Диссертация (1150474), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Тогда становитсяизвестной T    , а значит и Tz  T sin  .§ 3.4 Динамическое поведение балки-полоски при растяжении давлениемВ рамках безмоментной теории тонких оболочек рассматривается динамическая задача орастяжении нормальным давлением балки-полоски из резиноподобного материала (рисунок3.2).Рисунок 3.2При этом справедливы все приведенные выше деформационные соотношения, а вуравнения равновесия добавляются инерционные слагаемые.

При этом уравнения (3.3) синерционными слагаемыми примут вид:Tx2 x 1qx   h 2 ,x10(3.10)Tz2 zqh,1 zx10 2где q x — проекция поверхностной нагрузки на ось x , а q z — на ось z ,  - плотностьматериаламембраны.Длясправедливы соотношения:нормальногоравномерногодавленияинтенсивностьюq49qx  q sin  , qz  q cos .Примем, что толщина мембраны h не зависит от координаты и введем обозначенияT1 1T1 , Q  ql / hh 1и новые переменныеx  x1 / l , z  x3 / l , t  l  , s  x10 / l .Тогда уравнения (3.10) примут вид2 x  x z  T (1 )   Q ,2ts s s2 z  z x  T (1 )   Q ,2ts s sT2 n  1 n  ,2  1n1(3.11)dxdz 1 cos  , 1 sin  ,dsds22 dx   dz 1       . ds   ds К этим уравнениям добавляются граничные условияпри s  0 : x  0 , dz / ds  0(3.12)при s  1 : x  1 , z  0(3.13)Эти условия означают, что край мембраны x  1 закреплен неподвижно, а край x  0свободно перемещается в вертикальном направлении.Статическое решениеСтатические уравнения равновесия получаются из уравнений (3.11) в предположении,что инерционные слагаемые в первых двух уравнениях равны нулю:x z T (1 )   Q  0s s sz x T (1 )   Q  0s s s(3.14)С учетом граничных условий (3.12, 3.13) отсюда находятсяT1  const , 1  const , x  R sin*s , z  R(cos*s  cos* ) .Константы1 , T, Q, R и*связаны соотношениями(3.15)501 *, R  T 1 / Q , *  Q / T .sin *w  z(0)  R(1  cos* ) .Таким образом, деформированная поверхность мембраны в сечении(3.16)x20  constпредставляет собой дугу окружности радиуса R .

Связь между давлением Q и кратностьюудлинения1 определяется из соотношений (3.16).Кратность удлинения1 при растяжении мембраны должна быть положительнойвеличиной. Поэтому из соотношения в (3.15, 3.16) следует, что должно выполнятьсянеравенствоусилие0  *   . Тогда из третьего соотношения в (3.16) следует, чтоT1 как функция 1 растет медленнее, чем 1 , тогда давлениеQ   T . ЕслиQ не может приниматьбесконечно большие значения.

То есть будет существовать такое критическое значениечто при значенияхQ  Q* ,Q  Q* статические уравнения (3.14) решений иметь не будут. ЗависимостьQ  Q(1 ) в этом случае должна иметь точку максимума. Для упругого потенциала (1.4) на рис.3.3 показана эта зависимость для различных значений n . В экспериментальных исследованияхпо растяжению круглых мембран нормальным давлением такая зависимость реализуется [39,85, 94, 109, 118, 121].4n=2.5n=2.0Q32n=1.51n=1.000123W456Рисунок 3.3Малые колебания около положения равновесияУсилиеT1 в случае статических уравнений является постоянной величиной и не зависитот координатыs.Будем считать, что около положения равновесия, которое описывается51уравнениями (3.11), возникают малые колебания.

При этом примем, что кратность удлинения1 и усилие T1 постоянные величины, определяемые из соотношений (3.15, 3.16). Тогда первыедва уравнения в (3.11) с учетом соотношений (3.15, 3.16) приводятся к виду2 x 2 xz 2  * ,2tss22 z  zxm 2  2  * ,tssm  1 / T1  1/ T .m(3.17)Периодическое во времени решение этих уравнений ищется в виде произведения двухфункций, одна из которых зависит от s , вторая от t :x  X ( s)eit , z  Z ( s)eit .Тогда из (3.10) находим, что функции X ( s) и Z ( s ) должны удовлетворять системеуравненийd2XdZ * m 2 X  0,2dsdxd 2ZdX * m 2 Z  02dsdx(3.18)X (0)  0 , Z (0)  0 , X (1)  l , Z (1)  0 .(3.19)и граничным условиямРешение уравнений (3.18), удовлетворяющее этим граничным условиям (3.19),представляется в видеX ( s)  Ae s , Z ( s)  Be s ,где A и B есть произвольные постоянные, удовлетворяющие системе линейных однородныхуравнений  2  m 2 **  A0.  m   B 22Эта система уравнений будет иметь нетривиальное решение, если ее определительобращается в ноль: 4   2m 2  *2   2  m2 4  0 .Из этого уравнения находятся521 122 2m  * 2 2m2 122 2m  * 2 2m22 *2   4m 2 4  ,22 *2   4m 2 4 и решение уравнений (3.18), удовлетворяющее условиям (3.19) при x  0 , представляется ввидеX ( s)  * 1C1 sin  1s   2*C2 sin  2 s,Z ( s)    12  m 2  C1 cos  1s    22  m 2  C2 cos  2 s,гдеC1 и C2 - произвольные постоянные.

