Диссертация (1149925), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Из теоремы 4 и приведенных вслед за ней рассуждений вытекает, что соответствующаяобобщенная нормальная форма имеет вид˙ = ±−1+−2∑︁−1(︂+ (,−1) )︂+−2∑︁=1+ + (−1,−1) −1=1+[−] (,−2) −2 ,̸≡0 mod >/−1∞∑︁∑︁+=1˙ = ∞∑︁(,−1) ̸≡0,−1 mod >(1−/)=1∞∑︁∑︁(︂∑︁(−1,) −1+̸≡0,−1 mod >(1−/))︂∑︁ (−1,) −1 +∞∑︁=1+[−] (−1,0) −1 +̸≡0,−1 mod >=1 (−2,) −2∑︁ (−1,−1) −1 −1 ,̸≡0 mod >/где введено обозначение[] =⎧⎪⎪⎨0, если < 0, ∈ Z,⎪⎪⎩1, если ≥ 0,и для каждых ̸≡ 0 mod , > /, = 1, − 2, > [ − ] и ∈ N полагаем (,−2) = 0 или (−1,−1) = 0, (−1,−1) = 0 или (−2,) = 0, (,−1) = 0или (−1,) = 0, за исключением случая = , в котором при = −2 в парах{ (,−3) , (−1,−2) } полагаем (,−3) = 0.
При = 2 полученная формула совпадает с нормальной формой второго порядка, полученной А. Байдероми Я. Сандерсом в работе [10]. Отметим, что для случая = 3, = 2 полнаяклассификация обобщенных нормальных форм приведена в [38, теорема 4], адля случая = 4, = 2 — в [5, теорема 3].492.3.Многомерное обобщение нормальной формы ТакенсаРассмотрим систему 2 уравнений вида˙ = + ,(12)˙ = с однородной невозмущенной частью, порожденной квадратичным гамильтонианом=−∑︁2 /2.=1Для случая = 1 обобщенная нормальная форма такой системы была впервыеполучена Такенсом (см.
[6, proposition 2.2]). Применим полученные нами вышерезультаты, чтобы распространить данное утверждение на 2-мерный случай.̂︀ * принимает вид гамильтонова векторного поляОператор *̂︀ =∑︁ / ,=1так что резонансные полиномы суть его полиномиальные интегралы. В рассматриваемом случае = −2 /2, а соответствующая алгебра H = R[[1 , .
. . , ]],определяемая равенством (11), состоит из нерезонансных полиномов. Такимобразом, линейные пространства R и R совпадают вне зависимости от того,считаем ли мы гамильтониан однородным или квазиоднородным, и имеютвидR = R = R[, ],где = { = − : 1 ≤ < ≤ }. Согласно [39, теорема 9],полиномы вида , не содержащие множителей с < < и с < < < , образуют базис пространства R. Отсюда следует, что в условияхтеоремы 4 резонансные наборы S1 и T1 всегда можно выбрать не зависящими50от 1 .
Аналогично резонансные наборы S и T можно выбрать не зависящимиот .Теорема 5(см. [25, теорема 2]).системе видаСистема (12) формально эквивалентна˙ = ,˙ = + ,где ряды , не зависят от ..ДоказательствоПусть S и T — произвольные не зависящие от ре-зонансные наборы. Согласно теореме 4, система (12) может быть приведенаформальным почти тождественным преобразованием к системе с возмущениемвида∑︁ ̃︀ ̃︀ ℰ, ,̃︀ =+=1̃︀ состоят из мономов, принадлежащих T и S соответственно.
Тегде ряды ̃︀ , же рассуждения, что были приведены выше для двумерного случая, показывают, что мы всегда можем уничтожить любую из двух ненулевых компонент̃︀ ℰ, при помощи слагаемых, не принадлежащих соответственно T ивектора S . Таким образом, избавляясь от слагаемых, соответствующих ˙ , мы приходим в точности к утверждению теоремы.Формулировка теоремы 5 почти дословно повторяет утверждение Такенса.И хотя полученная нами структура возмущения еще не является обобщеннойнормальной формой, так как может быть дополнительно упрощена при помощи почти тождественных преобразований, она имеет существенно более простой вид, чем у исходной системы.
