Диссертация (1149907), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Тогда по предыдущему можно построить два(1)(2)функционала v0 (ϕ, ψ) и v0 (ϕ, ψ) такие, что(1)(2)dv0 (xt , yt ) dv0 (xt , yt )== −xT (t)W y(t), t ≥ 0.dtdt(2)(1)Введем функционал ∆v(ϕ, ψ) = v0 (ϕ, ψ) − v0 (ϕ, ψ),d∆v(xt , yt ) ≡ 0 ⇒ ∆v(xt (ϕ), yt (ψ)) = ∆v(ϕ, ψ).dtТак как система экспоненциально устойчива, xt (φ), yt (ψ)→t→∞0, поэтому∆v(xt , yt ) → 0, откуда следует, что ∆v(ϕ, ψ) = 0 ∀ϕ, ψ. Введем новую матt→∞63рицу Ляпунова ∆U (τ, W ) = U (2) (τ, W ) − U (1) (τ, W ), тогда#" m mXX0 = ∆v(ϕ, ψ) = ϕT (0)DjT ∆U ((j − k)h, W )Dk ψ(0)T+ϕ (0)m XmXj=0 k=1DjTj=0 k=0Z0hi∆U ((j − k)h − θ, W ) Ak ψ(θ) − Dk ψ̇(θ) dθ−kh0+m Xm ZX[Aj ϕ(θ) − Dj ϕ̇(θ)]T ∆U ((j − k)h + θ, W )Dk dθ ψ(0)j=1 k=0 −jh+m Xm Z0 hXiTAj ϕ(θ1 ) − Dj φ̇(θ1 )j=1 k=1 −jhZ0×∆U ((j − k)h + θ1 − θ2 , W ) [Ak ψ(θ2 ) − Dk ϕ̇(θ2 )] dθ2  dθ1 ,−khто есть матрица ∆U (τ, W ) удовлетворяет определению матрицы Ляпунова(4.4)-(4.6) с W = 0n×n .

В дальнейшем для краткости будем обозначать∆U (τ, W ) = ∆U (τ ).Теперь докажем, что ∆U (τ ) = 0, то есть U (2) (τ, W ) = U (1) (τ, W ).Выберем произвольные векторы γ, µ > 0, число ε > 0. В качестве начальных функций будем рассматриватьγ, θ ∈ [−ε, 0],(1)ϕ (θ) =0, θ ∈ [−h, −ε),ψ (1) (θ) =µ, θ ∈ [−ε, 0],0,θ ∈ [−h, −ε).Функционал с такими начальными функциями примет вид" m m#XX0 = ∆v(ϕ(1) , ψ (1) ) = γ TDjT ∆U ((j − k)h)Dk µj=0 k=0+γ Tm XmXj=0 k=1−γ Tm XmXj=0 k=1DjTZ0∆U ((j − k)h − θ)Ak µ dθ−εDjT ∆U ((j − k)h + ε)Dk µ640+−m Xm ZX[Aj γ]T ∆U ((j − k)h + θ)Dk dθ µj=1 k=0 −εm XmX[Dj γ]T ∆U ((j − k)h − ε)Dk µj=1 k=00+m Xm ZXj=1 k=1 −εm m Z0−XX[Aj γ]TZ0∆U ((j − k)h + θ1 − θ2 )Ak µ dθ2 dθ1−ε[Aj γ]T ∆U ((j − k)h + θ + ε)Dk µ dθj=1 k=1 −ε−m XmX[Dj γ]Tj=1 k=1+mm XXZ0∆U ((j − k)h − ε − θ)Ak µ dθ−ε[Dj γ]T ∆U ((j − k)h)Dk µ + o(ε)j=1 k=1= α0 + α1 ε + o(ε) ∀ε,что влечет за собой α0 = α1 = 0.Слагаемое α0 будет иметь видα0 = γTmm XX−γ=DjT ∆U ((jj=0 k=0mm XXT− k)h)Dk µ − γTmm XXDjT ∆U ((j − k)h)Dk µ + γj=1 k=0mXDjT ∆U (jh)µγTj=0DjT ∆U ((j − k)h)Dk µj=0 k=1mm XXTDjT ∆U ((j − k)h)Dk µj=1 k=1− γTmXDjT ∆U (jh)µ = γ T ∆U (0)µ ∀γ, µ.j=1Отсюда следует, что ∆U (0) = 0n×n .