Автореферат (1149924)
Текст из файла
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиВаганян Артур СуреновичОбобщенные нормальные формыгамильтоновых и контактных системСпециальность 01.01.02«Дифференциальные уравнения, динамические системыи оптимальное управление»Автореферат диссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург2016Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.Научный руководитель:кандидат физико-математических наук, доцентБасов Владимир ВладимировичОфициальные оппоненты: Садовский Антон Павлович,доктор физико-математических наук, профессор,Белорусский государственный университет,профессор кафедры дифференциальных уравненийИванов Борис Филиппович,кандидат физико-математических наук, доцент,Высшая школа технологиии энергетики (СПбГУПТД)заведующий кафедрой высшей математикиВедущая организация:Федеральное государственное бюджетноеучреждение наукиИнститут проблем механики им.
А.Ю. ИшлинскогоРоссийской академии наук (ИПМех РАН)Защита состоится «»201г. вчасов на заседании диссер-тационного совета Д 212.232.49 на базе Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199178, Санкт-Петербург, 10 линия В.О., д. 33/35,ауд. 74С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034,Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9 и на сайте http://disser.spbu.ru/files/disser2/disser/BmjVTwJ74z.pdf.Автореферат разослан «»201г.Ученый секретарь диссертационного советадоктор физико-математических наук, профессорЧурин Ю.В.Общая характеристика работыПредметом исследования диссертации являютсямальные формыобобщенные нор-гамильтоновых и контактных систем с заданной не обязательнолинейной невозмущенной частью и произвольным формальным возмущением.Метод обобщенных нормальных форм — это продолжение сформировавшейся к семидесятым годам XX века теории резонансных нормальных форм,или нормальных форм Пуанкаре, на случай сильно вырожденной линейной части нормализуемой системы, когда переход к резонансной нормальной форме недает достаточного упрощения.
В отличие от обычных обобщенные нормальныеформы учитывают не только собственные значения линейной части, но и жордановы клетки, соответствующие нулевым собственным значениям, а также нелинейные слагаемые в невозмущенной части системы. Сам термин «обобщеннаянормальная форма» был введен сравнительно недавно В.В. Басовым.
Однакопростейшие обобщенные нормальные формы встречались уже у Ф. Такенса. Вдальнейшем данное направление получило развитие в работах Г.Р. Белицкого,А. Байдера и Я. Сандерса и других авторов.Идея обобщенной нормальной формы состоит во введении квазиоднородной градуировки на алгебрах формальных рядов и векторных полей посредством присвоения каждой переменной своего веса и включении таким образомдополнительных слагаемых в невозмущенную часть системы, что приводит кболее простой по сравнению с классической нормальной форме.В рамках метода обобщенных нормальных форм рассматриваются тольковопросы формальной эквивалентности систем дифференциальных уравнений,но не сходимости нормализующего преобразования.
В то же время приведение кобобщенной нормальной форме вплоть до любой наперед заданной обобщеннойстепени всегда можно осуществить при помощи полиномиального преобразования.Актуальность исследования обусловлена прежде всего важностьюнормальных форм гамильтоновых и контактных систем с нелинейной невозмущенной частью с точки зрения приложений.Изучение гамильтоновых и контактных систем занимает значительное место в теории нормальных форм. Среди основоположников теории гамильтоно3вых нормальных форм упомянем Дж.Д. Биркгофа, Т.М. Черри, К.Л. Зигеля иА.Д. Брюно. Что касается контактных нормальных форм, наиболее значительный вклад в развитие данного направления внес В.В.
Лычагин.К вопросу о важности изучения контактного случая процитируем В.И. Арнольда: «На нечетномерных многообразиях не бывает симплектических структур, но зато бывают контактные. Контактная геометрия играет для оптики итеории распространения волн такую же роль, как симплектическая для механики.
<...> Вся симплектическая теория (включая, например, теорему Гивенталя)имеет контактные аналоги, чрезвычайно полезные для исследования особенностей в вариационных задачах.»1Первоначально контактные векторные поляи преобразования исследовались С. Ли и Э. Картаном в связи с вопросами интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных.
