до 100 мм, имеющие круглое отверстие диаметром от 2 до 5 мм додеформации.

Эксперимент проводился следующим образом. Внутрь сферической оболочкипомещалась металлическая шайба, в произвольном месте оболочка натягивалась на шайбу, и с93помощьюспециальнозаточенногопробойниканаоболочкепробивалосьотверстиенеобходимого размера. Затем после извлечения шайбы, внутрь этой сферической оболочки сотверстием помещалась другая сферическая оболочка, уже без отверстия. Для того, чтобыоболочка растягивалась свободно, внутренняя оболочка смазывалась глицерином. Затем черезклапан с помощью насоса подавались небольшие порции воздуха, велась фотосъемка процессараскрытия отверстия в одной оболочке на поверхности другой (рис. 4.35). В процессеэксперимента обеспечивалась осесимметричная форма оболочки.Рисунок 4.35Отметим, что, как следует из результатов расчетов и экспериментов, между размерамиотверстияипоперечнымиразмерамиоболочкинаблюдаласьпрактическилинейнаязависимость.

Результаты расчетов и экспериментальные данные представлены на рисунке 4.36в виде зависимости между размером отверстия и поперечным размером оболочки.Экспериментальные данные отмечены с помощью символа «звездочка».0.5Размер отверстия0.4r0=0.050.30.20.1011.522.53Поперечный размерРисунок 4.363.5494На рисунке 4.37 показана расчетная зависимость между давлением и поперечным размеромоболочки. Отметим, что максимум давления достигается еще до растяжения оболочки вполтора раза, что согласуется с результатами, полученными в § 4.6 и § 4.2.1.41.21Q0.80.60.40.2011.522.53Поперечный размер3.54Рисунок 4.37§ 4.9 Численные методы решения нелинейных краевых задачДля решения нелинейной краевой задачи, как следует из литературных источников,используются различные методы [21-23, 36, 61, 75, 95-97]: метод, основанный на общейформулерешениясистемдифференциальныхуравнений,дляразделяющихсяинеразделяющихся краевых условий, с разбиением промежутка интегрирования и без него,метод ортогональной прогонки, метод взвешенных невязок и др.

Наиболее эффективным длярешения задач, в которых решение не единственно, является метод, предложенный в работахКабрица и Терентьева [95-97].Рассмотрим нелинейную одномерную краевую задачу:95dV g V ,W , s  , s   0, l dsf V ,W , s   0,D V0 ,Vl   0,(4.5)V0  V  0  ,Vl  V  l  .При построении решения этой задачи используется метод Ньютона, согласно которому,решение нелинейной краевой задачи сводится к решению серии линейных краевых задач. Дляэтого система уравнений линеаризуется и организуется итерационный процесс решениялинейных уравнений, который заканчивается тогда, когда векторы решений на двухитерационных шагах близки друг другу с наперёд заданной точностью.Продифференцировав и разложив (4.5) в ряд Тейлора, можно прийти к системе линейныхуравнений вида:dY A xY  f .dxВыражая W  W V  ,затем вычисляя для системы матрицу Якоби, приводим систему (4.5)к искомому виду:dV k 1 G k V k 1  V k   g V k , s  ,dskk D  D k 1kk 1kk V0  V0    Vl  Vl   D  0,VV 0 l(4.6)где k - номер итерации.Преобразовывая правую часть системы (4.6), имеемdV k 1 G kV k 1  g k V k , s  .ds(4.7)Эта линейная система решается с помощью метода, основанного на общей формулерешения систем дифференциальных уравнений с разбиением промежутка интегрирования наинтервалы.

На каждом интервале интегрирования решается задача Коши для системыдифференциальных уравнений, а затем производится «склейка» решений для обеспечениянепрерывности решения на всём промежутке  0,l  . На каждом итерационном шаге матрица G kи векторg k пересчитываются, итерационный процесс продолжается, пока не будет достигнутатребуемая точность.Приведём кратко методы, которые использовались в работе.961.Метод сведения к задаче Коши. В работе для всех задач краевые условия былиразделяющимися. 000GVVgV , r 0drdVAV0  aBVl  b, dim a  4  rdim b  rРассмотрим однородную систему Ay  0 , у которой 4  r линейно-независимых решений, в Aпереставим столбцы таким образом, чтобы A1  4  r , 4  r  была неособой.

Характеристики

Список файлов диссертации