Диссертация (1149925), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Белицкий дал ей определение в работе [8].Метод обобщенных нормальных форм, в свою очередь, оказывается полезентам, где, например, важна сама по себе структура невозмущенной части, илиобобщенная нормальная форма достаточно проста, или же может быть дополнительно упрощена из физических или иных соображений. Все вышесказанноебудет продемонстрировано в заключительном разделе данной работы.Целью исследованияявляется разработка эффективных методов на-хождения обобщенных нормальных форм и построение единого гибкого подходак классификации нелинейных гамильтоновых и контактных систем в окрестности неэлементарной особой точки.
В рамках работы решаются следующиезадачи:1) дать универсальное определение обобщенной нормальной формы для случая гамильтоновых и контактных систем;2) предложить конструктивные методы нахождения обобщенной нормальной формы;93) выявить связь с обобщенными нормальными формами в смысле В.В. Басова и Г.Р. Белицкого;4) привести примеры приложений обобщенных гамильтоновых и контактныхнормальных форм.Методы исследования,используемые в данной работе, включают в се-бя как известные, так и новые, предложенные автором в опубликованных имстатьях:1) метод скалярных произведений Г.Р.
Белицкого;2) метод резонансных наборов В.В. Басова и его адаптация на гамильтоновслучай из работы [22];3) метод квазирезонансных полиномов из работы [23];4) разбиение плоского векторного поля на гамильтонову и негамильтоновусоставляющие по А. Байдеру и Я. Сандерсу и его обобщение на случайквазиоднородного невозмущенного гамильтониана и полей размерности2 из работ [24–26].Остановимся подробнее на методах Белицкого и резонансных наборов как надвух наиболее общих и часто используемых.Наиболее популярным подходом к вопросам локальной классификации систем с вырожденной линейной частью сейчас является метод Г.Р. Белицкого [4].В нем невозмущенная часть может быть представлена произвольным однородным вектор-полиномом.
В частности, им было дано определение нормальнойформы гамильтоновой системы с однородным невозмущенным гамильтонианом10произвольной степени, так называемой неполной нормальной формы Белицкого [8]. В подходе Белицкого с использованием на пространстве полиномов специального скалярного произведения вопрос о нахождении структуры обобщеннойнормальной формы гамильтониана сводится к отысканию полиномиальных решений однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных. Сами эти уравнения и их решения (которые мы, следуя традиционнойдля теории нормальных форм терминологии, будем называть резонансными полиномами), вообще говоря, ничем не замечательны и лишь косвенно связаны сневозмущенной системой.
В этой связи автором совместно с В.В. Басовым в работе [22] было предложено более гибкое определение обобщенной нормальнойформы в терминах резонансных наборов. Идея резонансных наборов состоитв том, чтобы в качестве слагаемых возмущения гамильтониана в нормальнойформе рассматривать не обязательно сами резонансные полиномы, а полиномы, независимым образом их представляющие. Например, резонансный наборвсегда может быть составлен из мономов. Неполная нормальная форма Белицкого также представляется резонансным набором, состоящим из резонансныхполиномов.Теоретическая значимостьисследования обусловлена универсально-стью вводимых понятий и эффективностью предлагаемого аппарата для нахождения структур обобщенных нормальных форм, который вместе с тем может быть полезен и в других задачах. Так предложенное в работе определениерезонансного набора позволяет выбирать ту или иную нормальную форму, исходя из условий задачи, и объединить результаты предшественников для многих специальных случаев (см.
примеры 3, 6–13). В частности, мы пользуемсяэтим при обобщении нормальной формы Такенса на случай произвольного ко11личества жордановых клеток 2 × 2. А применяемые в разделе 2 методы могутиспользоваться для описания полиномиальных решений широкого класса квазиоднородных дифференциальных уравнений в частных производных, средикоторых важнейшие уравнения математической физики, такие как уравненияЛапласа и теплопроводности, волновое уравнение и другие.
Также нами развиты новые методы нахождения обобщенных нормальных форм с гамильтоновойневозмущенной частью и негамильтоновым возмущением в смысле В.В. Басова.Практическая значимостьполученных результатов проиллюстриро-вана в заключительном разделе диссертации, где на примере известных термодинамических моделей мы показываем, как обобщенные нормальные формыоказываются полезны при изучении сложных физических систем. Мы применяем метод обобщенных нормальных форм для анализа критических явлений втермодинамике неидеальных сред на примере уравнений состояния смеси неидеальных газов и классической водородной плазмы.
Эта область термодинамикипредставляет большой практический интерес в связи с многочисленными приложениями физики плазмы [27]. Вместе с тем сфера практического примененияобобщенных нормальных форм не ограничивается термодинамикой. Гамильтоновы нормальные формы широко применяются в небесной механике [2,28], приисследовании стабильности пучков элементарных частиц в кольцевых ускорителях [29, Part IV, 14–15] и в других областях физики и техники.
