Диссертация (1149925)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиВаганян Артур СуреновичОбобщенные нормальные формыгамильтоновых и контактных системСпециальность 01.01.02«Дифференциальные уравнения, динамические системыи оптимальное управление»Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководителькандидат физико-математических наукдоцент Басов Владимир ВладимировичСанкт-Петербург – 2016СодержаниеОсновные обозначения. .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51. Метод обобщенных нормальных форм . . . . . . . . . . . . . . .171.1. Квазиоднородные полиномы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.2. Резонансное уравнение и резонансные наборы . . . . . . . . . . .181.3. Определение обобщенной нормальной формы . .
. . . . . . . . . .191.4. Обобщенные нормальные формы гамильтоновых систем с однойстепенью свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221.5. Нахождение резонансных полиномов путем сведения к задаче сменьшим числом степеней свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . .241.6. Неполная нормальная форма Белицкого гамильтоновой системыс двумя степенями свободы . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .312. Обобщенные нормальные формы систем с гамильтоновой невозмущенной частью и негамильтоновым возмущением. . . . . .352.1. Связь с гамильтоновыми обобщенными нормальными формами .352.2. Случай двух уравнений . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .432.3. Многомерное обобщение нормальной формы Такенса . . . . . . .503. Обобщенные нормальные формыв термодинамике. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533.1. Термические уравнения состояния . . . . . . . . . . . . . .
. . . .533.2. Нормальная форма вириального разложения . . . . . . . . . . . .553.3. Модель Дебая-Хюккеля водородной плазмы572. . . . . . . . . . . .3.4. Резонансные возмущения классической водородной плазмы . . . .60Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .65Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73Симплектические и контактные преобразования . . . . . . . . . . . . .733Основные обозначенияK[] — множество полиномов от с коэффициентами из поля K;K[[]] — множество формальных рядов от с коэффициентами из поля K;deg — степень полинома ;ord — порядок ряда ;[]— квазиоднородный полином обобщенной степени с весом ;span — линейная оболочка множества ;⟨ · , · ⟩ — скалярное произведение на множестве полиномов;[ · , · ] — скобка Ли;{ · , · } — скобка Пуассона в симплектическом случае и Лагранжа в контактном;̂︀ · ) = {, · } — оператор взятия скобки Пуассона (Лагранжа) с ;(̂︀ * — оператор, сопряженный ̂︀ ;R — множество резонансных полиномов;S — резонансный набор.4ВведениеВосходящий к работам А.
Пуанкаре и развитый К.Л. Зигелем, Дж.Д. Биркгофом, В.И. Арнольдом, А.Д. Брюно и другими математиками метод нормальных форм является одним из основных инструментов исследования поведениярешений нелинейных систем в окрестности точки покоя или периодическогодвижения. Он тесно связан с различными вопросами алгебры, теории чисел,анализа и геометрии и оказывается очень плодотворным во многих задачах,например при доказательстве существования аттрактора Лоренца [1], изученииустойчивости точек либрации [2], в вопросах интегрируемости гамильтоновыхсистем [3] и других. Метод нормальных форм также является основным орудием при изучении бифуркаций семейств уравнений, зависящих от параметров [4, Chapter 6].Суть метода состоит в том, чтобы перейти от исходной системы к наиболеепростой эквивалентной ей относительно выбранной группы преобразований —нормальной форме.
За счет подходящего выбора группы нормальной формойнаследуются наиболее существенные свойства исходной системы, такие как, например, вещественность или сохранение формы объема. Нормализующие преобразования ищутся в виде рядов, которые не всегда сходятся. Но уже несколькихпервых членов возмущения в нормальной форме часто оказывается достаточнодля понимания качественной картины.Предметом исследованиященные нормальные формыдиссертации являются так называемыеобоб-гамильтоновых и контактных систем с заданнойне обязательно линейной невозмущенной частью и произвольным формальнымвозмущением.5Метод обобщенных нормальных форм — это продолжение сформировавшейся к семидесятым годам XX века теории резонансных нормальных форм,или нормальных форм Пуанкаре, на случай сильно вырожденной линейной части нормализуемой системы, когда переход к резонансной нормальной форме недает достаточного упрощения.
В отличие от обычных обобщенные нормальныеформы должны учитывать не только собственные значения линейной части,но и жордановы клетки, соответствующие нулевым собственным значениям, атакже нелинейные слагаемые в невозмущенной части системы. Термин «обобщенная нормальная форма» был введен сравнительно недавно В.В.