Например, если = − ()/ , то ввиду51равенства)︁ ∑︁d (︁∑︁ 2+ () =2 d =1 2=1в ряде случаев можно судить об устойчивости положения равновесия в зависимости от вида функций и .Пример 13.Пусть = 2. В этом случае резонансные наборы S и Tопределяются условиями теоремы 5 однозначно и состоят из мономов 11 22 22 ,1 ≥ 2 , для = 1 и 11 22 11 , 2 ≥ 1 , для = 2. Соответствующая обобщеннаянормальная форма имеет вид˙ 1 = 1 ,∑︁∑︁ ( , ,1, ) (1 ,2 ,0,2 ) 1 2 2˙ 1 =11 2 2 + 11 1 2 2 11 22 22 ,1 ≥21 +1≥2˙ 2 = 2 ,∑︁∑︁ ( , , ,1) ( , , ,0)2 1 2 1 11 22 11 .˙ 2 =2 1 2 1 11 22 11 + 22 ≥12 +1≥1Отметим, что задача о нахождении так называемой нормальной формы(2) системы (12) решается в работе [39], но там нормальная форма находитсянеявно, а в уравнениях на ˙ не уничтожается возмущение. Т.
е. обобщенная нормальная форма Такенса несмотря на очевидные достоинства не укладываетсяв рамки других известных подходов, например Белицкого и (2). Этот примереще раз подтверждает целесообразность введения резонансных наборов.523.Обобщенные нормальные формыв термодинамике3.1.Термические уравнения состоянияВ термодинамике отношения между макроскопическими параметрами описываются уравнениями состояния, которые, в свою очередь, делятся на двакласса: термические и калорические.
Предметом нашего дальнейшего рассмотрения стануттермические уравнения состояния (см. напр. [40, Глава I, § 1]),которые описывают взаимосвязь между температурой , объемными концентрациями компонент системы, давлением и другими обобщенными термодинамическими силами. Для более компактной записи ниже в формулах температура рассматривается в энергетических единицах, что равносильно принятию постоянной Больцмана равной единице, а на графиках для удобства температура приводится в градусах Кельвина. Остальные физические величинырассматриваются в системе СГСЭ.Рассмотрим термическое уравнение состояния вида(, , 1 , .
. . , ) = 0.С учетом(13)уравнения Гиббса-Дюгема (см. напр. [41, с. 322])d − d −∑︁ d = 0,=1где обозначает плотность энтропии, а — химический потенциал -го типачастиц, термическое уравнение состояния (13) является уравнением в частныхпроизводных первого порядка относительно . Его характеристические урав-53нения образуют контактную систему с гамильтонианом ,˙ = −∑︁=1˙ = ,˙ = −,˙ =,+,(14)˙ = 0,для которой величины , /∑︀ , /∑︀ являются первыми интегралами,а поверхность (13) — интегральной. Отсюда вытекает, что на этой поверхности система (14) полностью интегрируется. Таким образом, для любой модели,заданной термическим уравнением состояния (13), мы можем описать все еетермодинамические свойства, непосредственно решая систему (14).Уравнения состояния реальных сред, которые, как правило, сложно получить теоретически, можно рассматривать как возмущения идеальных моделей.Один из подходов к классификации такого рода возмущений дает метод обобщенных нормальных форм.Определение 13.Будем называть два уравнения состояния вида (13)кон-тактно эквивалентными, если они сопряжены при помощи контактного преобразования, сохраняющего уравнение Гиббса-Дюгема.Для применимости метода обобщенных нормальных форм необходимо, чтобы левая часть термического уравнения состояния (13) являлась квазиоднородным полиномом от переменных , , 1 , .
. . , , причем уравнение ГиббсаДюгема должно быть квазиоднородным с тем же самым весом. При этом резонансное уравнение для невозмущенного гамильтониана принимает вид̂︀ * () = 0, ∈ R[[, , 1 , . . . , ]],54(15)̂︀ * определяется формулойгде линейный дифференциальный оператор ∑︁̂︀ * = () − () +∘() − ∘().=1Здесь ∘ обозначает композицию операторов, а = (/, /, /1 , . . . , / ).3.2.Нормальная форма вириального разложенияЧтобы проиллюстрировать понятие контактной эквивалентности, рассмотрим уравнение состояния смеси неидеальных газов, обычно записываемое припомощивириального разложения, называемого также групповым разложениемМайера (см.
[40, Глава III, § 16], [42, Глава VII, § 75]): − −∑︁1 ( )1 · · · = 0,(16)||≥2где =ются∑︀=1 , = (1 , . . . , ), || = 1 + · · · + . Функции называ-вириальными коэффициентами и характеризуют взаимодействие между||-частичными группами молекул газа.Термин «вириал» восходит к Р. Клаузиусу [40, Глава III, § 17]. Вириальноеразложение хорошо соотносится с экспериментальными данными для не слишком плотных газов и повсеместно используется для их описания. В связи с этимна него возлагались большие надежды в части описания критических явленийи тройной точки.
Однако эти надежды не оправдались [43]. Р. Фейнман связывает неприменимость вириального разложения при очень больших плотностяхс тем, что все частицы оказываются вовлеченными в один большой кластер,так что влияние -го члена преобладает над предыдущими слагаемыми. Мыпокажем более простое и строгое объяснение этому факту при помощи метода55нормальных форм.Примем за невозмущенный гамильтониан левую часть уравнения состояния смеси идеальных газов(17) − = 0.
квазиоднороден, если положить вес переменной равным 2 и веса остальныхпеременных равными 1. Тогда резонансное уравнение (15) принимает вид ∑︁ +− = 0,=1а резонансные полиномы суть линейные комбинации мономов вида , .Итак, вириальное разложение полностью состоит из нерезонансных слагаемых, которые могут быть уничтожены контактным преобразованием. Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что в качестве нормализующегоможно выбрать, например, контактное преобразование вида = ̃︀ +∑︁1 (̃︀)̃︀̃︀1 ··· , = ̃︀ , = ̃︀,||≥21̃︀ ∑︁ (̃︀)̃︀1 ···, = ̃︀ +̃︀|| − 1||≥21̃︀ ∑︁ (̃︀)̃︀1 ··· = ̃︀ −.|| − 1 ̃︀||≥2Тем самым доказано следующее утверждение.Пусть вириальные коэффициенты являются дифференцируемыми функциями от .
Тогда термическое уравнениесостояния (16) контактно эквивалентно уравнению состояния смеси идеальных газов (17).Теорема 6(см. [30, теорема 2]).Важным примером неидеальной среды, описываемой вириальным разложением, является газ Ван-дер-Ваальса (см. напр. [40, Глава III, § 16]). Хорошоизвестно, что соответствующее уравнение состояния описывает фазовый пе56реход газ-жидкость (см. рисунок 1).
В то же время само понятие фазы длягаза Ван-дер-Ваальса условно, поскольку он допускает непрерывные переходы между любыми двумя состояниями без разделения вещества на различные фазовые компоненты [42, Глава VIII, § 83]. Из теоремы 6 вытекает, чтоP— изотерма- - граница между устойчивыми и неустойчивымисостояниямиn от ( + 32 )(3 − ) = 8Рис. 1: газ Ван-дер-Ваальсаклассификация с точки зрения контактной эквивалентности не чувствительнак фазовым переходам Ван-дер-Ваальсовского типа. С другой стороны, она показывает, что нетривиальные критические явления такие, как тройная точкатипа газ-жидкость-твердое тело, не могут быть описаны в рамках вириальногоразложения.3.3.Модель Дебая-Хюккеля водородной плазмыПокажем на примере классической водородной плазмы, как метод обобщенных нормальных форм может применяться для получения нетривиальныхмоделей реальных сред.Модель Дебая-Хюккеля классической водородной плазмы, состоящей изатомов водорода, электронов и протонов, обозначаемых в дальнейшем индексами a, e и p соответственно, описывается уравнением состояния (см.
напр. [42,57Глава VII, § 78])√ − +8 3/2 3 = 0,3 1/2 p(18)где через обозначен элементарный заряд. Данное уравнение применимо впредположении электрической нейтральности,e = p ,и малости кулоновского взаимодейтсвия по сравнению с кинетической энергией,(︂≪p 2)︂3.Из системы (14) находим√︃a = ln + 1 ,где обозначаетp + e − 2a = −38+ 2 ,(1 + )коэффициент ионизации [42, Глава X, § 104]: = p /(a + p ).Поскольку величина является интегралом системы (14), а при малых концентрациях плазма ведет себя, как смесь идеальных газов, постоянные интегрирования 1 и 2 можно найти, заменяя химические потенциалы компонент нахимические потенциалы идеальных газов в пределе при → 0. Выражение дляхимического потенциала идеального газа имеет вид (см. [42, Глава IV, § 45])[︁ (︁ 2~2 )︁3/2 ]︁id = ln, где обозначает концентрацию, — статистическую сумму, а — массу частицы.
Для электронов и протонов = 2, а для атомов водорода следует ис-58пользовать формулу Планка-Ларкина (см. напр. [44])PL = 4∞∑︁=1(︁ Ry )︁Ry ]︁ exp 2−1− 2 , 2[︁где Ry ≈ 2.18 · 10−11 эрг — постоянная Ридберга. Используя приведенные формулы и решая уравнение химического равновесияp + e − a = 0,окончательно получаем следующее выражение для :(︁ 3 √︀8p )︁]︁−1[︁(︁ 2~2 )︁3/2 PLaexp −. = 1 + pe p 4 3/2(19)Введем обозначение0 = a + p .Тогдаp = 0 , = (1 + )0 .(20)Уравнения (18)–(20) дают полное термодинамическое описание водородной плазмы Дебая-Хюккеля.При малых плотностях слагаемое Дебая-Хюккеля в (18) можно отбросить,при этом множитель exp(−3√︀8 p / 3/2 ) в (19) исчезает, и в результате по-лучается классическая формула Саха для , что соответствует хорошо известной модели «идеальной плазмы» [42, Глава X, § 104].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
