Диссертация (1149925), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Таким образом, коэффициенты , а̃︀[] определяются по [] однозначно.следовательно, и ,,Теперь рассмотрим почти тождественное преобразование вида[−+2] = ̃︀ + ̃︀ [−+] (̃︀) = ̃︀ ++ ̃︀ [−+] (̃︀)−(̃︀)̃︀[−+2][−+]где +,(̃︀)̃︀ = ̃︀ ,, = ̃︀ ,∈ H, а ̸= . Согласно леммам 3, 4 и уравнению (10), при таком[]̃︀[] для всех = 1, . Кроме того, [+] = ̃︀[+] дляпреобразовании , = ,,,всех ̸= , а[+],[−+]где [+]̂︀ [−+2]− ̃︀, = () + [−+] ,[−+2]∈ H.
Для существования [−+]и [+], таких, что ̃︀,∈[]span(T, ), необходимо и достаточно выполнение равенств[+]⟨, ,[+]⟩ = ⟨, ̃︀, ⟩для всех ∈ R . Отсюда при помощи тех же рассуждений, что и в первой части[+]доказательства, приходим к выводу, что ̃︀, определяется этим условием по[+],однозначно.Так как сказанное выше справедливо для всех = 1, , приходим к воз-̃︀[] ∈ span(S[] ) и ̃︀[+] ∈ span(T[+] ). Согласно (10),мущению, в котором ,,,,слагаемые возмущения в обобщенных степенях меньших при рассмотренныхвыше преобразованиях не меняются, следовательно искомое формальное почти42тождественное преобразование, приводящее систему (9) к требуемому виду, получается в результате композиции указанных преобразований для всех > −в порядке возрастания.2.2.Случай двух уравненийПолученная в теореме 4 нормальная форма обладает рядом достоинствдля рассматриваемого нами частного случая систем вида (8)–(9).
Ее структурудостаточно просто найти, так как все вычисления ведутся над скалярными квазиоднородными полиномами и дифференциальными операторами. Такие нормальные формы часто оказываются полезны в приложениях (см. напр. [5, 35]).Наконец, они легко сводятся к определяемым ниже обобщенным нормальнымформам Басова, хотя обратный переход может быть далеко не очевиден. В данном подразделе мы опишем сведение к обобщенной нормальной форме для двумерного случая, и найдем обобщенные нормальные формы двумерной системыс гамильтоновой невозмущенной частью, представленной вектором с мономиальными компонентами.Пусть = 2, = 1 , = 2 . Обозначим через (,) коэффициент ряда ∈R[[]] при мономе .
Для квазиоднородных разложений будем, как обычно,использовать аналогичное обозначение с квадратными скобками и указаниемвеса в качестве нижнего индекса.Сформулируем определение обобщенной нормальной формы общей автономной системы двух уравнений с квазиоднородной невозмущенной частью из̂︀ в исходнойработы [5]. Представим, что вместо гамильтонова векторного поля системе (9) и гомологическом уравнении (10) стоит произвольный квазиодно[−]родный векторный полином обобщенной степени − . Гамильтоновость̂︀ в (10) роли не играет, поэтому такое рассмотрение корректно. Обозначим43через , число различных решений уравнения ⟨, ⟩ = + и перепишемуравнение (10) в матричном виде, выбрав в линейном пространстве векторныхполиномов обобщенной степени стандартный базис из векторных мономов слексикографически упорядоченными показателями:̃︀[] = [] + · [−+].Здесь — постоянная | | × |( − + ) |-матрица, полностью определяе[−]мая коэффициентами невозмущенной части и обобщенной степенью .Условия совместности этой системы задаются = | | − rank независимыми линейными уравнениями на коэффициенты исходного и преобразованноговозмущений:∑︁ ̃︀ [,−]+ ̃︀[,−]==0∑︁[,−] + [,−] ( = 1, .
