Автореферат (1149924), страница 2
Текст из файла (страница 2)
примеры 3, 6–13). В частности, этот моментиспользуется в разделе 2 при обобщении нормальной формы Такенса на случайпроизвольного количества жордановых клеток 2 × 2. А применяемые в разделе 2 диссертации методы могут использоваться для описания полиномиальныхрешений широкого класса квазиоднородных дифференциальных уравнений вчастных производных, среди которых важнейшие уравнения математическойфизики, такие как уравнения Лапласа и теплопроводности, волновое уравнение и другие. Также в работе развиты новые методы нахождения обобщенныхнормальных форм с гамильтоновой невозмущенной частью и негамильтоновымвозмущением в смысле В.В.
Басова.Практическая значимость полученных результатов проиллюстрирована в заключительном разделе диссертации, где на примере известных тер6модинамических моделей показывается, как обобщенные нормальные формыоказываются полезны при изучении сложных физических систем. А именно,метод обобщенных нормальных форм применяется для анализа критическихявлений в термодинамике неидеальных сред на примере уравнений состояниясмеси неидеальных газов и классической водородной плазмы. Эта область термодинамики представляет большой практический интерес в связи с многочисленными приложениями физики плазмы.
Вместе с тем сфера практическогоприменения обобщенных нормальных форм не ограничивается термодинамикой. Гамильтоновы нормальные формы широко применяются в небесной механике, при исследовании стабильности пучков элементарных частиц в кольцевыхускорителях и в других областях физики и техники. Ввиду того, что в реальныхзадачах нелинейности могут оказывать значительное влияние на поведение системы, обобщенные нормальные формы могут быть полезны и в этих областях,так как позволяют корректно учесть нелинейные эффекты при исследованиитаких систем.Научная новизна настоящего исследования выражается в несколькихаспектах.
Необходимость рассмотрения гамильтоновых систем с вырожденнойневозмущенной частью и неединственность в выборе обобщенной нормальнойформы привела к появлению множества специальных определений, годящихсялишь для некоторых частных случаев. В диссертации впервые дается определение обобщенной нормальной формы для гамильтоновых и контактных системс произвольным квазиоднородным невозмущенным гамильтонианом. Методынахождения нормальных форм Белицкого и Басова из первых двух разделовсущественно отличаются от традиционных методов линейной алгебры, используемых предшественниками, и позволяют обойти свойственные им вычислительные трудности. Также ранее не рассматривались применения нормальныхформ в термодинамике.
Таким образом, все основные результаты работы являются новыми.Публикация результатов. Всего по теме диссертации автором опубликовано шесть статей [1–6], из них четыре, содержащие основные результаты, —в рецензируемых журналах из списка изданий, рекомендованных ВАК. Работы[1–3] написаны совместно с В.В. Басовым. Постановка задач в них принадлежит7В.В. Басову. Определения гамильтонова резонансного набора и гамильтоновойобобщенной нормальной формы, а также теорема о нахождении обобщеннойнормальной формы двумерной системы с гамильтоновой невозмущенной частью предложены совместно с В.В.
Басовым. Методы нахождения резонансныхнаборов и примеры обобщенных нормальных форм в работах [1–3], а также постановка задач и все результаты работ [4–6] принадлежат автору. Результатыстатей [1–2] соответствуют первому разделу диссертации, во второй и третийразделы попали результаты работ [3–5] и [6] соответственно.Апробация результатов. По теме диссертации автором сделано три доклада на международных конференциях «Еругинские чтения» (Новополоцк,2011; Гродно, 2013) [7, 8] и «Динамика, бифуркации и странные аттракторы»(Нижний Новгород, 2013) [9], а также доклад на семинаре кафедры дифференциальных уравнений математико-механического факультета СПбГУ (СанктПетербург, 2016).Положения, выносимые на защиту:1) предложено определение обобщенной нормальной формы гамильтоновойи контактной системы в терминах резонансных наборов, обладающее рядом преимуществ по сравнению с предшествующими (неполной нормальной формой Белицкого и различными специальными определениями);2) представлены эффективные методы нахождения гамильтоновых обобщенных нормальных форм со многими степенями свободы, получены в явномвиде неполные нормальные формы Белицкого для невозмущенного гамильтониана с двумя степенями свободы вида 1 11 11 + 2 22 22 ;3) представлен новый метод нахождения обобщенных нормальных форм всмысле В.В.
