Диссертация (1149907), страница 5
Текст из файла (страница 5)
На решениях системы (3.1), замкнутой управлением (3.6),выполненоdv0 (xt )+ f (x, ū) = L(ū).dtДоказательство. Разобьем функционал (3.7) на три слагаемыхv0 (xt ) = I1 + I2 + I3и продифференцируем их по отдельности.Производная первого слагаемого будет иметь вид!mXd TdI1x (t)U (0)x(t) = 2xT (t)U (0)Ak x(t − kh) + E ū(t) .=dtdtk=0Слагаемое I2 можно переписать в видеI2 = 2xT (t)m ZtXU (t − kh − s)Ak x(s) ds,k=1 t−khтогда его производная будет равнаdI2= 2dtmX!TAj x(t − jh) + E ūj=0T+ 2x (t)m ZtXU (t − kh − s)Ak x(s) dsk=1 t−khmXTU (−kh)Ak x(t) − 2x (t)U (0)k=1T− 2x (t)mXmXAk x(t − kh)k=1ZtmXATj U (−s + t + (j − k)h)Ak x(s) ds,k=1 t−kh j=0так как согласно динамическому свойствуTU̇ (−s + t − kh) = U̇ (s − t + kh)=mXj=0!TU (s − t + kh − jh)Aj=mXj=0ATj U (−s + t + (j − k)h).42Третье слагаемое будет иметь вид ttZZmmXXI3 =xT (s1 )ATj U ((j − k)h + s1 − s2 )Ak x(s2 ) ds2 ds1 ,j=1 k=1 t−jhmt−khmXXdI3xT (t)ATj= 2dtj=1k=1−2m XmXZtU ((j − k) + t − s)Ak x(s) dst−khZtxT (t − jh)ATjj=1 k=1U (t − s − kh)Ak x(s) ds.t−khВ получившемся выражении соберем слагаемые без интеграла!mXAk x(t − kh) + E ū(t)2xT (t)U (0)k=0T+2x (t)mXTU (−kh)Ak x(t) − 2x (t)U (0)k=0mXAk x(t − kh)k=0= 2xT (t)U (0)E ū(t) + 2xT (t)mXU (−kh)Ak x(t)TTk=0mXhTTk=0T= 2x (t)U (0)E ū(t) + x (t)TU (−kh)Ak + (U (−kh)Ak )ix(t)= 2x (t)U (0)E ū(t) − x (t)C Cx(t),так как матрица Ляпунова удовлетворяет свойству симметрии (2.9).Слагаемые с интегралом образуют сумму!T m Z tmXXAj x(t − jh) + E ū2U (t − kh − s)Ak x(s) dsj=0−2+2mXxT (t)ATjm ZtXj=0k=1 t−khmXm ZtXj=1−2k=1 t−khmXj=1xT (t)ATjU (−s + t + (j − k)h)Ak x(s) dsU ((j − k) + t − s)Ak x(s) dsk=1 t−khxT (t − jh)ATjm ZtXk=1 t−khU (t − s − kh)Ak x(s) ds43= 2ūT E Tm ZtXU (t − kh − s)Ak x(s) ds,k=1 t−khтак как остальные слагаемые сократятся.Таким образом,dv0 (xt )+ f (x(t), ū)dt= 2xT (t)U (0)E ū(t) − xT (t)C T Cx(t) + 2ūT E Tm ZtXU (t − kh − s)Ak x(s) dsk=1 t−kh+x(t)T C T Cx(t) + xT (t)C T Dū(t) + ūT (t)DT Cx(t) + ūT (t)DT Dū(t)= 2xT (t)C T Dū + ūT DT Dū0ZmXxT (t + θ)ATk U (kh + θ) dθ E ū+2 xT (t)U (0) +k=1 −kh= L(ū).Таким образом, для замкнутой найденным управлением системы выполненоdv0 (xt )6 f (x(t), ū).dtЕсли квадратичная форма f (x, u) является положительно определенной,система (3.1), замкнутая управлением (3.6), является экспоненциально устойчивой.
