Диссертация (1149907), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Во втором параграфе вводятся основные понятиятеории Ляпунова-Красовского для систем запаздывающего типа: определениефункционалов и матриц Ляпунова, а также процедура их построения. В третьем параграфе представлен основной результат главы: явная формула длявычисления H2 нормы передаточной матрицы системы запаздывающего типа.Процесс построения нормы проиллюстрирован в четвертом параграфе на примере системы управления расходом топлива газотурбинного двигателя.В третьей главе в систему запаздывающего типа вводится управляющеевоздействие и ставится задача построения управления, уменьшающего H2 норму передаточной матрицы системы. Первый параграф целиком посвящен постановке задачи, во втором дан обзор решения аналогичной задачи для системы, не содержащей запаздываний.
В третьем параграфе представлен алгоритмпостроения искомого управления на основе теории Ляпунова-Красовского. Четвертый параграф посвящен анализу системы, замкнутой найденным управлением, в том числе вычислению значения H2 нормы ее передаточной матрицы.Более подробно процесс описан в пятом параграфе на знакомом примере извторой главы, в который было введено управление.В четвертой главе вводится новый тип систем с запаздываниями — системы нейтрального типа. Первый параграф содержит основные сведения о системах, второй посвящен теории Ляпунова-Красовского: в нем вводится понятияфункционалов и матриц Ляпунова-Красовского, а также приводятся необходимые для применения данной теории доказательства.В пятой главе рассматривается задача, аналогичная поставленной во второй главе: вычисление H2 нормы передаточной матрицы системы нейтрального типа.
В первом параграфе выводится общее выражения для H2 нормы, аво втором дается описание метода построения матриц Ляпунова, необходимыхдля полного определения значения нормы.Реализация результатов методов, описанных в пятой главе, представлена11в приложении. Она содержит программный код в среде MATLAB, позволяющийвычислить H2 норму передаточной матрицы системы нейтрального типа.Результаты работы докладывались на научных конференциях: XLII,XLIII, XLIV международные научные конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» факультета ПМ-ПУ СПбГУ (Санкт-Петербург, 2011-2013), «International Student Olympiad on AutomaticControl» (Санкт-Петербург, 2011) и «Всероссийское совещание по проблемамуправления» (Москва, 2014).Основные результаты опубликованы в сборниках конференций, указанных выше [17, 18, 19, 52, 16], а также в журналах, входящих в списокВАК [14, 15, 50].На защиту выносятся следующие положения:• метод вычисления H2 нормы передаточной матрицы системы запаздывающего типа, содержащей произвольное количество запаздываний — теорема 4;• алгоритм построения управления, уменьшающего H2 норму передаточнойматрицы системы запаздывающего типа — теорема 6;• метод вычисления H2 нормы передаточной матрицы системы нейтральноготипа, содержащей произвольное количество запаздываний — теорема 8.12Глава 1Системы линейныхуравнений запаздывающеготипаВ этой главе приведем общие сведения о линейных системах с запаздываниями, основные определения и понятия, которые будут использоваться вдальнейшем, а также понятие передаточной матрицы системы и ее нормы.1.1Общие сведенияРассмотрим линейную стационарную систему с несколькими кратнымизапаздываниямиẋ(t) =y(t) =mXj=0mXAj x(t − jh) +mXBj w(t − jh),(1.1)j=0Cj x(t − jh),(1.2)j=0где h > 0 – положительное запаздывание, непрерывные функции x(t) ∈ Rn ,w(t) ∈ Rl , y(t) ∈ Rs являются текущим состоянием системы, входным ивыходным сигналами, w(t) – ограниченная кусочно-непрерывная функция,A0 , .
. . , Am , B0 , . . . , Bm , C0 , . . . , Cm — вещественные матрицы соответствующихразмерностей.13Для того, чтобы определить решение системы (1.1), необходимо задать начальную функцию ϕ ∈ P C ([−mh, 0], Rn ). Соответствующее ей решение x(t, ϕ)должно удовлетворять начальному условиюx(t, ϕ) = ϕ(t),t ∈ [−mh, 0].Если выбор начальной функции не существенен, решение будем обозначать x(t).Для системы с запаздывающих аргументом состоянием будет являться неточка траектории x(t, ϕ), а ее сегмент xt (ϕ), заданный на отрезке [t − mh, t],xt (ϕ) : θ → x(t + θ, ϕ),θ ∈ [−mh, 0].Для краткости состояние системы также будем обозначать xt .В работе будут исследоваться вопросы управления и устойчивости исходной системы, поэтому необходимо ввести следующие определения.Определение 1.
