Диссертация (1150474), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

В системе нелинейных уравнений присутствуют слагаемые  qr i  i 1 i 1  и 2h ri 1  ri 1  , причем уравнения связаны между собой. Присутствие этих слагаемых в 2h  qr i уравнениях обозначает наряду с трехдиагональной матрицей наличие двухдиагональнойматрицы, и тогда вопрос сходимости к решению этой итерационной схемы требует изучения вкаждом конкретном случае. Схемы, применимые для линейных уравнений могут не датьположительный результат.Таким образом, для решения краевой задачи (4.1) применяется метод сеток совместно сметодом установления, который более эффективен при решении стационарной задачи и можетрасширить диапазон деформаций, при которых это решение можно получить. Схема методаустановления в этом случае будет иметь следующий вид:r1 2 Ar  qDz  T2t 2h.z1Az  qDrt 2h 2В линейном случае для сходимости явной схемы этого метода должно быть справедливонеравенство102h2max A  1 .В нелинейном случае значения  надо подбирать, в диссертационной работе значения подбирались таким образом, чтобы выполнялось неравенствоh2max A  0.1 .В практических расчетах при выполнении этого неравенства полученная схема методаустановления сходилась.Рассмотрим метод установления для конкретного потенциала — неогуковского.

С учетомвыражений для усилий в случае неогуковского потенциала и при больших деформациях схемаметода установления примет следующий вид:r  0 r r  1  qz x x.z  0 z r  qz x xЭту систему линейных уравнений при больших деформациях можно решить длянеогуковского потенциала вариационным методом.103ГЛАВА 5.

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ МЕМБРАНА§ 5.1 Растяжение прямоугольной мембраны в плоскостиРассмотрим прямоугольную мембрану (рис. 5.1), отнесенную к декартовой системекоординат.Рисунок 5.1Пусть000R  x1 e1  x2 e2  x3 e3радиус-вектор точек мембраны в недеформируемом0 0 0 0 0 0 0состоянии, R  x1  x1 , x2  e1  x2  x1 , x2  e2  3 x1  x1 , x2  x3 e3 в деформируемом состоянии [25,77].Координатные векторы r1 , r2 в деформированной конфигурации подсчитываются поформулам:r1 r2 x10 x1x10 x2e1 e1 x20 x1x20 x2e2 ,e2 .Компоненты метрического тензора вычисляются следующим образом:10422 x1   x2 a11  r1  r1 ,  x0    x0  1  122 x1   x2 a22  r2  r2 ,  x0    x0  2  2x xx xa12  a21  r1  r2  01 01  02 02 , x1  x2  x1  x2(5.1)2x xx xa  a11a22  a12 a21   01 02  01 02  .x x x x  1 221 Главные кратности удлинения являются корнями уравнения 4   a11  a22   2  a  0 .Главными инварианты метрического тензора являются [35]:A  a11  a22  12  22 ,(5.2)B  a  1222 .Рассмотрим00элементарныйпараллелепипед деформируемой0мембраныразмером i, j  1, 2 .d x1 d x2  d x3 .

Пусть его на гранях действуют напряжения  ij ,000Пусть в сечении x1 действует вектор усилий T1 , а в сечении x1  d x1 T1  T1 .000Аналогично в сечении x2 вектор усилий T2 , а в сечении x2  d x2 T2  T2 .Тогда уравнение равновесия этого элемента срединной поверхности мембраны в отсутствииповерхностной нагрузки имеет вид: T1 T1  T1  d x2   T2  T2  T2  d x1  0.0000Совершая предельный переход при d x1  0, d x2  0, , получаем уравнения равновесия ввекторной форме:T10 x1T20 0. x2(5.3)Связь между усилиями T 11 , T 22 , T 12 и компонентами метрического тензора задается с2помощью упругого потенциала     A, B, 3  и имеет вид:1050  T 11  2 h  a22,a  A0 T 12  2 h  a12,a (5.4)0  T 22  2 h  a11.a  A0где h ─ толщина недеформированной мембраны.Используя эти выражения, определяем T1 , T2 и подставляем их в уравнения равновесия,после преобразований получаем:0  A x1  a B x2   h0000 x1  x1 x2   x20xxh   A 01  a B 02   0, x2 x1 x2x1   h  A 0  a B 0  00 x1  x1 x2   x2x2x1 h  A 0  a B 0  0 x2 x1 0где  A ,AB (5.5)0.BК уравнениям равновесия необходимо добавить граничные условия.В работе рассматриваются два варианты граничных условий.1.Случай одноосного растяжения мембраны, обеспечивающий однородностьнапряженного состояния:0при x1  0 :00при x1 : l10при x2  0 :00при x2  l2 :x1  00x1  1 l1x20 0; x1x20 0;(5.6) x1T 22  0T 12  0;T 22  0T 12  0.000Этот вариант граничных условий подразумевает, что на границах x2  0 и x2  l2 нагрузки000отсутствуют, а границы x1  0 и x1  l1 свободно смещаются параллельно оси2.Случайоднородногорастяжениянапряженного состояния не реализуется:мембраны,приx2 .которомоднородность1060при x1  0 :00при x1 : l1x1  00x1  1 l10при x2  0 :0T0при x2  l2 :220T 22  00x2  x2 ;0x2  x2 ;T12(5.7) 0;T 12  0.000Эти граничные условия предполагают, что на границах x2  0 и x2  l2 нагрузки отсутствуют, ана границах000x1  0 и x1  l1параллельно осимембрана закреплена по кромкам, и границы смещаютсяx2 .Таким образом, система уравнений (5.5) совместно с (5.4) и граничными условиями,дополненная упругим потенциалом образует замкнутую систему уравнений для нахождениякоординат точки срединной поверхности и распределения усилий в мембране [34].§ 5.2 Однородное растяжение мембраныПусть в мембране, растягиваемой в плоскости краевыми нагрузками, реализуетсяоднородное напряженное состояние:0x1  1 x1 ;0x2  2 x2 .Силы, действующие на краях мембраны, подсчитываются по формулам (5.4)T1  T 111e1 ;T2  T 222e2 ;где e1 , e2 орты декартовой системы координат.Пусть это напряженное состояние получило небольшое возмущение0x1  1 x1   x10x2  2 x2   x2 x1, x2 , так что:107При этом будем считать, что  x1 ,  x2 малые величины вместе со своими производными по00x1 , x2 .С учетом этих предположений с точностью до величин 2-го порядка малости из (5.1), (5.2), (5.3)находятся:1  x10 x12  x20. x2Из (5.2) следуют выражения для возмущений: A  2  11  22  , B  212  12  21  , A  А А1 2 ,12 A  B1  B 2 ,12 x2 x1  T   111  122  e1   A 0  12 B 0 e2 , x1 x2 1 T2    A x10 x2 12 B x2 e1    211   222  e2 .0 x1 В дальнейшем вводятся следующие величины  i, j  1,2  :T ii 1  1 T,i i i i ij Ti 2, j i  jA  2 1T1  2T2 2,A1  2211T1  21T2B  2,B12  22  12 B  12 .С учетом этих выражений из (5.5) следуют уравнения для возмущений:10811 2 x10 2 A x10 2 x2 2 x10 2 x10 x1  x2 A 2 x20 2 2 x20 0,0 x1  x2  22 2 x2 x10 2(5.8) 0. x2§ 5.3 Мембрана с жестким круглым включениемРассмотрим задачу одноосного растяжения мембраны с жестким круглым включением,малым по сравнению с поперечными размерами мембраны.