Если это не так, устойчивость замкнутой системы потребует дополнительного исследования. В дальнейшем будем считать, что она экспоненциальноустойчива.Теперь покажем, что управление (3.6) уменьшает значение H2 нормы передаточной матрицы.Теорема 6. Для управления (3.6) справедливо следующее неравенствоkG(ū)k22 6 kG(0)k22 .44Доказательство. Как отмечалось, H2 норма передаточной матрицы может быть представлена как∞kG(ū)k22 =l ZXf (x(j) , ū(j) ) dt,j=1 0где x(j) , ū(j) соответствуют начальным данным видаBe(j) , t = 0,(j)ϕ (t) =0,t < 0.Так как все предыдущие рассуждения приводились для произвольных начальных данных, в данном случае они все будут верны.Рассмотрим выражение, стоящее под знаком интеграла#Z∞Z∞ "(j)dv0 (xt )(j)f (x(j) , ū(j) ) dt =f (x(j) , ū(j) ) +dt + v0 (ϕ(j) ) − lim v0 (xT ).T →∞dt00Так как система экспоненциально устойчива(j)lim v0 (xT ) = 0.T →∞В силу специфических начальных данных(j)v0 (ϕ ) = eто естьlX(j)TB T U (0)Be(j) ,v0 (ϕ(j) ) = Tr B T U (0)B .j=1Также ранее было показано, что(j)dv0 (xt )f (x , ū ) += L(ū(j) ) 6 0.dt(j)(j)H2 норма передаточной матрицы системы (3.1)-(3.2), замкнутой нулевымуправлением, равнаkG(0)k22 = Tr B T U (0)B .45Тогда, так как слагаемое, стоящее под знаком интеграла, неположительно,получаем∞kG(ū)k22 =l ZXL(ū(j) ) dt + Tr B T U (0)B 6 Tr B T U (0)B = kG(0)k22 .j=1 0Таким образом, построенное управление уменьшает значение H2 нормыпередаточной матрицы системы и решает поставленную задачу.3.4Анализ замкнутой системыИтерационное применение данного метода затруднено, так как замкнутаяполученным управлением система будет иметь более сложный вид, чем исходная.
Приведем далее анализ системы, замкнутой управлением (3.6).Система примет видẋ(t) = Â0 x(t) +mXAk x(t − kh) +k=1y(t) = Ĉx(t) +m Z0Xm Z0XPk (θ)x(t + θ) dθ + Bw(t), (3.8)k=1 −khQk (θ)x(t + θ) dθ,(3.9)k=1 −khгдеÂ0 = A0 − E(DT D)−1 E T U (0) + DT C ,Pk (θ) = −E(DT D)−1 E T U T (kh + θ)Ak , k = 1, .
. . , m,Ĉ = C − D(DT D)−1 E T U (0) + DT C ,Qk (θ) = −D(DT D)−1 E T U T (kh + θ)Ak ,k = 1, . . . , m.Системы такого вида называют системами с распределенным запаздыванием [34].46Характеристическая функция системы будет иметь видm Z0mXXe−kh Ak −esθ Pk (θ) dθ .f (s) = det sI − A0 −k=1 −khk=1Найдем значение H2 нормы передаточной матрицы замкнутой системы (3.8)-(3.9).
Для этого нам понадобится матрица Ляпунова. Введем необходимые для нее определения.Определение 10. [34] Фундаментальной матрицей системы (3.8) называется матричнозначная функция L(t), удовлетворяющая уравнениюL̇(t) = L(t)Â0 +mXL(t − kh)Ak +k=1m Z0XL(t + θ)Pk (θ) dθk=1 −khи начальным условиямL(0) = I,L(θ) = 0n×n ,θ < 0.Определение 11. [34] Матрицей Ляпунова V (τ ) системы (3.8) будем называть матричнозначную функцию, удовлетворяющую следующим свойствам:• динамическое свойствоmmXXdTTV (θ) = V (θ)Â0 +V (θ − kh)Ak +dθk=1Z0V (θ + ξ)PkT (ξ) dξ,k=1 −kh• свойство симметрииV (−θ) = V T (θ),• алгебраическое свойство−BBT= V(0)ÂT0mX+ Â0 V (0) +V (−kh)ATk + Ak V (kh)k=1+mXZ0k=1 −khV (ξ)PkT (ξ) + Pk (ξ)V T (ξ) dξ.47Лемма 13.