Ввиду того,что в реальных задачах нелинейности могут оказывать значительное влияниена поведение системы, обобщенные нормальные формы могут быть полезны и вэтих областях, так как позволяют корректно учесть нелинейные эффекты приисследовании таких систем.12Научная новизнанастоящего исследования выражается в несколькихаспектах. Необходимость рассмотрения гамильтоновых систем с вырожденнойневозмущенной частью и неединственность в выборе обобщенной нормальнойформы привела к появлению множества специальных определений, годящихсялишь для некоторых частных случаев. В диссертации впервые дается определение обобщенной нормальной формы для гамильтоновых и контактных системс произвольным квазиоднородным невозмущенным гамильтонианом. Методынахождения нормальных форм Белицкого и Басова из первых двух разделовсущественно отличаются от традиционных методов линейной алгебры, используемых предшественниками, и позволяют обойти свойственные им вычислительные трудности.
Также ранее не рассматривались применения нормальныхформ в термодинамике. Таким образом, все основные результаты работы являются новыми.Публикации.Всего по теме диссертации автором опубликовано шестьстатей [22–26, 30], из них четыре, содержащие основные результаты, — в рецензируемых журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК. Работы [22–24]написаны совместно с В.В. Басовым. Постановка задач в них принадлежитВ.В. Басову. Определения гамильтонова резонансного набора и гамильтоновойобобщенной нормальной формы, а также теорема о нахождении обобщеннойнормальной формы двумерной системы с гамильтоновой невозмущенной частью предложены совместно с В.В.
Басовым. Методы нахождения резонансныхнаборов и примеры обобщенных нормальных форм в работах [22–24], а такжепостановка задач и все результаты работ [25, 26, 30] принадлежат автору. Результаты статей [22,23] соответствуют первому разделу диссертации, во второйи третий разделы попали результаты работ [24, 25, 30] и [26] соответственно.13Апробация результатов.По теме диссертации автором сделано три до-клада на международных конференциях «Еругинские чтения» (Новополоцк,2011; Гродно, 2013) [31, 32] и «Динамика, бифуркации и странные аттракторы»(Нижний Новгород, 2013) [33], а также доклад на семинаре кафедры дифференциальных уравнений математико-механического факультета СПбГУ (СанктПетербург, 2016).Положения, выносимые на защиту:1) предложено определение обобщенной нормальной формы гамильтоновойи контактной системы в терминах резонансных наборов, обладающее рядом преимуществ по сравнению с предшествующими (неполной нормальной формой Белицкого и различными специальными определениями);2) представлены эффективные методы нахождения гамильтоновых обобщенных нормальных форм со многими степенями свободы, получены в явномвиде неполные нормальные формы Белицкого для невозмущенного гамильтониана с двумя степенями свободы вида 1 11 11 + 2 22 22 ;3) представлен новый метод нахождения обобщенных нормальных форм всмысле В.В.
Басова, применимый для случая систем с гамильтоновойневозмущенной частью, в частности, получены в явном виде обобщенные нормальные формы систем двух уравнений с невозмущенной частью,представленной бездивергентным вектором с мономиальными компонентами произвольной степени, а также обобщена на случай произвольногоколичества жордановых клеток 2 × 2 нормальная форма Такенса;4) введено понятие термодинамической эквивалентности и на примере двухтермодинамических моделей неидеальных сред продемонстрирована его14полезность и в целом применимость контактных обобщенных нормальныхформ в приложениях.Структура работы.Определению формальной обобщенной нормаль-ной формы (контактного) гамильтониана и методам ее нахождения посвященпервый раздел настоящей работы. В подразделах 1.1–1.3 мы вводим понятияквазиоднородности с каноническим весом и резонансного уравнения, определяем резонансные наборы и формулируем определение обобщенной нормальнойформы.
В качестве иллюстрации введенного определения в подразделе 1.4 приводятся структуры обобщенных нормальных форм гамильтоновых систем с одной степенью свободы. Основные результаты первого раздела приведены в подразделах 1.5–1.6. К ним относятся теорема о сведении задачи о нахождении резонансных полиномов к аналогичной задаче с меньшим числом степеней свободы и нахождение с ее помощью неполной нормальной формы Белицкого гамильтоновой системы с невозмущенным гамильтонианом вида 1 11 11 + 2 22 22 .Разделы 2–3 посвящены применениям обобщенных нормальных форм гамильтоновых и контактных систем.В разделе 2 речь также идет об обобщенных нормальных формах, однакоуже не гамильтоновых систем, а систем с гамильтоновой невозмущенной частью и негамильтоновым возмущением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
