Диссертация (1149907), страница 8
Текст из файла (страница 8)
. . , m,0получим исходное выражение.Таким образом мы получили формулу (5.5) для вычисления H2 нормыпередаточной матрицы системы (5.1)-(5.2), в которую входят только матричные коэффициенты исходной системы и значения матриц Ляпунова в точках−mh, . . . , 2mh.Аналогично всем предыдущим случаям, как для систем без запаздываний, так и для систем запаздывающего типа, вычисление нормы сводится кнахождению матриц Ляпунова.5.2Вычисление матриц ЛяпуноваТак как в данном случае система экспоненциально устойчива, матрицаЛяпунова при заданной W существует, единственна, и для ее вычисления можноиспользовать неявное определение.Рассмотрим на промежутке τ ∈ [0, h] вспомогательные матрицыZj (τ ) = U (τ + jh, W ),j = −m, .
. . , m − 1,и общую матрицу размерности n × 2mnZ(τ ) = (Zm−1 (τ ) . . . Z0 (τ ) Z−1 (τ ) . . . Z−m (τ )) .Введем векторизацию матрицы Z(τ )z(τ ) = vec (Z(τ )) .(5.6)75Полученный вектор будет иметь длину 2mn2 .С его помощью систему (4.4) можно переписать в векторной форме.Лемма 19. Вектор z(τ ) удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравненийz 0 = R0−1 R1 z,(5.7)где матрицы R0 и R1 имеют вид· · · I × Dm−1 I × Dm I ×I............0n×n × 0n×n · · ·I ×II × D1R0 = T Dm×I· · · D1T × II ×I............TT0n×n × 0n×n · · · Dm× I Dm−1×I I × A0...0n×n × 0n×nR1 = −ATm × I...0n×n × 0n×n· · · I × Am−1......······...···· · · 0n×n × 0n×n ......···I × Dm .· · · 0n×n × 0n×n ......···I ×II × Am...Z−k Dk =k=0mXU (τ − kh, W )Dk ,k=0ее производная согласно динамическому свойству (4.4) равна" m#mXd XU (τ − kh, W )Dk =U (τ − kh, W )Ak ,dτk=0k=0откуда получаем, чтоddτ"· · · 0n×n × 0n×n ......I × A0I × A1···I × Am .TT−A1 × I −A0 × I · · · 0n×n × 0n×n ............TTT−Am × I −Am−1 × I · · · −A0 × IДоказательство.
Рассмотрим суммуmXmXk=0#Z−k Dk =mXk=0Z−k Ak .76Аналогично получаем остальные равенства" m#mXXdZj−k Dk =Zj−k Ak , j = 0, . . . , m − 1.dτk=0k=0Теперь рассмотрим суммуmXDkT Zk−m=mXDkT U (τ + (k − m)h, W )k=0k=0=mXmTT XTU (mh − τ − kh, W T )DkU (−τ − (k − m)h, W )Dk =k=0k=0согласно свойству симметрии (4.5). Теперь можем воспользоваться динамическим свойствомmmXd XTU (mh − τ − kh, W )Dk = −U (mh − τ − kh, W T )Ak ,dτk=0k=0тогда получаемmX"DkT Zk−m = −k=0mX#TU (mh − τ − kh, W T )Akk=0=−mXATk U (τ + (k − m)h, W ) = −ATk Zk−m .k=0Аналогично можно показать, что" m#mXd X TDk Zk+j = −ATk Zk+j ,dτk=0j = −m, . .
. , −1.k=0Применяя операцию векторизации к полученным соотношениям, получимискомую систему (5.7).Решение системы (5.7) находится по формуле Коши−1z(τ ) = eR0R1 τz(0).Для его определения необходимо найти начальный вектор z(0).77Лемма 20. Начальный вектор z(0) удовлетворяет системе линейныхалгебраических уравнений−1(M + N eR0R1 h)z(0) = (−w, 0, .
. . , 0)T .Векторизация w = vec W T , матрицы M иP0 0n×n · · · 0n×nI × I · · · 0n×n 0n×n ......... ...M = 0n×n · · · I × I 0n×n 0n×n · · · 0n×n I × I ........... .0n×n · · · 0n×n 0n×n Qm Qm−10n×n −I × I .... ..N = 0n×n 0n×n0n×n 0n×n ..... .0n×n 0n×nN имеют вид···...······...···Pm 0n×n 0n×n .... .. 0n×n 0n×n ,0n×n 0n×n .... .. I × I 0n×nQ00n×n······...0n×n...0n×n...···...0n×n······...0n×n...···0n×n· · · Pm−1···· · · −I × I(5.8)−I × I · · ·......0n×n···0n×n 0n×n .. .
0n×n ,0n×n .. . −I × IгдеP0 =mX(DjT× Aj ),Pj =j=0Q0 =mX(ATk × Dk+j + DkT × Ak+j ),j = 1, . . . , m,k=0mX(ATj × Dj ),Qj = P−j ,j = 1, . . . , m,w = vec (W ) .j=0Доказательство. По определению (2.12)Zj (0) = Zj+1 (h),j = −m, . . . , m − 2,78что верно и для векторицаций матрицj = −m, . . . , m − 2.vec (Zj ) (0) = vec (Zj+1 ) (h),Из (4.6) следует, чтоmXDjT Z0 (0)AjmX+j=0ATk Z−1 (0)Dk+1 + DkT Z−1 (0)Ak+1 + . . .k=0mX+ATk Z−m (0)Dk+m + DkT Z−m (0)Ak+mk=0++mXk=0mXATk Zm−1 (h)Dk−m + DkT Zm−1 (0)Ak−m + . .