[34] Если система (3.8) экспоненциально устойчива, томатрица Ляпунова существует, единственна и может быть представленакакZ∞V (θ) =L(t)BB T LT (t + θ) dt.0Тогда можно сформулировать теорему, позволяющую выразить норму передаточной матрицы следующим образом.Теорема 7. H2 норма передаточной матрицы системы (3.8)-(3.9) равнаkGk22m Z0hX= Tr ĈV (0)Ĉ T + 2ĈV (θ)QTk (θ) dθk=1 −kh+m Xm Z0XZ0Qk (θ1 )k=1 j=1 −khV (θ2 −θ1 )QTj (θ2 ) dθ2 dθ1i.−jhДоказательство. Передаточная матрица системы (3.8)-(3.9) имеет вид0ZmXeθz Qk (θ) dθ L̂(z)B,G(z) = Ĉ +k=1 −khгде L̂(z) – образ по Лапласу фундаментальной матрицы L(t). Тогда импульснуюхарактеристику системы можно записать следующим образомH(t) = ĈL(t)B +m Z0XQk (θ)L(t + θ) dθB,k=1 −khи для вычисления нормы передаточной матрицы можно воспользоваться теоремой ПарсеваляkGk22 = TrZ∞0Z∞H(t)H T (t) dth= Tr0ĈL(t)BB T LT (t)Ĉ T + 2ĈL(t)BB Tm Z0Xk=1 −khLT (t + θ)QTk (θ) dθ48+m Z0X0Qk (θ1 )L(t + θ1 ) dθ1 BBTm ZXTθ2 )QTj (θ2 ) dθ2L (t +idtj=1 −jhk=1 −khm Z0hX= Tr ĈV (0)Ĉ T + 2ĈV (θ)QTk (θ) dθk=1 −kh+m Z0m XXk=1 j=1 −khZ0V (θ2 −Qk (θ1 )θ1 )QTj (θ2 ) dθ2 dθ1i.−jhТаким образом, для вычисления H2 нормы передаточной матрицы замкнутой управлением (3.6) системы (3.8)-(3.9) достаточно найти матрицу Ляпунова V (θ) при θ ∈ [−mh, mh].Для систем с распределенным запаздыванием не существует общего алгоритма нахождения матрицы Ляпунова.Одним из способов выхода из этой проблемы является расчет приближенных значений матрицы Ляпунова V (θ) замкнутой системы (3.8)-(3.9) и, такимобразом, вычисление приближенной величины нормы передаточной матрицы.Однако такой подход не позволяет определить, насколько уменьшилась норма,так как оценка точности вычисления матрицы Ляпунова нам не доступна.Точный метод построения матриц Ляпунова для систем с распределеннымзапаздыванием известен в случае, когда ядро системы представимо в видеP (θ) =lXηj (θ)Sj ,j=1где S1 , .
. . , Sl – постоянные матрицы, η1 (θ), . . . , ηl (θ) – скалярные функции, удовлетворяющиеldηj (θ) X=αjk ηk (θ),dθj = 1, . . . , l.k=1Так как в нашем случае в ядро входит матрица Ляпунова исходной системы, которая, как было показано, может быть представлена как решение си-49стемы обыкновенных дифференциальных уравнений, мы приходим именно кэтому случаю.Метод вычисления матрицы Ляпунова представлен в работе [34]. Болееподробно описанный механизм проиллюстрируем на примере.3.5ПримерРассмотрим процесс построения управления, уменьшающего H2 нормупередаточной матрицы, на примере системы управления агрегатом дозированиятоплива, описанной ранее, введя в нее дополнительное управление0001 x(t − 0.05) x(t) + ẋ(t) = −1925 00 −10000 u(t), w(t) + +−350−1925y(t) =1, 0 x(t) + u(t).(3.10)(3.11)Как было показано, H2 норма передаточной матрицы системы при нулевом управлении u ≡ 0 равнаkGk2 = 6.274.Матрица Ляпунова, найденная при вычислении, позволяет построитьуправление, уменьшающее значение H2 нормыū = −−h0, −3500, −350U (0) + Z0−0.05i0.385, 0U (−0.05 − θ) x(t)00−1925 0 x(t + θ)dθ.
(3.12)50Замкнутая система примет вид0001 x(t − 0.05) x(t) + ẋ(t) = −1925 0219.8728 −101.3 0Z0000 x(t + θ)dθU (−0.05 − θ) −−1925 00 122500 −0.050 w(t),+−1925y(t) =0.3718, 0.0037 x(t) Z000 x(t + θ)dθ.− 0, −350U (−0.05 − θ) −1925 0−0.05Так как матрица C T C не является положительно определенной, устойчивость замкнутой системы требует дополнительного исследования.
Для этоговоспользуемся характеристической функцией системыs−1f (s) = det −0.05s219.8728 + 1925es + 101.3 0Z0000 dθ.−U (−0.05 − θ) sθ0 122500 −0.05−1925e 0Для того чтобы доказать экспоненциальную устойчивость системы, достаточно проверить, что характеристическая функция не имеет нулей в правойполуплоскости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
