Диссертация (1149925), страница 8
Текст из файла (страница 8)
При больших плотностях, как видно из рисунка 2, поведение коэффициента ионизации плазмыДебая-Хюккеля значительно отличается от предсказываемого формулой Саха.С дальнейшим ростом плотности (вообще говоря, выходящим за пределы применимости самой модели) коэффициент ионизации сначала стабилизируется, азатем, после того как 0 превысит значение ≈ 8 · 1021 частиц/см3 , быстро стре59Α0.15— формула (19)0.1- - формула Саха0.05от0 , = 20 000 Кn01×10225×1021Рис.
2: Влияние слагаемого Дебая-Хюккеля на коэффициент ионизацииPΑ10.82×1010—— = 20 000 К1×1010– – = 23 000 К0.60.40.2n01×10225×1021(a)от0n01×10225×1021(b)от- - - = 26 000 К0Рис. 3: Гипотетический плазменный фазовый переходмится к 1 (см. рисунок 3). При температурах меньших ≈ 23 000 К кривая (0 ) имеет две ветви с положительной производной (/0 ) , что соответствует разделению плазмы на две устойчивых фазы. Это явление до сих порне обнаружено экспериментально, поэтому в литературе оно называетсягипо-тетическим плазменным фазовым переходом (см.
напр. [45, Часть II, Глава 6,6.4.2]).3.4.Резонансные возмущения классической водороднойплазмыЛегко видеть, что уравнение состояния (18) квазиоднородно вместе с уравнением Гиббса-Дюгема, если положить веса переменных a , e , p , равными1, веса , p , — равными 3, и вес — равным 4. Это обстоятельство позволяетприменить метод обобщенных нормальных форм для нахождения резонансныхвозмущений модели Дебая-Хюккеля (приведенные ниже результаты опублико60ваны в [30, § 4]).
Для этого перепишем уравнение (18) в полиномиальном виде: ( − )2 −8 3 6 = 0.9 p(21)При этом левая часть, которую мы примем за невозмущенный гамильтониан,имеет обобщенную степень 9.Физически допустимые возмущения должны исчезать как при → ∞,так и при p → 0, приводя к уравнению состояния смеси идеальных газов, чтонакладывает дополнительные ограничения на обобщенную нормальную форму.В частности, в обобщенной степени 10 возмущение в обобщенной нормальнойформе должно иметь вид− p ( + p + 3 )( − ),(22)где , , — постоянные.
Действительно, базис пространства резонансных полиномов обобщенной степени 10 может быть выбран состоящим из 10 , 3 , 7 p , 4 p , 2 p , 4 2p , 2p , 2 , 3 p , p , 2p , 7 + 7 6 , 3p − 3 ,4 3p + 4 2 , 3p + 3 2 2 . Из них от p явно зависят только мономы 4 p , 3 p , 2 p , 2p , p , 2p , 7 p , 4 2p и двучлены 3p − 3 , 4 3p + 4 2 , 3p + 3 2 2 . Можно выбрать резонансный набор так, что представителипоследних двучленов не будут содержать p , поэтому эти резонансные полиномы также следует исключить. С учетом упомянутого условия при → ∞, изоставшихся резонансных мономов получаем выражение (22).Влияние полученных возмущений на давление в плазме по сравнению сневозмущенной моделью плазмы Дебая-Хюккеля показано на рисунках 4–7.Разрешая возмущенное уравнение состояния относительно давления с учетомзнака слагаемого Дебая-Хюккеля и разлагая по параметрам , , , в первом61PPP3×10102×10102×10101×10101×10102×10101×10105×1021(a)1×1022n05×1021(b) = 20 000 K—=0n01×10225×1021(c) = 23 000 K– – /6 = −0.051×1022n0 = 26 000 K- - - /6 = 0.05Рис.
4: Зависимость от 0 при , = 0PP2×10102×10101×10101×10105×1021(a)1×10222×10101×1010n05×1021(b) = 20 000 K—=0Pn01×1022(c) = 23 000 K– – /6 = −0.15×10211×1022n0 = 26 000 K- - - /6 = 0.1Рис. 5: Зависимость от 0 при , = 0порядке получим следующие поправки к давлению:√2pp 28 3/2 3p++. + ≈ −2223 1/2 pПолученные поправки допускают прозрачную физическую интерпретацию.Предположим, что нейтральные атомы плазмы имеют собственный электрический дипольный момент. Тогда благодаря эффекту экранирования ДебаяХюккеля они приобретают дополнительную энергию в поле, создаваемом окружающими их ионами и электронами, обратно пропорциональную квадрату дебаевского радиуса, т.
е. пропорциональную p / , а соответствующая поправка к давлению будет пропорциональна a p / . Аналогично если ионы плазмыобладают собственным электрическим дипольным моментом, то соответствующая поправка к давлению пропорциональна 2p / . Кроме того, дипольныеэлектрические поля в плазме могут образовывать близкие друг к другу пары62PPP3×10103×10102×10102×10101×10101×10103×10102×10101×10105×1021(a)1×1022n05×1021(b) = 20 000 K—=01×1022n05×1021(c) = 23 000 K– – = 0.051×1022n0 = 26 000 K- - - = 0.1Рис.