Будем считать, что при большихдеформацияхискажениенапряженногосостояния,вносимоемаленькимвключением,незначительно вдали от него. Будем считать, что вдали от включения реализуется однородноенапряженное состояние.При этих предположениях для описания малых возмущений, вносимых включением,можно использовать систему линейных уравнений в частных производных (5.8).Подействуем оператором  A22  220 2 x10 2на первое уравнение системы (5.8), тогда оно x2приводится к виду:444            2   2  x  0,22A11 22A10 40 20 2 A 11 0 4 x1 x2 x1  x2 (5.9)Уравнение (5.9) — дифференциальное уравнение в частных производных четвёртого порядка.Аналогично этому уравнению относительно  x1 выписывается уравнение относительно  x2 .00 2Решение этого уравнения ищется в виде: f  f  x1  i x2  , i  1,   const , где f —пока неизвестная функция.

Поскольку40 4 x1 f  ,440 4 x2  4 f  ,440 20 2 x1  x2то из (5.9) следует квадратное уравнение для нахождения:4  2 f   ,109 A11   4 22  A   2 1122  A  2  02(5.10)Предполагается, что оно имеет пару различных положительных корней ˆ, ˆˆ , откуда, в своюочередь находятся значения  1 ,  2 ,  3 ,  4 . Тогда ввиду симметрии кругового включения можноучитывать только пару положительных  из четырёх возможных.

Решение уравнений (5.8)ищется в виде: x1  c1 f  x1  i x2  ,  x2  c2 f  x1  i x2  ,0где000 — корень уравнения (5.10).Подставим эти решения в уравнения (5.8):11c1 f    Ac1 2 f    c2i f   0, c1i f    Ac2 f    22c1 2 f   0.Отсюда следуют выражения для нахождения констант c1 и c2 :c1  11   A 2   c2 i  0,c1 i  c2   A   22 2   0.Поскольку определитель этой системы равен нулю ((5.10)), то система имеет нетривиальноерешение ( c1  0, c2  0 ).Тогда c1   i C, c2   11  A 2  C, C  const.Таким образом x1   i   jC j f j  x1  i j x 2  ,4j 10000 x1    11   A C j f j  x1  i j x 2  ,j 142jгде f j ищутся из удовлетворения граничным условиям.1.Круглое жесткое включениеТеперь разберёмся с граничными условиями так как решаем задачу для плоскости скруглым включением, то на круге решение должно быть периодическим. Поскольку считается,что напряженное однородное состояние вдали от включения не искажается, то решениеуравнения (5.1) должно быть убывающим при удалении от включения, то естьlim f  0 .00x1 , x2 110Мы получим окружность, если x1  R cos , x2  R sin  .

Когда деформация отсутствует, 1   2  1.Решение системы (5.1) представляем в таком виде: x1 i1  f1  z1   f1  z1   i 2  f 2  z2   f 2  z2   , x2   f1  z1   f1  z1     f 2  z2   f 2  z2   ,(5.11)где000z1  x1  i 1 x210z2  x1  i 2 x2 ,  A 222 121  A 222 22.Тогда функция f , удовлетворяющая условиям на бесконечности, представляется в виде:f k 1Решенияck00Rk  x1  i x 2 (5.12)k x1, x2 должны удовлетворять граничным условиям01  1  R cos    x101  2  R sin    x2.(5.13)Положим R  1 .

Характеристики

Список файлов диссертации