. . , ),=0[−]и также зависят только от где коэффициенты , а в правой частистоят известные величины.Определение 11.Полученные связи назовемрезонансными уравнениями.̃︀ ̃︀ , входящие хотя бы в одно из резонансных уравнеКоэффициенты рядов ,ний назовемрезонансными, а остальные — нерезонансными. Будем говорить,что подмножество различных резонансных коэффициентов векторных по-̃︀[] , ̃︀[] образует резонансный набор в обобщенной степени , еслилиномов для произвольно взятых значений оставшихся резонансных коэффициентов коэффициенты из набора однозначно определяются из резонансных уравнений.Объединение таких наборов по всем назовемОпределение 12.резонансным набором.Формальную автономную систему с квазиоднороднойневозмущенной частью назовемобобщенной нормальной формой, если в каж44дом квазиоднородном слагаемом ее возмущения все отличные от нуля коэффициенты принадлежат некоторому резонансному набору.Обобщенная нормальная форма системы, имеющей больший порядок, определяется аналогично (см.
[5]). Там же доказывается, что для произвольно выбранного по заданной невозмущенной части резонансного набора система приводится к соответствующей обобщенной нормальной форме формальным почтитождественным преобразованием.Покажем, как от нормальной формы из теоремы 4 прийти к обобщеннойнормальной форме (см. [24]). Представления векторного ряда в лемме 1 связаны следующим образом: (+1,) = −( + 1) (+1,+1) + 1 (,) , (,+1) = ( + 1) (+1,+1) + 2 (,) .Если +1 +1 ̸∈ T, ̸∈ S, то по теореме 4 коэффициенты (+1,) , (,+1) всоответствующей обобщенной нормальной форме равны нулю. Если +1 +1 ∈T, ∈ S, то коэффициенты (+1,) , (,+1) могут быть любыми. Если+1 +1 ̸∈ T, ∈ S, то, как следует из представлений)︁ + + 2 (︁12 +1 +1 ℰ =( + 1) − ( + 1) ++1 +1+1(︁)︁11 + 2 + +1 =− ( + 1) +1,( + 1)+1 ++1+1 в обобщенной нормальной форме можно положить равным нулю только один изкоэффициентов (+1,) , (,+1) .
В случае +1 +1 ∈ T, ̸∈ S в обобщеннойнормальной форме можно положить (+1,) = 0, если для некоторых ′ , ′ ∈ Z+[]′′(+1,)[ℋ , ℰ ]1[]′′(,+1)̸= 0, либо (,+1) = 0, если [ℋ , ℰ ]245̸= 0. Приэтом нужный коэффициент обнуляется заменой вида′′=̃︀ + 1 ̃︀ +1 ̃︀ ,′′ = ̃︀ + 2 ̃︀ ̃︀ +1 ,где ∈ R. Все лишние слагаемые, возникающие после такого преобразования,[+]̃︀[+−] слагаеможно учесть, добавляя в доказательстве теоремы 4 к ̃︀имые, не принадлежащие соответственно T и S.Пример 9(см.
[24, следствие 1]). Пусть = − ( ≥ 2).Как было показано в примере 1, в рассматриваемом случае в степенях > существует лишь один мономиальный гамильтонов резонансный набор S, который в то же время является усеченным и состоит из мономов с < − 1.Отсюда с учетом теоремы 4 и приведенных вслед за ней рассуждений немедленно вытекает, что соответствующая обобщенная нормальная форма имеет вид˙ = −1+∞ −3∑︁∑︁(−,) − 2 −2 + = =0˙ =∞ −2∑︁∑︁∞∑︁ (+2,−2) ,=0(−,) − + −1= =0∞∑︁ (+1,−1) ,=0где для каждого ∈ Z+ полагаем (+2,−2) = 0 или (+1,−1) = 0. В частности,при = 2 полученная формула совпадает с нормальной формой Такенса (см.[6]), а при = 3 из нее вытекает результат [36, теорема 11].Пример 10(см.
