Диссертация (1149925), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В подразделах 2.1–2.2 мы показываем,что для широкого класса таких систем обычные резонансные наборы в смысле определения, данного В.В. Басовым в работе [5], могут быть найдены черезгамильтоновы. В подразделе 2.2 нами получены структуры обобщенных нормальных форм систем двух уравнений с невозмущенной частью, представленной бездивергентным вектором с мономиальными компонентами произвольнойстепени.
В подразделе 2.3 мы рассматриваем систему с нильпотентной гамиль15тоновой невозмущенной частью, порожденной гамильтонианом 12 + · · · + 2 .Для случая = 1 соответствующая обобщенная нормальная форма была получена Ф. Такенсом в работе [6]. Используя полученные нами результаты, мыпоказываем, что результат Такенса практически дословно распространяется наслучай произвольного .Раздел 3 целиком посвящен обобщенным нормальным формам контактныхсистем и их применению в термодинамике неидеальных сред. В подразделе 3.1мы вкратце знакомим читателя с термическими уравнениями состояния, припомощи уравнения Гиббса-Дюгема вводим понятие контактной эквивалентности для таких уравнений и выписываем соответствующее резонансное уравнение. В качестве иллюстрации введенного определения в подразделе 3.2 мырассматриваем уравнение состояния смеси неидеальных газов в форме вириального разложения и показываем, что оно контактно эквивалентно уравнениюсостояния смеси идеальных газов.
Наконец, в заключительных подразделах 3.3–3.4 для модели Дебая-Хюккеля водородной плазмы мы находим младшие резонансные возмущения для такой плазмы и выясняем, какие физические явлениямогут приводить к их возникновению.В приложение вынесены базовые сведения о контактных и симплектических преобразованиях.161.Метод обобщенных нормальных форм1.1.Квазиоднородные полиномыОпределение 1.Вектор = (1 , . . . , ) ∈ N назовемвесом переменной = (1 , .
. . , ), если НОД(1 , . . . , ) = 1. Если кроме того 1 + +1 = · · · = + 2 = и в случае нечетного 2+1 = для некоторого целого ≥ 2,будем говорить, что —канонический вес.Обобщенной степенью монома с весом назовем скалярное произведение · . Полином назовем квазиоднородным полиномомОпределение 2.[]обобщенной степени с весом и обозначим через , если он является линейной комбинацией мономов обобщенной степени с весом .Определение 3.Переразлагая произвольный полином (соответственно,[]ряд) в сумму квазиоднородных слагаемых , определим егообобщеннуюстепень deg (соответственно, обобщенный порядок ord ) как максималь-ную (соответственно, минимальную) из обобщенных степеней его слагаемых.По соглашению deg 0 = 0 и ord 0 = ∞.Присваивая переменной вес , мы задаем на алгебрах полиномов R[] иформальных рядов R[[]] градуировку, в которой понятия степени, порядка иоднородности заменяются понятиями обобщенной степени, обобщенного порядка и квазиоднородности.
Каноничность веса означает, что скобка Пуассона всимплектическом случае и Лагранжа в контактном квазиоднородных полиномов квазиоднородна:[+−]{[] , [][], } ∈ R[]где R [] обозначает линейное пространство квазиоднородных полиномов от17 обобщенной степени с весом . Явные формулы для скобок Пуассона иЛагранжа приведены в приложении.1.2.Резонансное уравнение и резонансные наборыПусть — квазиоднородный полином обобщенной степени с каноническим весом . Обозначим̂︀ · ) = {, · }.(Следуя Белицкому, определим на R[] скалярное произведение⟨, ⟩ = ()()|=0 ,(︁ )︁=,...,,1со следующими свойствами:1) ⟨ , ⟩ = ! , где ! =∏︀=1 !, а =∏︀=1 — произведение симво-лов Кронекера;2) ⟨ , ⟩ = ⟨, * ⟩, где * = ().По свойству 1) R[] разбивается в прямую сумму ортогональных подпро[]странств R [] квазиоднородных полиномов обобщенной степени с весом .̂︀ , имеет видПо свойству 2) оператор, сопряженный ̂︀ * =∑︁=1+(︁ )︁*(︁ )︁*− +(1a)в симплектическом случае и(︁ )︁*2+1(︁ ∑︁ )︁* (︁ )︁(︁ )︁*++− + 2+1+ ++ +2+1=1̂︀ * = 2+1 * −в контактном.18(1b)̂︀ и ̂︀ * являются квазиоднородными линейными диффеТаким образом, ренциальными операторами с обобщенными степенями − и − соответственно.
Здесь и далее используется обозначение = + 2 .Определение 4.Резонансным уравнением для квазиоднородного гамиль-тониана будем называть уравнение̂︀ * ( ) = 0.Его полиномиальные решения назовем(2)резонансными полиномами.Обозначим линейное пространство резонансных полиномов через R. Изквазиоднородности вытекает, что R разбивается в прямую сумму ортого[]нальных подпространств R квазиоднородных резонансных полиномов.Определение 5.Будем говорить, что множество квазиоднородных поли-[][]номов , , ∈ Z+ , = 1, .
