Диссертация (1150474), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

В большинствеисследований для описания механических свойств упругого материала используется законГука. Для материалов с нелинейными механическими свойствами картина напряженнодеформированного состояния в задаче о сжатии стержней и пластин может отличаться отлинейной задачи. В параграфе с позиций нелинейной моментной теории тонких оболочекрешается задача поиска критической нагрузки для физически нелинейного упругого материала.Постановка задачи.На рисунке 2.1 показана плоская бесконечно длинная в одном направлении пластинашириной l и толщиной h , сжимаемая в плоскости силой P , приложенной на крае.sTzzPTnTxxTszyxlhРисунок 2.1Система разрешающих уравнений в отсутствии поверхностной нагрузки имеет видTs   Tn  0, Tn   Ts  0, M   sTn  0.x  s cos  , z  s sin 28Связь между напряжениями и деформациями определяется с помощью упругогопотенциала.

Для рассматриваемого случая сжатой пластины 1  s , 2  1 ,3  h / h0 , где h0 —толщина недеформированной пластины, а h — ее толщина в деформированном состоянии. Дляслучая несжимаемого материала должно выполняться условие несжимаемости.В качестве упругого потенциала для несжимаемого материала рассматривается потенциал(1.4).Для этого потенциала с учетом условия несжимаемости02 h 1 nTs s  s n  ,n sM Вкачествеграничныхусловий(2.2)031 h   n 4 .3рассматриваютсяусловияшарнирногоопирания,неподвижности края x  0 и горизонтального перемещения края x  l под действием нагрузкиP:при s  0 : x  0 , z  0 , M  0 ,(2.3)при s  l : x  l , z  0 , M  0 .(2.4)При заданном значении  (относительное смещение по оси х) нагрузка подсчитывается поформуле P  Ts (s ) .Система разрешающих уравнений (2.1)-(2.2) при граничных условиях (2.3)-(2.4) имеет своимрешениемx   s , s    const  1 , z  0 ,   0 ,M  0 , Tn  0 , Ts  Ts ( )  T  const .(2.5)Устойчивость пластины.

Пусть наряду с решением (2.5) существует близкое к немурешение [32]   , M   M , Ts  T   Ts , x   s   x , z   z , s    такое, что  ,  M ,  Ts ,  x ,  z ,  — малые величины. Тогда в линейном приближениипервые три уравнения приводятся к виду Ts  0, Tn   Ts  0, M    Tn  0.При этом, как это следует из (2.2)(2.6)291 03 1 M   h n4   .3С учетом этого из третьего уравнения в (2.6) следует уравнение для нахождения     2  0 ,2  где6l 202 n4   n    n  .nhРешение этого уравнения  A sin  s l ,удовлетворяющее условиям (0)   (l )  0 ,будет существовать при значениях  , удовлетворяющих условию  k / l ( k  1,2...

)или06l n  4 nkhn       0  l n22(2.7)Левая часть этого уравнения имеет экстремум при11.(1  n / 2)1/ 2 nПоэтому при достаточно больших значениях h0 / l 0 уравнение (2.7) решений иметь не будет.Для случая n  2 экстремум достигается при   0.84 и, соответственно при выполнениинеравенства0h0l0.75 0.28линейное приближение будет иметь только тривиальное решение. Если толщина пластиныпревышает треть её длины, то пластина останется прямолинейной. Таким образом, показано,что в рамках рассматриваемой модели толстостенная пластина устойчивость не теряет. Этотрезультат согласуется с результатами, полученными в [41, 73, 87, 98].Численное решение.

Решение задачи строилось на основании следующего алгоритма.Система дифференциальных уравнений решалась с применением метода Рунге-Кутты.Бифуркационные ветви строились с применением метода продолжения по параметру.Подробнее алгоритм решения будет описан в § 4.9. Некоторые результаты численного решенияприведены на рисунке 2.2 в виде зависимости «нагрузка – угол поворота на крае». Кривая k  030соответствует прямолинейной равновесной форме, кривая k  1 – равновесной форме принагрузках больше первой, но меньше второй критической, k  2 – равновесной форме принагрузках больше второй критической, но меньше третьей.1.5k=2k=1(0)10.5k=00-0.4-0.35-0.3-0.25-0.2P-0.15-0.1-0.050Рисунок 2.2Эксперимент по сжатию прямоугольной пластины.

