Диссертация (1149925), страница 5
Текст из файла (страница 5)
[23, следствие 2]). Пусть = 11 ± 22 22(1 ≥ 2, 2 , 2 ≥ 1)и канонический вес выбран так, что = 3 1 = 2 2 + 4 2 > . Соответствующие квазирезонансные полиномы были найдены в примерах 4 и 5. Потеореме 3 для такого невозмущенного гамильтониана полиномы +(1 −1)11 11 +(2 −1) 2 +(2 −1)2= 11 11 22 22(︀)︀ (︀)︀ (︀)︀∑︁(±1)− 2 + (2 − 1) ! 1 + (1 − 1) ! 2 + (2 − 1) !(︀)︀ (︀)︀ (︀)︀×+(−1)!+(−)(−1)!+(−1)!221122=0⊙ 22×−(︁∏︁(︀)︁)︀)︁(︁( −1)(−)2 −1 2 −12 2 − 2 2 + (2 − 2 )1 1 2 21 1,=1где (2 , 2 ) ∈ 2 ,2 (см.
пример 5), образуют базис в пространстве резонансных32полиномов, а неполная нормальная форма Белицкого имеет вид + =11 ±22 22 +∞ 1 −2∑︁∑︁ +(1 −1)∑︁,, 11 11=0 1 =0 (2 ,2 )∈ ,2 +(2 −1) 2 +(2 −1)2.⊙222Несмотря на то, что наши рассуждения не охватывали случай 1 = 2, 2 =2 = 1, приведенная формула и для него дает правильный результат,∑︁ + = 12 ± 2 2 +1 ,2 11 (2 2 )2 ,1 +22 ≥3поскольку всякий полиномиальный интеграл линейной гамильтоновой системы,сопряженной системе, порожденной невозмущенным гамильтонианом 12 ± 2 2 ,является полиномом от 1 и 2 2 .Пример 8(см. [23, следствие 3]). Пусть = 1 11 11 + 2 22 22( ̸= 0, , ≥ 1)и канонический вес выбран так, что = 1 1 + 3 1 = 2 2 + 4 2 > .Соответствующие квазирезонансные полиномы были найдены в примере 5.
Потеореме 3 для такого невозмущенного гамильтониана полиномы +(1 −1) 1 +(1 −1)1 +(2 −1) 2 +(2 −1)2= 11 11 22 22(︀)︀ (︀)︀∑︁+(−1)!+(−1)!1122)︀ (︀)︀×(−1) (︀+(−)(−1)!+(−1)!1122=0(︀)︀ (︀)︀1 + (1 − 1) ! 2 + (2 − 1) !)︀ (︀)︀× (︀1 + ( − )(1 − 1) ! 2 + (2 − 1) !1 1×∏︁(︀⊙ 22−)︀ ∏︁(︀)︀1 1 − 1 1 + (1 − 1 )2 2 − 2 2 + ′ (2 − 2 ) ′ =1=1)︀(︀× 1 22 −1 22 −1 (2 11 −1 11 −1 )− ,где (1 , 1 ) ∈ 1 ,1 , (2 , 2 ) ∈ 2 ,2 (см. пример 5), образуют базис в пространстве33резонансных полиномов, а неполная нормальная форма Белицкого имеет вид + = 1 11 11 + 2 22 22∑︁ +( −1) +(1 −1) +( −1) +(2 −1),, 11 1 11⊙ 22 2 22.+(1 ,1 )∈ ,1122(2 ,2 )∈ ,Несмотря на то, что наши рассуждения не охватывали случай = = 1,приведенная формула и для него дает правильный результат при условии, что1 и 2 рационально несоизмеримы,∑︁ + = 1 1 1 + 2 2 2 +1 ,2 (1 1 )1 (2 2 )2 ,1 +2 ≥2поскольку при этом всякий полиномиальный интеграл линейной гамильтоновойсистемы, сопряженной системе, порожденной невозмущенным гамильтонианом1 1 1 +2 2 2 , является полиномом от 1 1 и 2 2 .