Система (1.1) называется экспоненциально устойчивой,если существуют γ ≥ 1 и α > 0 такие, что все решения x(t, ϕ) системы приw(t) ≡ 0 удовлетворяют оценкеkx(t, ϕ)k ≤ γe−αt kϕkh ,t ≥ 0.Здесь и далее норма векторов евклидова, норма матриц индуцированнаяею, а норму функций определим какkϕkh =kϕ(θ)k .supθ∈[−mh,0]Определение 2. Характеристической функцией системы (1.1) называется функция комплексного переменногоf (s) = det sI −mX!e−sh Ak.k=0Корни характеристической функции называются характеристическими числами системы, а множествоΛ = {s | f (s) = 0}спектром системы.14Для экспоненциально устойчивых систем верно, что их спектр лежит воткрытой левой комплексной полуплоскостиRe (s0 ) < 0, s0 ∈ Λ.Это свойство можно использовать для исследования устойчивости системы.Для дальнейшего исследования введем понятие фундаментальной матрицы системы, тесно связанное с аналогичным понятием для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.Определение 3.
[22] Фундаментальной матрицей системы (1.1) называется матричнозначная функция K(t), удовлетворяющая уравнениюK̇(t) =mXAj K(t − jh),t > 0,K(θ) = 0n×n ,θ < 0.(1.3)j=0и начальными условиямK(0) = I,Условие экспоненциальной устойчивости системы можно выразить в терминах фундаментальной матрицы.Лемма 1. [22] Система (1.1) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда существуют γ ≥ 1 и α > 0 такие, чтоkK(t)k 6 γe−αt ,t > 0.С помощью фундаментальной матрицы можно записать решение системы.Лемма 2.
[22] Для заданной начальной функции ϕ ∈ P C ([−mh, 0], Rn )справедливо0x(t, ϕ) = K(t)ϕ(0) +m ZXK(t − θ − jh)Aj ϕ(θ) dθj=1 −jh+m ZXtK(t − ξ)Bj w(ξ − jh) dξ,j=0 0Данное выражение носит название формулы Коши.t > 0. (1.4)151.2Передаточная матрицаПонятие передаточной матрицы тесно связано с понятием преобразованияЛапласа.Определение 4.
[8] Образом Лапласа функции f (t) называется функциякомплексного переменногоZ∞F̂ (z) =f (t)e−zt dt.0Для того чтобы преобразование Лапласа существовало, достаточно, чтобы функция f (t) была абсолютно суммируема и удовлетворяла условию∃L > 0, p > 0 :kf (t)k ≤ Lept ∀t > 0,то есть возрастала не быстрее показательной функции.Выберем нулевую начальную функцию ϕ(θ) = 0 ∈ Rn , θ ∈ [−h, 0] иобозначим через x(t) соответствующее решение системы (1.1) при произвольномвходном сигнале w(t). Отвечающий этому решению выходной сигнал обозначимчерез y(t). Преобразование Лапласа функций w(t), y(t), x(t) и K(t) обозначимc (s), Yb (s), X(s)bbчерез Wи K(s)соответственно.
Данные функции удовлетворяютусловиям существования преобразования, так как w(t) ограничена, а системаэкспоненциально устойчива.С их помощью можно сформулировать определение передаточной матрицы, связывающей преобразования Лапласа входного и выходного сигналов.Определение 5. [8] Передаточной матрицей системы (1.1)-(1.2) называется матричнозначная функция комплексного переменного G(z), удовлетворяющая соотношениюc (z).Yb (z) = G(z)WС передаточной матрицей также связано понятие импульсной характеристики – ее аналога во временной области.16Определение 6. [8] Прообраз Лапласа H(t) передаточной матрицы системы называется импульсной передаточной матрицей системы (1.1)-(1.2).Одним из свойств импульсной характеристики является то, что она можетбыть выражена через выходной сигнал исходной системы.Система (1.1)-(1.2) будет иметь выходной сигнал вида y (j) (t) = H(t)e(j) ,j = 1, .
. . , l, где e(j) – j-й базис пространства Rl (l – размерность входногосигнала), в каждом из следующих случаев:• входной сигнал имеет вид w(j) (t) = δ(t)e(j) , j = 1, . . . , l, а начальные данныенулевые;• входной сигнал нулевой, а начальная функция имеет специальный видBj e(j) , t = 0,(j)ϕ (t) =0,t < 0.1.3Норма передаточной матрицыТак как передаточная матрица связывает входной и выходной сигналы,численной мерой их зависимости принято считать норму передаточной матрицы. Введем определение следующих норм.Определение 7.
