Диссертация (1149907)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙУНИВЕРСИТЕТНа правах рукописиСумачева Виктория АлександровнаНОРМА ПЕРЕДАТОЧНОЙ МАТРИЦЫУПРАВЛЯЕМОЙ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ05.13.01 — системный анализ, управление и обработка информации(по прикладной математике и процессам управления)Диссертация на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукНаучный руководительдоктор физико-математических наук,профессор В.

Л. ХаритоновСанкт-Петербург20152ОглавлениеОбозначения и сокращения4Введение61 Системы линейных уравнений запаздывающего типа121.1 Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.2 Передаточная матрица . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .151.3 Норма передаточной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162 Вычисление H2 нормы передаточной матрицы систем запаздывающего типа182.1 Системы без запаздываний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182.2 Матрицы Ляпунова . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202.2.1Вычисление матриц Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . .222.3 Вычисление H2 нормы передаточной матрицы . . . . . . . . . . .272.4 Пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .313 Построение управления, уменьшающего H2 норму передаточной матрицы353.1 Постановка задачи .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353.2 Системы без запаздываний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373.3 Алгоритм уменьшения H2 нормы передаточной матрицы . . . . .393.4 Анализ замкнутой системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4533.5 Пример . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Системы линейных уравнений нейтрального типа49534.1 Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .534.2 Матрицы Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .555 Вычисление H2 нормы передаточной матрицы систем нейтрального типа705.1 Вычисление H2 нормы передаточной матрицы . . . . . . . . . . .715.2 Вычисление матриц Ляпунова . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .74Заключение80Литература82Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .884Обозначения и сокращения• Rn — вещественное множество размерности n,• Rn×m — пространство вещественных матриц размерности n на m,• e(j) — j-й стандартный базисный вектор пространства Rn , j = 1, . . . , n,• P C ([−mh, 0], Rn ) — пространство кусочно-непрерывных вектор-функций,определенных на отрезке [−mh, 0],• P C 1 ([−mh, 0], Rn )—пространствокусочно-непрерывно-дифференцируемых функций, определенных на отрезке [−mh, 0],• C 1 ([−mh, 0], Rn ) — пространство непрерывно-дифференцируемых функций, определенных на отрезке [−mh, 0],• F̂ (s) — преобразование Лапласа от функции f (t),• i — мнимая единица, i2 = −1,• Re(s) — вещественная часть комплексного числа s,• kxk — евклидова норма вектора x ∈ Rn ,• kϕkh — равномерная норма kϕkh =supkϕ(θ)k,θ∈[−mh,0]• kGk2 — H2 норма передаточной матрицы G(s),• f 0 (t + 0) — правосторонняя производная функции f (t) в точке t,5• f 0 (t − 0) — левосторонняя производная функции f (t) в точке t,• I — единичная матрица,• 0n×n — нулевая квадратная матрица размерности n на n,• det (A) — определитель матрицы A,• vec (A) — векторизация матрицы A,• A ⊗ B — кронекеровское произведение матриц A и B,• AT — транспонированная матрица,• A∗ — сопряженная матрица,• A−1 — обратная матрица,• Tr (A) — след матрицы A,• σ (A) — максимальное сингулярное число матрицы A,• δ(t) — дельта-функция Дирака,• o(ε) — бесконечно малое относительно ε,o(ε)−−→ε −ε→+00,• x(t, ϕ) — решение системы, соответствующее начальной функции ϕ,• xt (ϕ) — отрезок траектории x(t, ϕ), xt (ϕ) : θ → x(t + θ, ϕ), θ ∈ [−mh, 0],• ẋ(t) — производная функции x(t),6ВведениеТеория динамических систем играет важную роль в современной науке итехнике, так как является универсальным способом описания окружающих насобъектов и явлений.

Ее изучение важно не только для многочисленных практических задач и приложений, но и для понимания процессов, протекающих вмире.Одним из наиболее часто используемых видов описания динамическихсистем являются обыкновенные дифференциальные уравнения. Возникшие иззадач механики, они получили широкое применение не только в физике, но и вбиологии, медицине и естествознании. Однако не все процессы могут быть корректно описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями.

В любыхсложных системах, где обмен между частями происходит с конечной скоростью,возникают запаздывания. Обычно они достаточно малы, чтобы не приниматьих во внимание. Однако возможны случаи, когда даже малое запаздывание приводит к качественному изменению процесса.

Впервые запаздывания появилисьв задачах, связанных с передачей и обработкой информации, характерных, например, для управления удаленными объектами. Они возникают не только втехнике, но и в биологии (в описании численности популяций) и в некоторыхмоделях экономики.Практическая необходимость привела к созданию нового класса динамических систем, описывающих состояние объекта на основе ранее известной информации о нем. Такие системы получили название дифференциально-7разностных или систем с последействием.