Таким образом, полученнаяформула обобщает классический результат Биркгофа в случае двух степенейсвободы.Замечание 1.Все приведенные выше формулы обобщенных нормальныхформ, за исключением последней, никак не меняются, если в качестве основногополя рассматривать C. Чтобы получить комплексную неполную нормальнуюформу Белицкого для последнего примера, надо в формуле для резонансныхмногочленов заменить на .342.Обобщенные нормальные формы системс гамильтоновой невозмущенной частьюи негамильтоновым возмущением2.1.Связь с гамильтоновыми обобщенныминормальными формамиПо аналогии с квазиоднородными полиномами введем понятие квазиоднородного векторного полинома, а вместе с ним и градуировку на алгебрах Ливекторных полиномов и рядов.Определение 9.Вектор =∑︀=1 /назовемквазиоднородным век-торным полиномом обобщенной степени с весом и обозначим [], если длякаждого — квазиоднородный полином обобщенной степени + .Определения обобщенной степени и обобщенного порядка дословно переносятся со скалярного случая на векторный.Пусть = 2, а гамильтониан имеет вид=∑︁ ( , ),(8)=1где = , = + .
Как и прежде, — квазиоднородный полином обобщенной̂︀ — квазиоднородный векторныйстепени с каноническим весом . Тем самым полином обобщенной степени − , где = + 2 .Рассмотрим автономную систему с гамильтоновой невозмущенной частью̂︀ и произвольным возмущением, представленным формальным векторным ря35дом =∑︀=1 /+ / обобщенного порядка ord > − :+ ,˙ =+ .˙ = −(9)При почти тождественных преобразованиях = ̃︀ + (̃︀)(︁ord = − + > 0, =2∑︁=1 )︁система (9) переходит в систему с такой же невозмущенной частью, причем квазиоднородные слагаемые возмущения обобщенной степени меньше не меняются, а в обобщенной степени исходное и преобразованное возмущения связаныследующим образом (см. напр.
[5]):̂︀̃︀[] = [] + [[−+], ].(10)Отсюда следует, что, используя почти тождественные преобразования, в произвольном квазиоднородном слагаемом возмущения можно уничтожить члены,̂︀ · ].лежащие в образе оператора [,Коммутационные соотношения для̂︀ . Хорошо известно, что в двумерном случае произвольный вектор единственным образом разбивается на дивергентную и бездивергентную части. В теории нормальных форм такое разложение было впервые применено А.
Байдером и Я. Сандерсом в работе [10].Специальный вид (8) гамильтониана позволяет применить похожее разложение при нахождении обобщенной нормальной формы.Введем на R[] следующие линейные операторы:ℰ, = + + ,36ℒ, = ( + ℰ, )−1 .Действие ℒ, на мономах определяется формулой ℒ, ( ) =. + + + Произвольный формальный векторный ряд∑︀ = =1 / + / может быть единственным образом представленв видеЛемма 1(см. [25, лемма 1]).=.Доказательство∑︁ −+ ℰ, .=1Достаточно показать, что для каждого найдутся ря-ды , , такие, что + =−+ ℰ, , причем единственен. При этом ряд , очевидно, определен с точностью дослагаемого, не зависящего от , .Взяв дивергенцию от обеих частей последнего равенства, получим += + ℰ, ( ).Отсюда находим выражение для : = ℒ,(︁ )︁+.Положим∫︁ =( − + ) d + ,где ряд не зависит от .
Поскольку ( −+ )/ = ( − )/ , может быть выбран таким, что / = − .Искомое представление векторного ряда определяется найденными выражениями для рядов , .37(см. [25, лемма 2]).Лемма 2, такой, чтоДля произвольного ряда существует ряд̂︀ ℰ, ] = ℒ, ℒ̂︀ −1 ()ℰ, + − .[,, .Доказательство̂︀ ℰ, ] = −( − )̂︀ вытекает, чтоИз равенства [,̂︀ ℰ, ] = {, }ℰ, − ( − )̂︀ .[,̂︀ , с учетом равенства div(̂︀ ) = { , } получаемПрименяя лемму 1 к (︀)︀̂︀ ℰ, ] = {, } − ( − )ℒ, ({ , }) ℰ, + − .[, ̂︀̂︀̂︀ −1Остается показать, что −(−)ℒ, = ℒ, ℒ, . Действительно, поскольку̂︀ ℒ, ] = −ℒ, [,̂︀ ℒ−1 ]ℒ, = ℒ, [ℰ, , ]ℒ̂︀ , = ( − )ℒ, ̂︀ ℒ, ,[,,имеет место цепочка равенств(︀)︀̂︀ + [,̂︀ ℒ, ] − ( − )ℒ, ̂︀ ℒ, = ℒ, .̂︀̂︀ − ( − )ℒ, ̂︀ ℒ, = ℒ, Лемма доказана.Лемма 3[︁(см.
