Диссертация (1149925), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Следовательно, множество таких мономов образует резонансный набор.Cоответствующие обобщенные нормальные формы имеют вид + = ± +∑︁− ,+ − + .̸≡−1 mod ,≤−2,+≥+В частности, если в этой формуле положить = 2 и = 0 для всех , ∈ Z+ ,то получится результат А. Байдера и Я. Сандерса [10].1.5.Нахождение резонансных полиномов путем сведенияк задаче с меньшим числом степеней свободыЧтобы описать все возможные структуры обобщенных нормальных форм,в том числе неполную нормальную форму Белицкого, необходимо в явном виденайти резонансные полиномы.
Однако, как показывает пример 3, сделать это невсегда удается даже для достаточно простых невозмущенных гамильтонианов.С увеличением числа степеней свободы эта задача только усложняется, а лежащие на поверхности методы линейной алгебры оказываются малоэффективны24ми уже при = 2. В связи с этим возникает естественный вопрос о сведенииисходной задачи к задаче с меньшим числом степеней свободы. Оказывается, вряде случаев такое сведение возможно.Квазирезонансные полиномы.Сперва докажем одну полезную теоре-̂︀ * .му об операторе Пусть невозмущенный гамильтониан таков, что > . Тогда R[] единственным образом разбивается в прямую сумму по ∈ Z+ взаимно ортогональных линейных подпространств Q ,таких, что для каждого ненулевого ∈ QТеорема 2(см. [23, теорема 1]).̂︀ * () ̸= 0,̂︀ * +1 () = 0.(4). Существование разбиения. Пусть ∈ Z+ иДоказательство = [/( − )].[][]Определим линейные пространства H, и Q, , = 0, , следующим образом:[]H,(︁)︁[−(−)]̂︀= R[] ,[][][][][]Q,=(︁[]H,+1)︁⊥[][].H,[][][]В частности, H,+1 ⊆ H, , H,0 = R [], H, +1 = {0}, Q,0 = R , Q, =[]H, .По построению,[]Q,Пусть ̸= 0 и ∈взаимно ортогональны, и[]Q, .Поскольку[]Q,⊆⨁︀[][]Q, = R [].=0[]H, , лежит в образе опе-̂︀ .
Пересечение этого образа с ядром оператора ̂︀ * тривиально, аратора []значит, удовлетворяет неравенству (41 ). С другой стороны, ⊥ H,+1 , т. е.̂︀ +1 ( )⟩ = ⟨ ̂︀ * +1 (), ⟩ = 0 для каждого ∈ R[−(+1)(−)]⟨, [], что эк[]вивалентно равенству (42 ). Таким образом, полагая Q, = {0} для > иQ =∞⨁︀[]Q, , получаем требуемое разбиение.=025Единственность разбиения. Пусть имеется два разбиения, удовлетворяющих условию теоремы:∞⨁︁Q ==0∞⨁︁̃︀ = R[]Q=0̃︀ .Индукцией по ∈ Z+ покажем, что Q = QПусть ∈ Q .
Тогда единственным образом представляется в виде =∞∑︀̃︀ . Из (4) получаем, что ̸= 0, а с > равны нулю. , где ∈ Q=0̃︀ 0 . Пусть Q = Q̃︀ дляЕсли = 0, то = 0 , что дает базу индукции: Q0 = Q = 0, − 1, ∈ N. Тогда − ∈−1⨁︀Q и=0⟨⟨ − , − ⟩ = − ,−1∑︁⟩ ==0−1∑︁(⟨, ⟩ − ⟨ , ⟩) = 0.=0̃︀ .
Аналогичными рассуждениями получаем включениеСледовательно, Q ⊆ Q̃︀ .Q ⊇ QОпределение 8.ствомЛинейное пространство Q будем называть простран-квазирезонансных полиномов индекса ∈ Z+.Покажем, как выглядят пространства Q для примеров 1 и 2 ( = 2). Вэтих примерах обобщенная нормальная форма от не зависит, поэтому мыполагали = (1, 1). Теперь будем считать, что вес выбран так, чтобы выполнялось неравенство > . Здесь и далее через span будем обозначать переходк линейной оболочке.Пример 4(см.