Запаздывание может возникать какв управляющем или входном сигналах, так и в состоянии системы, являясьнеотъемлемой частью объекта.Часто в приложениях используются методы компенсации запаздывания,позволяющие «избавиться» от запаздывания и вернуться к рассмотрению обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако эти методы чувствительны к величине запаздывания и имеет узкую область применения. Природадифференциально-разностных уравнений такова, что они имеют бесконечномерный характер и прямое перенесение средств и методов классической теориина них невозможно. Необходимо создание теории, учитывающей особенностиподобных систем.Вместо прямого сведения задач с запаздыванием к классическим системам были предприняты попытки распространения основных результатов теории обыкновенных дифференциальных уравнений на случай систем с запаздываниями с учетом их природы.

Одной из таких теорий стал метод Ляпунова, позволяющий оценить устойчивость системы с помощью вспомогательнойфункции, названной функцией Ляпунова. Его основным преимущество является широкая применимость, так как от исследуемой системы не требуется ни линейность, ни стационарность. Первые шаги в этом направлении были предприняты Б.

С. Разумихиным и Н. Н. Красовским, предложившим две различныемодификации метода Ляпунова. Разумихин предложил использовать классические функции Ляпунова, расширив их применение на системы с запаздываниями введением дополнительного условия [46]. Однако полученный им результат не является обратимым, служит только достаточным, но не необходимым,условием устойчивости и, таким образом, не всегда может быть использовандля анализа систем.Красовский предложил учесть бесконечномерную природу систем с запаздываниями и рассматривть вместо функций Ляпунова функционалы, получившие название функционалов Ляпунова-Красовского [5, 6].

На этой осно-8ве им были получены необходимые и достаточные условия устойчивости систем, а также оценки области притяжения. Развитие теория получила в работе Ю. М. Репина, поставившего задачу построения функционалов для линейных систем [13]. Им было показано, что нахождение квадратичного функционала с заданной производной сводится к поиску вспомогательных матричныхфункций, для определения которых необходимо решить систему дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений.

Эта идея получила развитие в работах R. Datko [23], J. Louisell [41], E. F. Infante, W. B. Castelan [30],W. Huang [29], В. Л. Харитонов [32, 33, 34], А. П. Жабко [36] и другие.Было показано, что для задания функционала достаточно определитьлишь одну матричную функцию, получившую название матрицы Ляпунова. Показано, что метод ее вычисления сводится к решению матричногодифференциально-разностного уравнения с особыми граничными условиями,являющегося аналогом матричного уравнения Ляпунова в классическом случае.

В ряде случаев задача может быть сведена к нахождению решения граничной задачи для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [25].ЭтопозволилоиспользоватьтеориюфункционаловЛяпунова-Красовского в практических задачах, выведя ее за пределы исключительнотеоретических исследований.В классической теории матрицы Ляпунова позволяют не только проверить устойчивость системы, оценить характеристики переходных процессов.Они возникают и в теории оптимального управления, при синтезе H2 оптимального управления.H2 норма передаточной матрицы системы является количественной оценкой влияния внешних воздействий на выходной сигнал системы.

В качествевходного сигнала часто рассматривают внешние возмущающие воздействия, такие как порывы ветра или волнение в задачах стабилизации движения летательных аппаратов или морских объектов. Такие возмущения могут отрицательно9сказываться на качестве управления, поэтому важной задачей является построение управления, минимизирующего их влияние на выходной сигнал.

Уровеньподавления оценивается с помощью H2 нормы передаточной матрицы, котораяв данной задаче выступает критерием оптимальности.В теории обыкновенных дифференциальных уравнений нахождениеH2 нормы передаточной матрицы сводится к решению вспомогательного матричного уравнения Ляпунова со специально выбранной правой частью. Решениеже задачи управления дает метод последовательных приближений Зубова [1],основанный на решении серии матричных уравнений Ляпунова специальноговида.Задача вычисления нормы передаточной матрицы системы с запаздыванием на основе теории матриц Ляпунова впервые была поставлена группой бельгийских математиков [31]. Ими было получено явное выражение дляH2 нормы передаточной матрицы системы, не содержащей запаздываний вовходном и выходном сигналах.Целью настоящего исследования является разработка метода вычисленияH2 нормы передаточной матрицы системы, содержащей несколько запаздываний в состоянии, входном и выходном сигналах, а также построение управления, уменьшающего H2 норму передаточной матрицы системы запаздывающеготипа.

С использованием теории Ляпунова-Красовского для систем с запаздыванием были получены явные формулы для вычисления H2 нормы передаточнойматрицы систем запаздывающего и нейтрального типов, в которые, помимо коэффициентов исходных систем, входят матрицы Ляпунова.Работа состоит из пяти глав и приложения. В первой главе вводится понятие системы запаздывающего типа, являющейся основным предметом исследования, вспомогательные определения, а также понятие передаточной матрицысистемы и ее нормы.Вторая глава посвящена проблеме вычисления H2 нормы передаточнойматрицы системы запаздывающего типа. В первом параграфе приводится ме-10тод решения аналогичной задачи для системы без запаздываний с использованием матриц Ляпунова.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации