Автореферат (1149924), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В диссертации рассматривается случай, когда невозмущенная часть порождена гамильтонианом вида =∑︀=1 ( , ).В подразделе 2.1 для таких систем вводится специальное разбиение пространства векторных полиномов, аналогичное разбиению на гамильтонову и негамильтонову составляющие в случае двух уравнений:∑︁ −+ ℰ, ,==1где ℰ, — обобщенные операторы Эйлера. Далее вводится понятие усеченногорезонансного набора и доказывается (Теорема 4), что такая система формальноэквивалентна системе, в которой и являются линейными комбинациямиэлементов произвольно выбранных мономиальных усеченных гамильтоновыхрезонансных наборов T и гамильтоновых резонансных наборов S соответственно.В подразделе 2.2 показывается, как в случае системы двух уравнений перейти от гамильтоновых резонансных и усеченных резонансных наборов к обычным резонансным наборам в смысле В.В.
Басова, и находятся структуры обобщенных нормальных форм системы двух уравнений с невозмущенной частью,представленной бездивергентным вектором с мономиальными компонентамипроизвольной степени.В подразделе 2.3 рассматривается система с нильпотентной гамильтоновойневозмущенной частью, порожденной гамильтонианом 12 + · · · + 2 . Для случая = 1 соответствующая обобщенная нормальная форма была получена Ф. Такенсом. Используя полученные в предыдущих подразделах результаты, результат Такенса практически дословно распространяется на случай произвольного.
А именно, доказывается, что такая система формально эквивалентна системевида˙ = ,˙ = + ,11где ряды , не зависят от . Хотя такая структура возмущения еще не является обобщенной нормальной формой, так как может быть дополнительноупрощена при помощи почти тождественных преобразований, она имеет существенно более простой вид, чем у исходной системы. Для = 2 данное утверждение дополнительно уточняется, показывается, что обобщенная нормальнаяформа такого вида единственна, а структура возмущения приводится явно.Раздел 3 целиком посвящен обобщенным нормальным формам контактныхсистем и их применению в термодинамике неидеальных сред. Уравнения состояния реальных сред, которые, как правило, сложно получить теоретически,можно рассматривать как возмущения идеальных моделей. В диссертации приводится новый подход к классификации такого рода возмущений при помощиметода обобщенных нормальных форм.В подразделе 3.1 читатель знакомится с термическими уравнениями состояния, которые описывают взаимосвязь между температурой , объемнымиконцентрациями компонент системы, давлением и другими обобщенными термодинамическими силами.
С учетом уравнения Гиббса-Дюгема термическое уравнение состояния представляет собой уравнение в частных производных первого порядка относительно . Его характеристические уравненияобразуют контактную систему. В связи с этим в работе вводится понятие контактной эквивалентности таких уравнений. В качестве иллюстрации введенного определения в подразделе 3.2 рассматривается уравнение состояния смесинеидеальных газов в форме вириального разложения: − −∑︁1 ( )1 · · · = 0,||≥2где =∑︀=1 , = (1 , . . . , ), || = 1 + · · · + . Показывается, что оноконтактно эквивалентно уравнению состояния смеси идеальных газов − = 0.Далее в подразделе обсуждается физический смысл полученной обобщеннойнормальной формы.В подразделах 3.3–3.4 рассматривается модель Дебая-Хюккеля классиче-12ской водородной плазмы, описываемой уравнением состояния√ − +8 3/2 3 = 0,3 1/2 pгде через обозначен элементарный заряд.
В подразделе 3.3 обсуждаются свойства модели Дебая-Хюккеля и условия ее применимости. В заключительномподразделе 3.4 находятся младшие резонансные возмущения для такой плазмы, подробно анализируется влияние этих возмущений на поведение плазмы ивыясняется, какие физические явления могут приводить к их возникновению.Результаты раздела 3, в частности, показывают, что резонансные возмущениятермодинамических моделей являются не просто математической абстракцией,но, напротив, несут в себе ясный физический смысл, а метод обобщенных нормальных форм может быть использован для получения нетривиальных моделейнеидеальных термодинамических сред.В заключении подводятся итоги проведенного исследования, формулируются выводы, обсуждаются пути дальнейшего развития метода обобщенныхнормальных форм и вопросы, оставшиеся за рамками диссертации.
По мнениюавтора, результаты работы показывают, что обобщенные нормальные формыгамильтоновых и контактных систем могут быть полезны при изучении широкого круга задач, возникающих не только в рамках локальной качественнойтеории, но и в других предметных областях.В приложение вынесены базовые сведения о контактных и симплектических преобразованиях.Публикации автора по теме диссертацииЖирным шрифтом выделены публикации в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК.1. Басов В.В., Ваганян А.С.
Нормальные формы гамильтоновых систем //Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2010. № 4. С. 86–107.URL: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/basovvr.pdf.2. Басов В.В., Ваганян А.С. О нахождении неполной нормальнойформы Белицкого гамильтоновой системы // Функциональныйанализ и его приложения. 2014. Т. 48, № 4. С. 9–18.133. Басов В.В., Ваганян А.С. Обобщенные нормальные формы двумерных систем с гамильтоновой невозмущенной частью // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 1.
Математика.Механика. Астрономия. 2014. Т. 59, № 3. С. 351–359.4. Ваганян А.С. Обобщенные нормальные формы систем с гамильтоновой невозмущенной частью // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2015. № 4. С. 66–83. URL: http://www.math.spbu.ru/diffjournal/pdf/vaganyan.pdf.5. Ваганян А.С. О нахождении обобщенных нормальных формсистем с гамильтоновой невозмущенной частью методом Белицкого // Вестник Санкт-Петербургского Университета. Серия 1.
Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3 (61), № 3.С. 372–376.6. Ваганян А.С. Нормальные формы уравнений термодинамики //Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика.Компьютерные науки. 2016. Т. 26, № 1. С. 58–67.7. Басов В.В., Ваганян А.С. Нормальные формы гамильтоновых системс произвольной квазиоднородной невозмущенной частью гамильтониана // Еругинские чтения — 2011: тезисы докладов XIV Международнойнаучной конференции по дифференциальным уравнениям (Новополоцк,12–14 мая 2011 г.).
2011. С. 38–39.8. Vaganyan A.S. Contact transformations and normal forms in thermodynamicsof non-ideal media // XV Международная научная конференция по дифференциальным уравнениям (Еругинские чтения — 2013): тезисы докладов Международной научной конференции.
Гродно, 13–16 мая 2013 г.Часть 2 / Под ред. А.К. Деменчук, С.Г. Красовский, Е.К. Макаров. 2013.С. 83.9. Vaganyan A.S. Contact transformations and normal forms in thermodynamicsof non-ideal media // Международная конференция, посвященная памятиЛ.П. Шильникова: Тезисы докладов. 2013. С. 110–111.14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