Сегодняконтактные системы наряду с гамильтоновыми возникают в механике, геометрической оптике, термодинамике, задачах теории оптимального управления идругих.Стоит отметить, что помимо метода обобщенных нормальных форм существуют и другие подходы к анализу особенностей с вырожденной линейной частью, например локальный метод, предложенный А.Д. Брюно, а также различные определения «неупрощаемых» нормальных форм, или нормальных форм«бесконечного порядка». Однако нахождение таких неупрощаемых нормальныхформ представляет собой очень трудную задачу, полностью решаемую лишьдля некоторых частных случаев.Предлагаемый в диссертации метод обобщенных нормальных форм оказывается полезен там, где, например, важна сама по себе структура невозмущенной части, или обобщенная нормальная форма достаточно проста, или жеможет быть дополнительно упрощена из физических или иных соображений.Все вышесказанное демонстрируется в заключительном разделе диссертации.Целью исследования диссертации является разработка эффективныхметодов нахождения обобщенных нормальных форм и построение единого гибкого подхода к классификации нелинейных гамильтоновых и контактных систем в окрестности неэлементарной особой точки.
В рамках рассматриваемойработы решаются следующие задачи:1 АрнольдВ.И. Теория катастроф. 3 изд. М.: Наука, 1990. С. 7541) дать универсальное определение обобщенной нормальной формы для случая гамильтоновых и контактных систем;2) предложить конструктивные методы нахождения обобщенной нормальной формы;3) выявить связь с обобщенными нормальными формами в смысле В.В. Басова и Г.Р. Белицкого;4) привести примеры приложений обобщенных гамильтоновых и контактныхнормальных форм.Методы исследования, используемые в работе, включают в себя какизвестные, так и новые, предложенные автором в опубликованных им статьях:1) метод скалярных произведений Г.Р. Белицкого;2) метод резонансных наборов В.В.
Басова и его адаптация на гамильтоновслучай из работы [1];3) метод квазирезонансных полиномов из работы [2];4) разбиение плоского векторного поля на гамильтонову и негамильтоновусоставляющие по А. Байдеру и Я. Сандерсу и его обобщение на случайквазиоднородного невозмущенного гамильтониана и полей размерности2 из работ [3–5].Остановимся подробнее на методах Белицкого и резонансных наборов как надвух наиболее общих и часто используемых в диссертации.Наиболее популярным подходом к вопросам локальной классификации систем с вырожденной линейной частью сейчас является метод Г.Р.
Белицкого.В нем невозмущенная часть может быть представлена произвольным однородным вектор-полиномом. В частности, им было дано определение нормальнойформы гамильтоновой системы с однородным невозмущенным гамильтонианомпроизвольной степени, так называемой неполной нормальной формы Белицкого. В подходе Белицкого с использованием на пространстве полиномов специального скалярного произведения вопрос о нахождении структуры обобщенной5нормальной формы гамильтониана сводится к отысканию полиномиальных решений однородного линейного дифференциального уравнения в частных производных. Сами эти уравнения и их решения (которые в диссертации, следуя традиционной для теории нормальных форм терминологии, названы резонанснымиполиномами), вообще говоря, ничем не замечательны и лишь косвенно связаныс невозмущенной системой. В этой связи автором совместно с В.В. Басовым вработе [1] было предложено более гибкое определение обобщенной нормальнойформы в терминах резонансных наборов.
Идея резонансных наборов состоитв том, чтобы в качестве слагаемых возмущения гамильтониана в нормальнойформе рассматривать не обязательно сами резонансные полиномы, а полиномы, независимым образом их представляющие. Например, резонансный наборвсегда может быть составлен из мономов. Неполная нормальная форма Белицкого также представляется резонансным набором, состоящим из резонансныхполиномов.Теоретическая значимость исследования обусловлена универсальностью вводимых понятий и эффективностью предлагаемого аппарата для нахождения структур обобщенных нормальных форм, который вместе с тем может быть полезен и в других задачах. Так предложенное в работе определение резонансного набора позволяет выбирать ту или иную нормальную форму, исходя из условий задачи, и объединить результаты предшественников длямногих специальных случаев (см.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