Басова, применимый для случая систем с гамильтоновойневозмущенной частью, в частности, получены в явном виде обобщенные нормальные формы систем двух уравнений с невозмущенной частью,представленной бездивергентным вектором с мономиальными компонентами произвольной степени, а также обобщена на случай произвольногоколичества жордановых клеток 2 × 2 нормальная форма Такенса;84) введено понятие термодинамической эквивалентности и на примере двухтермодинамических моделей неидеальных сред продемонстрирована егополезность и в целом применимость контактных обобщенных нормальныхформ в приложениях.Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трехразделов, заключения, библиографии, включающей в себя 47 наименований, иприложения. Общий объем работы составляет 75 страниц, включая 7 рисунков.Содержание работыВо введении формулируются цели и задачи исследования, обосновываетсяего актуальность и новизна, а также приводится краткий обзор диссертации суказанием результатов и соответствующих им разделов.Определению обобщенной нормальной формы (контактного) гамильтониана и методам ее нахождения посвящен первый раздел диссертации.
В подразделах 1.1–1.3 вводятся основные понятия, использующиеся в диссертации. Вподразделе 1.1 приводятся определения обобщенных степеней, порядков, квазиоднородности и канонического веса. В подразделе 1.2 вводится понятие резонансного уравнения для квазиоднородного гамильтониана с каноническимвесом, определяются резонансные полиномы и наборы. Определение обобщенной нормальной формы формулируется в подразделе 1.3. Там же доказываетсятеорема существования нормализующего преобразования в классе формальныхсимплектических (в контакном случае — контактных) преобразований.Вкратце, описываемый в разделе метод является усовершенствованным вариантом подхода Г.Р. Белицкого.
На линейном пространстве полиномиальныхгамильтонианов вводится скалярное произведение⟨, ⟩ = ()()|=0̂︀ * , двойственный к оператору взятия скобки Пуаси рассматривается оператор сона (в контактном случае — Лагранжа) с невозмущенным гамильтонианом :̂︀ · ) = {, · }. Ядро ̂︀ * называется в работе пространством резонансных по(линомов. Принципиально новыми являются определения канонического веса,резонансного набора и, собственно, нормальной формы.
В подходе Белицкого9возмущение в нормальной форме обязательно должно состоять из резонансныхполиномов, в то время как в обобщенной нормальной форме это искусственноеограничение на возмущение снято.В качестве иллюстрации введенных понятий в подразделе 1.4 приводятсяструктуры обобщенных нормальных форм гамильтоновых систем с одной степенью свободы с невозмущенной частью, порожденной гамильтонианами вида = и = ± .Подразделы 1.5–1.6 посвящены проблеме нахождения обобщенных нормальных форм гамильтонианов со многими степенями свободы.
В подразделе 1.5 показывается (см. Теорему 2), что для всякого гамильтониана такого,̂︀ * понижает обобщенную степень, существует и единственно разбиениечто пространства полиномов в прямую сумму взаимноортогональных линейныхподпространств Q , ∈ Z+ , таких, что для каждого ненулевого ∈ Q̂︀ * () ̸= 0,̂︀ * +1 () = 0.Подпространства Q в работе называются пространствамиполиномовквазирезонансныхиндекса . В качестве примеров введенного определения находят-ся квазирезонансные разбиения для гамильтониана вида = для всехвозможных сочетаний показателей и .Далее доказывается (см.
Теорему 3), что в случае, когда невозмущенный гамильтониан, представлен прямой суммой гамильтонианов от различных групп̂︀ 1*канонических координат, т. е. (, ) = 1 (′ , ′ ) + 2 (′′ , ′′ ), а операторы ̂︀ 2* понижают обобщенную степень, имеет место канонический изоморфизми пространств∞⨁︁Q′ ⊗ Q′′ ∼= R,=0где Q′ , Q′′ — квазирезонансные подпространства для 1 и 2 соответственно,а R — пространство резонансных полиномов для . Этот изоморфизм задаетсяоперацией′′′ ⊙ =∞ ∑︁∑︁̂︀ 1* (′ ) ̂︀ 2* − (′′ ),(−1) =0 =0где ′ ∈ Q′ , ′′ ∈ Q′′ — квазирезонансные слагаемые полиномов ′ и ′′ .В подразделе 1.6 с помощью результатов, полученных в подразделе 1.5,вычисляется неполная нормальная форма Белицкого гамильтоновой системы с10невозмущенным гамильтонианом вида 1 11 11 + 2 22 22 .Разделы 2–3 посвящены применениям обобщенных нормальных форм гамильтоновых и контактных систем.В разделе 2 речь также идет об обобщенных нормальных формах, однакоуже не гамильтоновых систем, а систем с гамильтоновой невозмущенной частьюи негамильтоновым возмущением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