[23, лемма 1]). Пространства квазирезонансных полиномовиндекса ∈ Z+ для невозмущенного гамильтониана , ≥ 2, из примера 1имеют видQ = span{ +(−1) : ∈ Z+ , = 0, − 2}.26Пример 5(см. [23, лемма 2]). Пространства квазирезонансных полино-мов индекса ∈ Z+ для невозмущенного гамильтониана , , ≥ 1, =НОД(, ), из примера 2 имеют вид},Q = span{+(−1) +(−1) : (, ) ∈ ,где , обозначает множество пар (, ) ∈ Z2+ таких, что:1)−1∏︀ (︀)︀ − − ( − ) ̸= 0;=02) = 0, − 2, либо ≥ − 1, = 0, − 2, либо = / − 1, = / − 1,где ≥ .Покажем, что линейные пространства Q удовлетворяют условиям теоремы 2.Пусть (, ) ∈ , .
Тогда если + ( − )( − 1) и + ( − )( − 1) — целыенеотрицательные числа, то̂︀*(︀(︀+(−1) )︀ (︀)︀ + ( − 1) ! + ( − 1) !)︀ (︀)︀= (︀ + ( − )( − 1) ! + ( − )( − 1) !(︁∏︁(︀)︀)︁ +(−)(−1) +(−)(−1)× − + ( − )( − ) .)︀+(−1)=1̂︀ * +(−1) +(−1) = 0. Полагая в приведенном вышеВ остальных случаях (︀)︀выражении = и (, ) ∈ , , получаем неравенство (41 ), а полагая = + 1и (, ) ∈ , , — равенство (42 ). В случае = оставшиеся условия теоремы 2,очевидно, выполнены, поэтому далее мы будем предполагать, что ̸= .Допустим, что пространства Q не взаимно ортогональны.
Тогда существуют , ′ ∈ Z+ , ̸= ′ , для которых либо⎧⎪⎪⎨/ + ( − 1) = ′ / + ′ ( − 1),⎪⎪⎩/ + ( − 1) = ′ / + ′ ( − 1),27либо⎧⎪⎪⎨ + ( − 1) = / − 1 + ′ ( − 1),⎪⎪⎩ + ( − 1) = / − 1 + ′ ( − 1),где , ′ ≥ . В первом случае, вычитая из первого равенства, умноженного на, второе, умноженное на , получаем ( − ) = ′ ( − ), что противоречитпредположению ̸= . Во втором случае приходим к противоречию с предположением (, ) ∈ , : при < ′ не выполняется условие, что = 0, − 2 или = 0, − 2, а при > ′ , вычитая из первого равенства, умноженного на ,второе, умноженное на , получаем ( − ′ − 1)( − ) = − , что противоречит условию−1∏︀ (︀)︀ − − ( − ) ̸= 0. Тем самым взаимная ортогональность=0пространств Q доказана.Наконец,∞⨁︁span{+(−1) +(−1): (, ) ∈=0,}=∞⨁︁̂︀ (R) = R[].=0Как мы только что убедились, все условия теоремы 2 выполнены, следовательно, указанные пространства Q являются пространствами квазирезонансных полиномов.Отметим, что в обоих рассмотренных примерах пространства квазирезо-̂︀ (R).нансных полиномов индекса ∈ Z+ представляются в виде Q = Операция⊙.
Пусть является суммой полиномов от различных группканонических координат:( ′ , ′′ ) = 1 ( ′ ) + 2 ( ′′ ).28Обозначим через Q′ ⊂ R[ ′ ] и Q′′ ⊂ R[ ′′ ] пространства квазирезонансныхполиномов индекса для 1 и 2 соответственно.По теореме 2 для всяких полиномов ′ ∈ R[ ′ ] и ′′ ∈ R[ ′′ ] единственныразложения∞∑︁′ =′ ,∞∑︁′′ ==0′′(′ ∈ Q′ , ′′ ∈ Q′′ ),=0поэтому корректно определена билинейная операция ⊙ : R[ ′ ] × R[ ′′ ] → R[] :′′′ ⊙ =∞ ∑︁∑︁̂︀ 1* (′ ) ̂︀ 2* − (′′ ).(−1) (5)=0 =0Теорема 3(см. [23, теорема 2]).морфизм пространств:∞⨁︁Операция ⊙ задает канонический изо-Q′ ⊗ Q′′ ∼= R.(6)=0.Доказательство̂︀ * ( ′ ⊙ ′′ ) ==∞ ∑︁∑︁̂︀ * на ′ ⊙ ′′ , получаемДействуя оператором (︀ * +1 ′)︀̂︀ 1̂︀ 2* − (′′ ) + ̂︀ 1* (′ ) ̂︀ 2* −+1 (′′ )(−1) ( ) =0 =0∞∑︁̂︀ 2* +1 (′′ )′ =0̂︀ 1* +1 (′ )′′ = 0.+ (−1) Таким образом, полиномы вида (5) и их линейные комбинации — резонансные.Пусть ∈ R[] ортогонален всем полиномам вида (5):′′′⟨, ⊙ ⟩ =∞ ∑︁∑︁̂︀ 1 ̂︀ 2 − (), ′ ′′ ⟩ = 0.(−1) ⟨ =0 =0Последнее эквивалентно тому, что для каждого ∈ Z+∑︁̂︀ 1 ̂︀ 2 − () = ̂︀ 1 +1 (′ ) + ̂︀ 2 +1 (′′ )(−1) =0для некоторых полиномов ′ , ′′ ∈ R[].