Басовымв работе [5]. Однако простейшие обобщенные нормальные формы встречалисьуже у Ф. Такенса [6]. В дальнейшем данное направление получило развитие вработах Г.Р. Белицкого [7–9], А. Байдера и Я. Сандерса [10], Х. Кокубу, Х. Окаи Д. Ванга [11] и других авторов.Идея обобщенной нормальной формы состоит во введении квазиоднородной градуировки на алгебрах формальных рядов и векторных полей посредством присвоения каждой переменной своего веса и включении таким образомдополнительных слагаемых в невозмущенную часть системы, что приводит кболее простой по сравнению с классической нормальной форме.Отметим, что в рамках метода обобщенных нормальных форм и даннойработы в частности рассматриваются только вопросы формальной эквивалентности систем дифференциальных уравнений, но не сходимости нормализующего преобразования.
В то же время приведение к обобщенной нормальной формевплоть до любой наперед заданной обобщенной степени всегда можно осуществить при помощи полиномиального преобразования.6Актуальность исследованияобусловлена важностью с точки зренияприложений нормальных форм систем с дополнительными структурами, в частности гамильтоновых и контактных, и нелинейной невозмущенной частью.Напомним, контактная система с гамильтонианом имеет вид⎧⎪⎪⎪⎪⎪˙=−,⎪⎪⎪⎪⎪⎨+ ,˙ =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪∑︀⎪⎪˙=−⎩=1( = 1, 2, .
. . , )и в частности представляет собой систему уравнений характеристик для дифференциального уравнения в частных производных первого порядка(, /, ) = 0.В нашем случае гамильтониан будет представлен формальным рядом, начинающимся с членов не ниже второй степени по переменным , и не ниже первойпо .Изучение гамильтоновых и контактных систем занимает значительное место в теории нормальных форм. Среди основополагающих для этого направления работ упомянем монографию Дж.Д.
Биркгофа [12, Chapter III], статьиТ.М. Черри [13], К.Л. Зигеля [14] и А.Д. Брюно [15], посвященные нормальнымформам гамильтоновых систем, а также статью В.В. Лычагина [16] по контактным нормальным формам.К вопросу о важности изучения контактного случая процитируем В.И. Арнольда [17, с. 75]: «На нечетномерных многообразиях не бывает симплектических структур, но зато бывают контактные. Контактная геометрия играет7для оптики и теории распространения волн такую же роль, как симплектическая для механики. <...> Вся симплектическая теория (включая, например,теорему Гивенталя) имеет контактные аналоги, чрезвычайно полезные для исследования особенностей в вариационных задачах.» Первоначально контактныевекторные поля и преобразования исследовались С.
Ли и Э. Картаном в связис вопросами интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных. Сегодня контактные системы наряду с гамильтоновыми возникают вмеханике, геометрической оптике, термодинамике, задачах теории оптимального управления и других. Базовые сведения о контактных структурах и системахможно найти в [18, Глава 4].Стоит отметить, что помимо метода обобщенных нормальных форм существуют и другие подходы к анализу особенностей с вырожденной линейной частью. Одним из известных является так называемыйлокальный метод, предло-женный А.Д. Брюно в [19], в рамках которого окрестность сложной особой точки определенным образом разбивается на примыкающие к ней криволинейныеконусы, в каждом из которых поведение решений исследуется отдельно.
Припомощи степенного преобразования особая точка раздувается до многообразияс окрестностью в виде образа соответствующего конуса. В этом многообразииищутся неподвижные точки и процесс повторяется: для сложных особенностейстроится более мелкое разбиение, а в окрестности простых, т. е. с нетривиальной линейной частью, система приводится к нормальной форме и понижается ее порядок. Полученные для каждого кусочка формальные решения затемнеобходимо проинтерпретировать с точки зрения аналитических или гладкихфункций, иными словами, склеить, чтобы получить картину во всей окрестности. Также существуют различные определения «неупрощаемых» нормальныхформ, или нормальных форм «бесконечного порядка» (см.
напр. [4, 11]). Как и8в случае вторичной нормализации предложенной А.Д. Брюно в [20] для резонансных нормальных форм, структура такой нормальной формы жестко определяется коэффициентами исходной системы и не может быть дополнительноупрощена за счет произвола в выборе коэффициентов нормализующего преобразования. Так помимо уже упомянутой неполной нормальной формы Белицкого существует ещеполная нормальная форма Белицкого (см. [4, 9]). Однаконахождение таких неупрощаемых нормальных форм представляет собой оченьтрудную задачу, полностью решаемую лишь для некоторых частных случаев.Примечательно, что первый нетривиальный пример полной нормальной формыБелицкого был получен А.Д. Брюно [21] лишь спустя двадцать лет после того,как Г.Р.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