[54] H2 нормой передаточной матрицы системы (1.1)(1.2) называется1kGk22 =2πZ∞Tr (G∗ (iω)G(iω)) dω.−∞Теорема Парсеваля позволяет выразить H2 норму во временной областичерез импульсную характеристику.Лемма 3. [54] H2 норма передаточной матрицы системы (1.1)-(1.2)17равнаkGk22 =Z∞Tr H T (t)H(t) dt.0Определение 8. [54] H∞ нормой передаточной матрицы системы (1.1)(1.2) называетсяkGk∞ = sup σ (G(iω)) .ωВ качестве входного сигнала в системе часто рассматривают внешние возмущающие воздействия, а норма передаточной матрицы является показателемтого, насколько система усиливает или ослабляет этот входной сигнал, поэтомув задачах управления норма выступает в качестве критерия оптимальности.Выбор нормы обусловлен видом входного сигнала.
Если входной сигналпринадлежит пространству L2 , то есть является функцией, суммируемой сквадратом, задача сводится к минимизации H∞ нормы передаточной функции замкнутой системы. В этом случае норма определяет реакцию системы нанаибольшее возмущение. H∞ оптимизацию используют в задачах управленияподвижными объектами в условиях морского волнения или ветра.Если же входной сигнал принадлежит пространству L∞ , то есть являетсяограниченным, ставится задача H2 оптимального управления. Например, если система испытывает влияние аддитивного шума (при передаче информацииили измерении физических параметров), H2 норма представляет собой среднееусиление системой входного сигнала.Таким образом, в случаях, когда система испытывает внешние возмущения, возникают задачи построения управления, которое обеспечивало бы какможно меньшее влияния внешнего сигнала на характеристики системы и еевыходной сигнал, то есть уменьшало бы норму передаточной матрицы.18Глава 2ВычислениеH2нормыпередаточной матрицысистем запаздывающего типаВ данной главе поставим задачу нахождения явной формулы для вычисления H2 нормы передаточной матрицы системы, введенной в предыдущей главеẋ(t) =y(t) =mXj=0mXAj x(t − jh) +mXBj w(t − jh),(2.1)j=0Cj x(t − jh).(2.2)j=0Для этого воспользуемся хорошо изученной для систем с запаздываниями теорией матриц Ляпунова.Будем предполагать, что система при w(t) ≡ 0 экспоненциально устойчива.2.1Системы без запаздыванийПеред тем как перейти непосредственно к решению поставленной задачи,опишем здесь метод решения аналогичной задачи для систем обыкновенныхдифференциальных уравнений.19Рассмотрим системуẋ(t) = Ax(t) + Bw(t),(2.3)y(t) = Cx(t),(2.4)где матрица A устойчива, функция w(t) ограничена.Введенные в предыдущей главе определения передаточной матрицы и импульсной характеристики справедливы и для этой системы и могут быть записаны следующим образом.Лемма 4.
Передаточная матрица системы (2.3)-(2.4) имеет видG(s) = C (sI − A)−1 B.Лемма 5. Импульсная передаточная матрица системы (2.3)-(2.4) имеет видg(t) =CeAt B, t > 0,0,(2.5)t < 0.Матрица eAt является фундаментальной матрицей системы (2.3).Данные понятия позволяют сформулировать следующее выражение дляH2 нормы.Теорема 1. [54] H2 норма передаточной матрицы системы (2.3)-(2.4)вычисляется по формулеkGk22 = Tr B T L0 B ,(2.6)где матрица L0 может быть найдена из уравнения ЛяпуноваAT L0 + L0 A + C T C = 0.Доказательство. Так как в дальнейшем мы будем пользоваться похожимметодом, приведем доказательство этого утверждения.20H2 норма передаточной матрицы может быть выражена через импульсную характеристикуkGk22Z∞=Tr H T (t)H(t) dt =0Z∞T AT tTr B eTAtC Ce B dt = Tr B T L0 B ,0где матрицаZ∞L0 =TeA t C T CeAt dt0матрица Ляпунова системы (2.3), которая также может быть найдена как решение системыAT L0 + L0 A + C T C = 0.Так как формула (2.6) включает в себя только коэффициенты исходнойсистемы, вычисление H2 нормы системы сводится к нахождению матрицы Ляпунова, ассоциированной с матрицей C T C.2.2Матрицы ЛяпуноваВ теории дифференциальных уравнений для вычисления H2 нормы передаточной матрицы используется теория матриц Ляпунова, которая имеет распространение на системы с запаздываниями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