Для сопоставления теоретическихрезультатов с экспериментальными был поставлен эксперимент по осевому сжатию длиннойрезиновой пластины с поперечными размерами 272 и 160 мм и толщиной 40 мм. (рисунок 2.3)Рисунок 2.3Пластина устанавливалась вертикально на металлическую неподвижную платформу, такчто один край пластины оставался неподвижным. На втором крае пластины прикладывалась31нагрузка по всей ее длине. Сжатие пластины осуществлялось вдоль стороны длинной 160 мм.Края пластины жестко не закреплялись, что позволило считать ее шарнирно опертой. Прималых осадках верхнего края пластины форма пластины была практически прямолинейной.При осадке около 5% пластина резко выпучивалась, что естественно сопоставлялось с потерейустойчивости прямолинейной формы равновесия.

В процессе нагружения осуществляласьфотосъёмка деформированной пластины. После обработки фотоматериала строилась формасрединной поверхности. Решение уравнений (2.1) при q  0 строилось с применениемчисленных методов. Модуль сдвига определялся из экспериментов по одноосномурастяжению образцов и был принят равным 1.61 .На рисунке 2.4 в системе координат ( x, z ) отображена расчетная форма срединнойповерхности (сплошная линия), результаты экспериментальных данных отмечены символом«звездочка».0.30.25z0.20.150.10.05000.20.40.60.81xРисунок 2.4Как следует из результатов исследования, учет физической нелинейности материаламожет привести к результатам, отличным от результатов, следующих из линейного вариантазакона упругости (закона Гука).

Для построения решения в закритической области можноиспользовать численные методы, применимые при решении задач линейной теории оболочек.Но при этом предварительно необходимо оценить границы области существования решений.Аналогично эксперименту о сжатии пластины был поставлен эксперимент по сжатиютолстого резинового стержня длиной 810 мм, и диаметром 50 мм (рисунок. 2.5).32Рисунок 2.5Нарисунке2.6показанырасчетныезависимости(пунктирнаялиния)экспериментальные данные, которые отмечены символом «звездочка».0.5Изгиб стержня.Расчетныезависимости0.4z0.30.20.1000.20.40.6sРисунок 2.60.81и33§2.3 Сжатие колецРассматривается задача о сжатии в плоскости кругового кольца радиуса срединнойповерхности R сосредоточенными силами P , приложенными вдоль диаметра с двух сторонкольца.

Используются уравнения (2.1) с учетом того, что кривизна подсчитывается по формуле10   .2В качестве граничных условий рассматриваются условия:при s  0 : x  0, z  z0 ,   0 ,(2.8)при s  R  : x  l , z  0 ,  22.(2.9)Полагая   1 , считаем Tx , Tz статическими величинами. Из первых двух уравненийследует, чтоTx  0, Tz  P .С учетом того, чтоTz cos   Tx sin   Tn .M    P cos  ,третье уравнение в (2.1) записывается в видеEI    P cos   0 .(2.10)Изгиб кольца. В описанных ниже экспериментах по сжатию кольца сосредоточеннымисилами и сжимающими плоскостями наблюдались большие перемещения срединнойповерхности при малой кратности удлинения оси стержня. В связи с этим, при решении задачиполагаем   1 , что дает возможность рассматривать задачу только об изгибе. Уравнение (2.10)— уравнение второго порядка относительно  .