Граничные условия при x  1 будут удовлетворены,при выполнении равенства 1   22  m 2  sin  1l cos  2l   2   12  m 2  sin  2l cos  1l  0 ,которое и является уравнением для нахождения.На рис. 3.4 показана зависимость первых четырех частот собственных колебаний от z (0)для неогуковского потенциала, а на рис. 3.5 — зависимость первой частоты собственныхколебаний от z (0) для потенциала (1.4) с n  1.0 , n  2.0 , n  2.5 и n  3.0 .74653423211000.511.52z(0)Рисунок 3.42.533.5532n=3.01.5n=2.51n=2.0n=1.00.50012345z(0)Рисунок 3.5Таким образом, нелинейные динамические модели дают более сложную картинуколебаний мембран, чем линейные. Как следует из рисунка (3.4) частота колебаний прибольших значениях z  0  практически не зависит от величины прогиба.

При малых прогибахчастота не зависит от параметра n в упругом потенциале (1.4). Как следует из результатов,амплитудно-частотная характеристика при больших деформациях является нелинейной вотличие от аналогичных зависимостей в случае линейных систем [9, 13, 120].Нелинейные уравненияВ самом общем случае построить аналитическое решение для уравнений динамики (3.11)не удается.

Поэтому для нахождения решения при заданных граничных и начальных условияхиспользовались численные методы. Динамические уравнения (3.11) решались с применениемметода сеток. Дискретизация уравнений на сеткеsi is, i  0,m; t j  j , j  1,2,осуществлялась как по пространственной, так и по временной переменной конечнымиразностями. На внутренних узлах пространственной сеткиxi  xi  t      v x2zi  zi  t      vz2 Ti 1 2 Ti 1 2Ti 1 2  T  1i 1/ 2  , 1i 1/ 2 На границе s  0 :x0  0,z1  z0  0 .1h2xi 1  xix xz z Ti 1 2 i 2 i 1  Q i 1 i 1 ,2ssszi 1  ziz zx x Ti 1 2 i 2i 1  Q i 1 i 1 ,2sss xi 1  xi 2  zi 1  zi 2i  0,1,...,m  1.54И на границе s  1 :xm  1,zm  0 .Скорости v x и v z подсчитывалась следующим образомvx   x  t     x  t  2    , vz   z  t     z  t  2    .Значения xi , zi , i 1 2 и Ti 1 2 вычисляются в момент времени t .

Поэтому системауравнений является нелинейной. Ее решение на каждом временном шаге решаласьитерационным методом.Решение полученных нелинейных уравнений при начальных условияхx  s , z  0,dxdz 0,0dtdtстроилось при разбиении промежутка интегрирования по пространственной переменной на 100,500 и 5000 отрезков. Шаг интегрирования по временной переменной выбирался из условияmax (Ti 1/ 2 )  / s   0.1 .

Некоторые из результатов решения представлены на рис. 3.6 – 3.8 для2iзначения Q  0.5 . На рис. 3.6 показан вид мембраны в сечении x20  const в моменты времениt  0.8,1.2,1.6,2.0 для неогуковского потенциала. На начальной стадии растяжения мембраны(рис. 3.6, t  0.8,1.2,1.6 ) центральная часть мембраны остается «прямолинейной». В моментвремени t  2 значение функции z  z(t, s) в точке s  0 как функции времени достигаетмаксимального значения.

Форма мембраны в этот момент времени близка к цилиндрический. Вдальнейшем начинается возвращение мембраны в исходное положение равновесия (рис. 3.7,t  3.2,3.6,4.0 ). В окрестности исходного положения равновесия скорость возврата точекцентральной части мембраны становится больше, чем в некоторой части внутри промежутка(0,1) (рис. 3.7, t  4.0 ). Причиной этого, по-видимому, является то, что скорость перемещенийточек мембраны в вертикальном направлении и скорость распространения возмущения вдольсрединной поверхности не одинаковы. На рисунке 3.8 показана зависимость функций прогибамембраны z  z(t,0) и ее толщины 3  3 (t,0) в центре от времени. Как следует из этогорезультата, 3 в точке s  0 достигает своего максимального значения раньше, чеммаксимальное значение достигнет в этой точке z .

То есть «подъем» этой точки начинаетсопровождаться увеличением толщины мембраны в ее окрестности – возмущение толщины вначальный момент времени в окрестности точки s  1 (рис. 3.6, t  0.8 ) достигает точки s  0раньше, чем прогиб в точке s  0 достигнет максимальное значения. Это возмущение в точкеs  0 отразится, и начнет распространяться назад к точке s  1 . В общей сложности одному55«периоду» колебаний мембраны в вертикальном направлении соответствуют два периодаколебаний точек мембраны вдоль срединной поверхности.

Это и объясняет форму мембраны сдвумя экстремумами (рис. 3.7, t  4.0 ).1t=2.00.8t=1.6z0.60.40.20t=1.2t=0.800.20.40.60.810.60.81xРисунок 3.61t=2.00.8t=3.20.4t=3.6z0.60.2t=4.0000.20.4xРисунок 3.756Рисунок 3.8Математические модели линейных и нелинейных колебаний мембран могут дать нетолько количественные отличия в решениях, но и качественные. При малых колебаниях околостатического положения равновесия для определения частот собственных колебаний можноиспользовать линеаризованные решения. Построение численного решения нелинейныхуравнений эффективно можно строить с применением сеточных методов, используя технологиипараллельных вычислений.§ 3.5 Круговая цилиндрическая оболочка под внутренним давлением0Пусть рассматривается цилиндрическая оболочка постоянного радиуса R . Принимаетсягипотеза о том, что цилиндрическая оболочка сохраняет форму, при этом ее радиус становится0равным R  .

Характеристики

Список файлов диссертации