[25, лемма 3]). ]︁ {, } {, } ̂︀,−=−. .Доказательство[︁Для произвольного ряда По свойству скобок Пуассона имеем ]︁ { , } { , } ̂︀ ,−=−. Переменные , , где ̸= , выступают в этом равенстве в роли параметров.38С другой стороны,∑︁[︁ ]︁ ∑︁(︁ 2 2 )︁ ̂︀ ,−=− ̸≠=(︁ 2 ∑︁ { , } 2 )︁ { , } −−=−, ̸=поскольку не зависит от , . Складывая полученные равенства, приходимк формуле из утверждения леммы.Обозначим через H алгебру рядов, порожденную полиномиальными корнями из :1/1H = R[[1(11), . . . , 1/ ]],1/где — наибольшее натуральное число, такое, что ∈ R[]. Через Hбудем обозначать идеал алгебры H, порожденный элементами H, кратными .Лемма 4 H(см.
[25, лемма 4]).найдется ∈ H, такой, чтоПусть > . Тогда для произвольного ∈̂︀ ℰ, ] =[,.Доказательство −. Всякий ряд ∈ H представляется в виде =∞∑︁/ +1 ,=0где коэффициенты ∈ H не зависят от , . Следовательно,∞∑︁ / ̂︀−=(/ + 1) . =0̂︀ ℰ, ] = −( − )̂︀ для всякого ∈ H, искомый рядПоскольку [,задается выражением=−∞∑︁/ + 1=0−39/ .Лемма доказана.Замечание 2.Из приведенного доказательства видно, что справедливои обратное утверждение: для всякого ряда ∈ H существует ряд ∈ H,удовлетворяющий условию леммы 4.Предварительная нормализация.R =Положим⎧⎪⎪⎨R,если = ,⎪⎪⎩{ ∈ R : ∀ ∈ H ⟨, ⟩ = 0}, если > .Линейные пространства R , как и R, разбиваются в прямую сумму ортогональ[][]ных линейных подпространств R, ⊂ R [].Определение 10.Будем говорить, что множество квазиоднородных по-[][]линомов ,, , ∈ Z+ , = 1, . . .
, dim R, , образует -й усеченный резонансный[][]набор, если для каждого и произвольного базиса ,,пространства R, мат[][]рица скалярных произведений ⟨,, , ,, ⟩ невырождена.Пусть S и T — произвольно выбранныемономиальные, т. е. состоящие из мономов, резонансные и -е усеченные резонансные наборы для . Тогда существует формальное почти тождественноепреобразование, приводящее возмущение системы (9) к видуТеорема 4(см. [25, теорема 1]).̃︀ =∑︁ ̃︀ ̃︀ ̃︀ ℰ, ,−+ =1в котором каждое квазиоднородное слагаемое ряда ̃︀ является линейной комбинацией элементов T, а каждое квазиоднородное слагаемое ряда ̃︀ являетсялинейной комбинацией элементов S.40.ДоказательствоДля фиксированного рассмотрим произвольное пре-образование вида = ̃︀ + ̃︀ [−+] (̃︀), = ̃︀ , = ̃︀ + + ̃︀ [−+] (̃︀), = ̃︀ ,где пробегает множество индексов от 1 до , отличных от .
Согласно уравнению (10) и лемме 2, имеем[]̃︀[] = (ℒ, ℒ̂︀ −1 )([−+] ),, − ,,[]̃︀[] ., = ,[]Покажем, что для заданного полинома , существует единственный полином̃︀[] ∈ span(S[] ), для которого последнее уравнение разрешимо относительно,,[−+].Из альтернативы Фредгольма и самосопряженности ℒ, следует, что для[−+]существования [][]необходимо и достаточно, чтобы для всех ∈ Rвыполнялось равенство[][]−1[]̃︀[]⟨ℒ−1, ( ), , ⟩ = ⟨ℒ, ( ), , ⟩[][]Пусть полиномы , образуют базис пространства R , а мономы со-̃︀[] =ставляют резонансный набор.
Положим ,[]̃︀[]⟨ℒ−1, (, ), , ⟩ =∑︁ {︀∑︀ }︀[] ⟨,, ℒ−1()⟩ .,Обозначая{︀ [] }︀ = ⟨,, ⟩ , = diag{ + , + + , },{︀[] }︀[] = { }, = ⟨ℒ−1(),,,, ⟩ ,41[]∈ span(S, ). Тогда с учетом ℒ−1, ( ) = ( + + + ) получаем уравнения на : · · = .Матрица невырождена по определению резонансного набора, а — поскольку + + + > 0 для всех .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