Его решение представляется в квадратурах.0В уравнении (2.10) перейдём от координаты s к  :EI d 2 P cos   0 .R2 0 2dграничные условия имеют вид (0)  0, ( 2)   2 .(2.11)34Из уравнения (2.11) следует квадратура:d0d 2  2 sin   c ,где с  const , а  2  PR2 / EI  0 .С учетом этого из уравнений (2.1) следуют выражения для x и z :0 0  R 2  2x   sinc  c,2  sin  dsin  d0,z  z     R  2 R 00 2  2 sin   c 2  2 sin   c 0Уравнение0d2  2 sin   c 00определяет неявную зависимость     . Из удовлетворения граничному условию02 20d2  sin   c 22находится константа c .Численное решение. Численное решение задачи осуществлялось методом Рунге-Куттычетвертого порядка с применением метода стрельб.

Реализация осуществлялась в средепрограммирования математического пакета Matlab. Один из результатов приведён на рисунке2.7, на котором для случая кольца единичного радиуса приведена зависимость отношенияполуосей сжатой дуги при конкретной нагрузке. Экспериментальные данные отмеченысимволом «звёздочка», расчётным значениям соответствует сплошная линия.Как следует из этих результатов, расчётные зависимости хорошо совпадают сэкспериментальными данными.351.4Полуось 21.31.21.1100.20.40.60.81Полуось 1Рисунок 2.7Эксперимент по сжатию резинового кольца сосредоточенными силами. В качествеэкспериментальных образцов использовались готовые резиновые кольца круглого поперечногосечения ГОСТ 9833-73 (18829-73) с внутренними диаметрами кольца 70, 140 и 200 мм идиаметрами сечений 5, 8 и 7 мм (рисунок 2.8).Кольца располагались в горизонтальной плоскости на миллиметровой бумаге, после чегоосуществлялось сжатие сосредоточенными силами вдоль диаметра с двух сторон кольца [5](рисунок 2.9).

При этом проводилась фотосъёмка сжатых колец.Рисунок 2.8Рисунок 2.9На рисунке 2.9 показана форма одного из сжатых колец при различных уровнях нагружения(степенях сжатия). Поскольку сжатие проводилось в плоскости, ортогональной силе тяжести, тоудалосьреализоватьплоскуюформуравновесия,пространственное искривление кольца (рис.

2.10).нарядускоторойвозможнои36Рисунок 2.10На рисунке 2.11 в системе координат ( x, z ) сплошной линией показана расчётная формасрединной поверхности кольца в момент «сплющивания». Экспериментальные данныеотмечены символом «звёздочка», расчётным значениям соответствует сплошная линия.1.51z0.50-0.5-1-1.5-1-0.50x0.51Рисунок 2.11Задача о сжатии кольца плоскостями. Исследуем задачу об устойчивости круговогокольца, сжатого параллельными плоскостями, как изображено на рисунке 2.12.Рисунок 2.1237Предполагается, что при таком сжатии в зоне контакта форма кольца остается прямолинейной,а вне зоны контакта напряженно-деформированное состояние описывается уравнениями (2.1).Рассмотрим каждую ситуацию подробнее.Зона 1.

Для описания напряжённо-деформированного состояния кольца использоваласьсистема уравнений (2.1) при следующих граничных условияхs  0 : x  0, z  R,   0 , s  s* : z  z0 ,   0 ,Уравнение для момента имеет вид:00 EIM  EI          EI   .RРешение задачи на этой зоне имеет вид:0x  R  , z  z0 ,   0 .Зона 2. Граничные условия для системы (2.1) принимают вид:000s  s* ,    * : x   * R, z  z0 ,   0,s20R,  2: x  0, z  0,   .2Форма деформированного кольца следует из уравнений:000R 2  202*x  x    R* sincsinc ,2  0sin  d z  z     z0  R ,2 02sinc*000*Из удовлетворения условию дляd2  2 sin   c .:0220*d2  2 sin   c 2находится константа c .Экспериментпосжатиюкруговогокольцапараллельнымиплоскостями.Длясопоставления численных результатов с экспериментальными была поставлена серияэкспериментов по сжатию кольца параллельными плоскостями.

Характеристики

Список файлов диссертации