6: Зависимость от 0 при , = 0, > 0PPP104×103×10103×10102×10102×10101×10101×10103×10102×10101×10105×1021(a)1×10221.5 1022n0 = 20 000 K—=05×1021(b)1×1022 = 23 000 K– – = −0.05n05×1021(c)1×1022n0 = 26 000 K- - - = −0.1Рис. 7: Зависимость от 0 при , = 0, < 0ион-электрон. Такие пары также дают вклад в давление пропорциональный2p / . Таким образом, слагаемые возмущения с коэффициентами и описывают дипольное экранирование в плазме, что является явлением следующегопорядка малости по сравнению с экранированием заряженных частиц плазмы,которое описывается слагаемым Дебая-Хюккеля. Чтобы объяснить физическийсмысл последнего слагаемого, напомним, что свободные электроны в плазме нестатичны, а совершают так называемыеленгмюровские колебания.
При малыхтемпературах эти колебания можно считать гармоническими. Однако при высоких температурах становятся существенными нелинейные эффекты, вкладкоторых в свободную энергию пропорционален квадрату температуры (см. [42,Глава VI, § 65]), количеству электронов и логарифму объема. Соответствующийвклад в давление дается слагаемым пропорциональным p 2 . Таким образом,слагаемое возмущения с коэффициентом описывает вклад ангармоничности63электронных колебаний в плазме.Отметим, что собственные электрические дипольные моменты у атома водорода, протона и электрона отсутствуют, поэтому в возмущении водороднойплазмы коэффициент надо положить равным нулю, а нетривиальные поправки в наименьшем порядке в водородной плазме определяются двумя коэффицинтами: и .
Окончательно с учетом поправок в обобщенной степени 10 получаем следующее выражение для давления в плазме:2pp 2 p = + +−22√︀326 p + 9(p + 3 )2.664ЗаключениеВ данной работе мы рассмотрели основные аспекты метода обобщенныхнормальных форм гамильтоновых и контактных систем, а также получилиобобщения как классических теорем Дж.Д. Биркгофа, Г.Р. Белицкого и Ф. Такенса, так и недавних результатов В.В. Басова с соавторами. Вместе с тем рядзадач, оставшихся за ее рамками, представляет интерес для дальнейших исследований. Так результаты подразделов 1.5–1.6 и раздела 2 в совокупностидают возможность нахождения в явном виде структур обобщенных нормальных форм систем с большим числом уравнений, что практически невозможносделать при помощи стандартных методов линейной алгебры в силу серьезныхвычислительных трудностей.
Было бы любопытно взглянуть на эти нормальные формы и попытаться с их помощью получить содержательную классификацию особенностей систем порядков больше двух. Интересен и вопрос об аналогетеоремы 3 и операции ⊙ для контактных систем.Представленный нами метод может быть полезен при изучении широкогокруга задач, возникающих не только в рамках локальной качественной теории, но и в других предметных областях. Например, результаты подраздела1.5 позволяют в общем виде находить полиномиальные решения для достаточно широкого класса дифференциальных уравнений в частных производных сполиномиальными коэффициентами.
При этом гамильтонова природа уравнений несущественна. Идея разложения произвольных векторных полей с четнымчислом компонент, предложенная нами в разделе 2, также может оказатьсяприменимой и к другим задачам. Так в работе [35] для плоских систем с гамильтоновой квазиоднородной невозмущенной частью специального вида былполучен критерий формальной интегрируемости, который состоит в аннулиро65вании негамильтоновой части возмущения в «нормальной форме» из теоремы 4.Приводимые в разделе 3 исследования носят в том числе экспериментальный характер. Как уже было сказано, контактные системы в теории нормальных форм до сих пор практически не рассматривались. То же самое касается и применений контактных преобразований в термодинамике, хотя наличиеестественной контактной структуры, задаваемой основным термодинамическимсоотношением, и подчеркивалось многими авторами.
И все же, по мнению автора, они заслуживают внимания, так как позволяют по-новому взглянуть нанекоторые задачи даже такой устоявшейся области физики, как классическаятермодинамика. Более того, мы показали, что резонансные возмущения термодинамических моделей являются не просто математической абстракцией, но,напротив, несут в себе ясный физический смысл, а метод обобщенных нормальных форм может быть использован для получения нетривиальных моделей неидеальных термодинамических сред.
В этой связи полученные результаты дают автору надежду, что метод обобщенных нормальных форм окажетсяполезным инструментом в изучении различных актуальных задач физики идругих областей науки.66Литература1. Tucker W. The Lorenz attractor exists // Comptes Rendus de l’Académie desSciences - Series I - Mathematics. 1999. Vol. 328, no. 12. P. 1197–1202.2. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