. . , dim R , образуетрезонансный набор, если для[][]каждого и произвольного базиса , пространства R матрица скалярных[][]произведений ⟨, , , ⟩ невырождена.Отметим, что определение резонансного набора не зависит от выбора базиса, а любой базис R сам по себе является резонансным набором. Кроме того,резонансный набор всегда можно составить из мономов.1.3.Определение обобщенной нормальной формыПусть начало координат является особой точкой некоторого гамильтоноваили контактного векторного поля с фиксированной невозмущенной частью, заданной квазиоднородным гамильтонианом с каноническим весом , и произ19вольным возмущением с гамильтонианом , формальное разложение которогоначинается с членов более высокой обобщенной степени: ∈ R[] [], ∈ R[[]](ord > ≥ ).При преобразовании exp( ), порожденном гамильтонианом обобщенного порядка ord = + , ∈ N, квазиоднородные слагаемые гамильтониана + обобщенной степени меньше + не меняются, а в обобщенной степени + исходное и преобразованное возмущения связаныгомологическим уравнением(3)̃︀[+] = [+] + {[+] , }.Отсюда следует, что, используя почти тождественные симплектические (соответственно, контактные) преобразования, в произвольном квазиоднородномслагаемом его возмущения можно уничтожить члены, лежащие в образе опе-̂︀ .
Исходя из того, что дополнительным подпространством к образуратора ̂︀ в пространстве полиномов является пространство резонансных полиномов,определим обобщенную нормальную форму следующим образом.Определение 6.Формальный гамильтониан с квазиоднородной невозму-щенной частью с каноническим весом будем называтьгамильтонианом в обоб-щенной нормальной форме, если каждое квазиоднородное слагаемое его возмущения является линейной комбинацией элементов некоторого резонансногонабора.Важным частным случаем обобщенной нормальной формы является такназываемая неполная нормальная форма Белицкого.Определение 7.Формальный гамильтониан с квазиоднородной невозму-щенной частью с каноническим весом называется20гамильтонианом в неполнойнормальной форме Белицкого, если каждое квазиоднородное слагаемое его возмущения является резонансным полиномом.Для произвольно выбранного по резонансного набора S ипроизвольного возмущения существует формальное симплектическое (соответственно, контактное) почти тождественное преобразование, приводящее гамильтониан + к соответствующей обобщенной нормальной форме.Теорема 1..ДоказательствоПусть S — резонансный набор и пусть ∈ Z+ .
Обозна[+]чим его элементы обобщенной степени + через ,[+]базис пространства R. Выберем произвольный[+]и обозначим его элементы через ,.Введем обозначения[+][+][+] = ⟨, , [+] ⟩. = ⟨, , , ⟩,Матрица обратима по определению резонансного набора, поэтому в (3) можноположить =−1 ,̃︀[+] =∑︁[+] ,.При этом̃︀[+] − [+] ⊥ R[+],откуда, согласно альтернативе Фредгольма, вытекает разрешимость уравнения[+](3) относительно .Индукцией по = 0, 1, . .
. приходим к заключению, что + можнопривести к соответствующей обобщенной нормальной форме вплоть до любой наперед заданной обобщенной степени сходящимся почти тождественнымсимплектическим (соответственно, контактным) преобразованием. Предельноепреобразование, вообще говоря, является формальным; его существование вытекает из леммы Кэмпбелла-Хаусдорфа (см. напр. [34, Лекция 4]).211.4.Обобщенные нормальные формыгамильтоновых систем с одной степенью свободыПусть = 2. Обозначим 1 через , а 2 — через .Пример 1(см. [22, теорема 6]). Пусть = ( ≥ 2).Согласно (1a), −1*−1 *̂︀ = −() = − −1 ,поэтому уравнение (2) имеет вид −1 = 0, −1а обобщенная нормальная форма — + = +∞ −2∑︁∑︁−, − .=+1 =0На коэффициенты не накладывается никаких ограничений, т.
е. независимо от их значений гамильтониан + является обобщенной нормальнойформой.Пример 2(см. [22, теорема 7]). Пусть = (︀)︀, ≥ 1, = НОД(, ) .Согласно (1a),̂︀ * = (−1 )* − ( −1 )* =22 +−2 (︁ )︁ − ,−1 −1 следовательно уравнение (2) имеет вид +−2 (︁ ( )( ) )︁−= 0,−1 −1а обобщенная нормальная форма —−2∞(︁∑︁∑︁ + = +=++1∞∑︁+[︀=+1+Пример 3.3−1+ −,− −1+=0−2∑︁− +−1−, )︁=0/−1,/−1 /−1 /−1 .]︀Пусть = ± (︀)︀, ≥ 2, = НОД(, ) .Очевидно, квазиоднороден с весом = (/, /) и имеет обобщенную степень = /.Согласно (1a),−1 −1̂︀ * = (−1 )* ∓ ( −1 )* = ∓,−1 −1поэтому резонансное уравнение (2) имеет вид −1 −1 ∓= 0.−1 −1В данном случае нахождение всех резонансных полиномов оказывается затруднительным, а резонансный набор не единственен. Однако можно найти всерезонансные наборы, состоящие из мономов. Действительно, пусть=∞∑︁, ∈ R.,=023Тогда∞∞ ∑︁∑︁! −1 , −+1 +1=−1 =0∓∞ ∑︁∞∑︁! −1 , +1 −+1 = 0.=0 =−1Приравнивая нулю коэффициенты при +1 , +1 и +1 +1 , получаем уравнения,−1 = 0,−1, = 0,−1−1! ++, ∓ ! +,+ = 0.Отсюда по индукции находим, что ,−1 = −1, = 0 для всех ∈ N, а однозначно определяется коэффициентами при мономах − + с ≤ − 2 для произвольно выбранных целых чисел , таких, что 0 ≤ ≤[/].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