[24, следствие 2]). Пусть = (︀)︀, ≥ 1, = НОД(, ) .Как было показано в примере 2, в этом случае в степенях > + существует46лишь один мономиальный гамильтонов резонансный набор S, который в тоже время является усеченным и состоит из мономов , где либо < − 1,либо < − 1, либо = / − 1, = / − 1 с ≥ . Отсюда с учетомтеоремы 4 и приведенных вслед за ней рассуждений немедленно вытекает, чтосоответствующая обобщенная нормальная форма имеет вид −1˙ = − −2∞ (︁∑︁∑︁+=++ +2 −2∞∑︁(,−) −=0 (++2,−2) + −1 +1=0+∞∑︁ +∞ (︁∑︁−3∑︁(,−) −=+ =0∞∑︁+1 −1(++1,−1) +++ (−1,++1) (/−1,/−2) /−1 /−2 ,(−,) − )︁ (−2,++2) =0(/−1,/) /−1 /=+1−2∑︁=0∞∑︁−2 +2=0∞∑︁)︁=+1+[ 3−1+ ]−1 +(−,) − =0∞∑︁=0∞∑︁ (/,/−1) / /−1 +=+1˙ = +−3∑︁∞∑︁+ (/−2,/−1) /−2 /−1 ,=+1+[ 3−1+ ](++2,−2)где для каждых , ∈ Z+ , > и > + [ 3−1= 0 или+ ] полагаем (++1,−1) = 0, (−1,++1) = 0 или (−2,++2) = 0, (/,/−1) = 0 или (/−1,/) = 0, и в случае = 1 полагаем (/−2,/−1) = 0, а в случае ≥ 2 полагаем (/−1,/−2) = 0 или (/−2,/−1) = 0.
В частности, при = 2, = 1 из полученной формулы вытекает результат [37, теорема 7, случай = −1/2].Пример 11(см. [24, следствие 3]). Пусть = ( ≥ 1).Как было показано в примере 2, в рассматриваемом случае в степенях > 247существует лишь один мономиальный гамильтонов резонансный набор S, который в то же время является усеченным и состоит из мономов , где либо < − 1, либо < − 1, либо = .
Поскольку мономы вида являются интегралами невозмущенной части, они не входят в усеченный гамильтоноврезонансный набор. Отсюда с учетом теоремы 4 и приведенных вслед за ней рассуждений немедленно вытекает, что соответствующая обобщенная нормальнаяформа имеет вид −1˙ = − ++∞ (︁−2∑︁∑︁(,−) −=2 =0∞∑︁+2 −2(++2,−2) +−3∑︁+ )︁=0∞∑︁−1 +1 +=0∞∑︁(−,) − (−1,++1) =0 (++1,+) +1 ,=0˙ = +−1 ++1 −1∞ (︁−3∑︁∑︁=2∞∑︁(,−) −+=0+ ∞∑︁(−,) − )︁=0(++1,−1) −2 +2 +=0 −2∑︁∞∑︁ (−2,++2) =0 (+,++1) +1 .=0где для каждых , и ∈ Z+ полагаем (++2,−2) = 0 или (++1,−1) = 0, (−1,++1) = 0 или (−2,++2) = 0, (++1,+) = 0 или (+,++1) = 0.Пример 12(см. [24, следствие 4]). Пусть = ∓ (︀)︀, ≥ 2, = НОД(, ) .Как было показано в примере 2, в рассматриваемом случае гамильтонов резонансный набор составляют мономы − + с ≤ − 2 для произвольновыбранных целых чисел , таких, что 0 ≤ ≤ [/]. Нужный усеченный на48бор получается исключением из него мономов, не ортогональных степеням .Из-за громоздкости формул мы приведем не все возможные структуры обобщенных нормальных форм, а лишь те, которые соответствуют = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