.ATk Z1 (h)Dk−1+DkT Z−1 (h)Ak−1+mXATj U0 (h)Dj = −W,j=0k=0откуда для векторизаций матрицP0 vec (Z0 ) (0) + P1 vec (Z−1 ) (0) + . . . + Pm vec (Z−m ) (0)+ Qm vec (Zm−1 ) (h) + . . . + Q1 vec (Z1 ) (h) + Q0 vec (Z0 ) (h) = −w.Объединяя, получаемM z(0) + N z(h) = (−w, 0, . . . , 0)T .По формуле Коши−1z(h) = eR0R1 hz(0),откуда получаем искомую систему.Теорема 9. Вектор z(τ ) на промежутке [0, h] может быть найден спомощью формулыR0−1 R1 τz(τ ) = eM + NeR0−1 R1 h−1(−w, 0, . . . , 0)T .Доказательство. Непосредственно вытекает из предыдущих лемм.(5.9)79Выражение (5.9) полностью определяет значение функции ЛяпуноваU (τ, W ) на промежутке [−mh, mh]Чтобы найти U (τ, W ) в последующих промежутках, воспользуемся системой (4.4) и методом интегрирования по шагам.Например, при τ ∈ [mh, (m + 1)h] функции U (t − h, W ), .
. . , U (t − mh, W )известны, и динамическое свойство (4.4) принимает вид неоднородной системыобыкновенных дифференциальных уравненийmmXXdU (τ, W ) =U (τ − jh, W )Aj +U 0 (τ − jh, W )Dj = U (τ, W )A0 + F (τ ).dτj=0j=1Находя решение системы по формуле КошиZτU (τ, W ) = U (mh, W ) + F (ξ)e−A0 (ξ−mh) dξ eA0 (τ −mh) ,mhполучаем U (τ, W ) на промежутке τ ∈ [mh, (m + 1)h].Аналогично можно продолжить решение на весь требуемый отрезок[−mh, 2mh] найти U (−mh), .
. . , U (2mh), что полностью определяет выражениедля нормы передаточной матрицы.80ЗаключениеВ работе рассматривалась проблема вычисления H2 нормы передаточнойматрицы, а также задача построения управления, уменьшающего значение H2нормы. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений существует решение подобных задач с использованием теории матриц Ляпунова. В работебыла предпринята попытка распространить эти результаты на системы с запаздываниями.Во второй главе получено явное выражение для H2 нормы системы запаздывающего типа, содержащей произвольное количество запаздываний в состоянии, входном и выходном сигналах. Формула включает в себя коэффициентыисходной системы и значение матриц Ляпунова в нескольких точках.
Такимобразом, приведенное в той же главе описание метода построения матриц Ляпунова для систем запаздывающего типа полностью определяет выражение дляH2 нормы. Полученный метод проиллюстрирован на примере системы управления расходом топлива газотурбинного двигателя.В третьей главе с помощью теории Ляпунова-Красовского получено выражение для управления, уменьшающего H2 норму передаточной матрицы системы запаздывающего типа, а также представлен анализ системы, замкнутой построенным управлением, и метод вычисления уменьшенного значения H2 нормы. Стоит отметить, что получившаяся система относится к классу систем сраспределенным запаздыванием, что существенно усложняет анализ. Все результаты главы проиллюстрированы на примере системы управления расходом81топлива, введенной во второй главе.
Таким образом, анализ H2 нормы передаточной матрицы этой системы полностью завершен.В пятой главе полученное выражение для H2 нормы передаточной матрицы распространяется на более широкий класс систем с запаздываниями - системы нейтрального типа.
Полученная формула также полностью определяетсязначениями матриц Ляпунова. Метод их вычисления в случае систем нейтрального типа, описанный в пятой главе, математически обоснован в четвертой.Алгоритм, полученный для вычисления H2 нормы передаточной матрицысистемы нейтрального типа, как наиболее общего из рассмотренных в работеслучаев, реализован в среде MATLAB и представлен в приложении.Таким образом, в работе не только получены результаты относительно H2нормы передаточной матрицы систем с запаздываниями, имеющие безусловноепрактическое значение, но и проиллюстрированы возможные направления применения метода Ляпунова-Красовского.82Литература1. Зубов В.
И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 496 с.2. Зубов В. И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Известия вузов. Математика. 1958. № 6. С. 86-95.3. Кокунин Ю. В., Сумачев А. М., Сумачева В. А. Методы компенсации запаздывания в системе автоматического управления агрегатом дозированиятоплива двигателя ТВ7-117В // Климовские чтения-2014: перспективныенаправления развития авиадвигателестроения: Сборник докладов международной научно-технической конференции. СПб.: Скифия-принт, 2014. С 2838.4. Колмановский В.
Б., Носов В. Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М., Наука, 1981. 448 c.5. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., Государственное изд. физ.-мат. литературы, 1959. 211 с.6. Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравненийс запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1956.Т. 20. С. 315-327.7. Красовский Н.
Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикладная математика имеханика. 1962. Т. 26. Вып. 1. С. 39-51.838. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 749 c.9. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ,1950. 472 с.10. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи матем. наук. 1949.
Т. 4, вып. 5. С. 99-141.11. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения / подред. Л.Э̇. Эльсгольца. М.: Издательство иностранной литературы, 1961.248 с.12. Разумихин Б. С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикладнаяматематика и механика. 1956. Т. 20. Вып. 4. С. 500-512.13. Репин М. Ю. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