Это возможно тогда и только тогда,29когда̂︀ 1 (′ ) + ̂︀ 2 (′ ) ∈ (R[]),̂︀=т. е. когда ортогонален пространству резонансных полиномов. Отсюда вытекает, что всякий резонансный полином — это линейная комбинация полиномоввида (5), а значит,R = R[ ′ ] ⊙ R[ ′′ ].(7)Пусть {′, }, {′′, }, ∈ Z+ , , ∈ N, — базисы пространств Q′ и Q′′ соответственно. Тогда {′, ⊗ ′′, } — базис в Q′ ⊗ Q′′ . Из (7) следует, что элементы{′, ⊙ ′′, } порождают R. Докажем, что они линейно независимы.∞∑︀Допустим, что, ′, ⊙ ′′, = 0 в предположении, что отлично от нуля,=1лишь конечное число коэффициентов , . Тогда∞∑︁,=1, ′,̂︀ 2* (′′, )=∞∑︁,=1,∑︁̂︀ 1* (′, ) ̂︀ 2* − (′′, ).(−1)−1 =1Поскольку справа отсутствуют слагаемые из Q′ ⊗ R[ ′′ ], а слева присутствуюттолько такие слагаемые, каждая из частей этого равенства должна равнять-̂︀ 2* (′′ ) линейно независимы,ся нулю. В свою очередь, поскольку элементы ,левая часть может равняться нулю только при равенстве всех , нулю.Таким образом, элементы ′, ⊙ ′′, образуют базис пространства R, чтодоказывает изоморфизм (6).
Наконец, поскольку ⊙ не зависит от выбора базисав∞⨁︀Q′ ⊗ Q′′ , этот изоморфизм является каноническим.=0301.6.Неполная нормальная форма Белицкогогамильтоновой системы с двумя степенями свободыс невозмущенным гамильтонианом111 11 + 222 22Пусть = 4. Положим 1 = 1 , 2 = 2 , 1 = 3 , 2 = 4 . Применимполученные результаты, чтобы найти неполную нормальную форму Белицкогогамильтониана с невозмущенной частью вида = 1 11 11 + 2 22 22 .Заметим, что найдя неполную нормальную форму Белицкого, мы при желаниисможем выписать и любую другую обобщенную нормальную форму, выбравнужный резонансный набор.Пример 6(см.
[23, следствие 1]). Пусть = 11 ± 22(1 , 2 ≥ 2)и канонический вес выбран так, что = 3 1 = 4 2 > . Соответствующие квазирезонансные полиномы были найдены в примере 4. По теореме 3 длятакого невозмущенного гамильтониана полиномы +(1 −1)11 11 +(2 −1)⊙ 22 22= 11 11 22 22(︀)︀ (︀)︀∑︁+(−1)!+(−1)!1122)︀ (︀)︀×(∓1)− (︀+(−)(−1)!+(−1)!1122=0(︀)︀ (︀)︀−× 1 1 22 −1 2 2 11 −1.образуют базис в пространстве резонансных полиномов, а неполная нормальная31форма Белицкого имеет вид + =11±22+∞ 1 −2 2 −2∑︁∑︁∑︁ +(1 −1),, 11 11 +(2 −1)⊙ 22 22.=0 1 =0 2 =0Несмотря на то, что при 1 = 2 = 2 наши рассуждения предполагали, чтовозмущение начинается с членов четвертой степени, приведенная формула даетправильный результат и при наличии в возмущении кубических членов, + = 12 ± 22 +∑︁1 ,2 , 11 22 (1 2 ∓ 2 1 ) ,1 +2 +2≥3поскольку всякий полиномиальный интеграл линейной гамильтоновой системы,сопряженной системе, порожденной невозмущенным гамильтонианом 12 ± 22 ,является полиномом от 1 , 2 и 1 2 ∓ 2 1 .Пример 7(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