Теперь выберем векторы γ, µ, α, β, τ0 ∈ (0, h), ε > 0 такое, что −τ0 + 2ε <0, и в качестве начальных функций рассмотримγ,θ∈[−ε,0],α, θ ∈ [−ε, 0],ϕ(2) (θ) = µ, θ ∈ [−τ0 , −τ0 + ε],ψ (2) (θ) = β, θ ∈ [−τ0 , −τ0 + ε],0, в остальных точках,0, в остальных точках.65Функционал разобьем на слагаемыеm XmXTDjT ∆U ((j − k)h)Dk α.I1 = γj=0 k=0I2 = γ Tm XmXDjTj=0 k=1−γ TZ0∆U ((j − k)h − θ) dθ Ak α−εm XmXDjT ∆U ((j − k)h + ε)Dk αj=0 k=1+γ Tm XmXDjTj=0 k=1+γ T−γ Tm XmXj=0 k=1mm XX−τZ0 +ε∆U ((j − k)h − θ) dθ Ak β−τ0DjT ∆U ((j − k)h + τ0 − ε)Dk βDjT ∆U ((j − k)h + τ0 )Dk βj=0 k=1= γTmm XXDjTj=0 k=1+γ T−γ T−γ T= εγ T∆U ((j − k)h − θ) dθ Ak α−εmm XXDjTj=0 k=1−γ TZ0mm XXj=0 k=1m XmXj=0 k=1m XmX−τZ0 +ε∆U ((j − k)h − θ) dθ Ak β−τ0DjT [∆U ((j − k)h + τ0 ) − ∆U ((j − k)h + τ0 − ε)] Dk βDjT [∆U ((j − k)h + ε) − ∆U ((j − k)h)] Dk αDjT ∆U ((j − k)h)Dk αj=0 k=1mmXX+εγDjT ∆U ((j − k)h)Ak αj=0 k=1m XmXT−εγ Tj=0 k=1m XmXj=0 k=1DjT ∆U ((j − k)h + τ0 )Ak βDjT ∆U 0 ((j − k)h + τ0 )Dk β66−εγ−γ TTm XmXDjT ∆U 0 ((j − k)h + 0)Dk αj=0 k=1mmXXDjT ∆U ((j − k)h)Dk α + o(ε).j=0 k=1Следующее слагаемое аналогично предыдущемуI3 = εγTm XmX+εµj=1 k=0m XmXT−εµT−εγ T−γ TATj ∆U ((j − k)h)Dk αj=1 k=0m XmXj=1 k=0mm XXATj ∆U ((j − k)h − τ0 )Dk αDjT ∆U 0 ((j − k)h − τ0 )Dk αDjT ∆U 0 ((j − k)h − 0)Dk αj=1 k=0mmXXDjT ∆U ((j − k)h)Dk α + o(ε).j=1 k=0Четвертое слагаемое разбивается на несколькоI4 = I41 + I42 + I43 + I44 .I41 =m Z0 XZ0Tϕ(2) (θ1 ) ATj∆U ((j − k)h + θ1 − θ2 )Ak ψ (2) (θ2 ) dθ2 dθ1 = o(ε).j,k=1−jhI42 =mXZ0−khZ0Tϕ̇(2) (θ1 ) DjT∆U ((j − k)h + θ1 − θ2 )Ak ψ (2) (θ2 ) dθ2 dθ1j,k=1−jh=mXγ T DjTj,k=1−mXj,k=1−khZ0∆U ((j − k)h − ε − θ)Ak α dθ−εµT DjTZ0∆U ((j − k)h − τ0 + ε − θ)Ak α dθ−ε67mX+µT DjTj,k=1mX+γ T DjTj,k=1mX−µT DjTj,k=1mX+µT DjTj,k=1= εγ∆U ((j − k)h − τ0 − θ)Ak α dθ−ε−τZ0 +ε∆U ((j − k)h − ε − θ)Ak β dθ−τ0−τZ0 +ε∆U ((j − k)h − τ0 + ε − θ)Ak β dθ−τ0−τZ0 +ε∆U ((j − k)h − τ0 − θ)Ak β dθ + o(ε)−τ0mXTZ0DjT ∆U ((j− k)h)Ak α + εγj,k=1mXTDjT ∆U ((j − k)h + τ0 )Ak β + o(ε).j,k=1АналогичноI43 =m Z0 Xj,k=1−jhmXTZ0Tϕ(2) (θ1 ) ATj∆U ((j − k)h + θ1 − θ2 )Dk ψ̇ (2) (θ2 ) dθ2 dθ1−khATj ∆U ((j= εγ− k)h)Dk α + εµj,k=1I44mXTATj ∆U ((j − k)h − τ0 )Dk α + o(ε).j,k=1Z0m Z0 TXϕ̇(2) (θ1 ) DjT=∆U ((j − k)h + θ1 − θ2 )Dk ψ̇ (2) (θ2 ) dθ2 dθ1=j,k=1−jhmXTγj,k=1mX+−−−j,k=1mXj,k=1mXj,k=1mXj,k=1−khDjT ∆U ((j− k)h)Dk α −mXγ T DjT ∆U ((j − k)h − 2ε + τ0 )Dk βj,k=1γ T DjT ∆U ((j − k)h − ε + τ0 )Dk βµTDjT ∆U ((j− k)h − τ0 + 2ε)Dk α +mXµT DjT ∆U ((j − k)h)Dk βj,k=1µT DjT ∆U ((j − k)h + ε)Dk β +µT DjT ∆U ((j − k)h − ε)Dk β +mXj,k=1mXj,k=1µT DjT ∆U ((j − k)h − τ0 + ε)Dk αµT DjT ∆U ((j − k)h)Dk β68=mXγ T DjT (∆U ((j − k)h − ε + τ0 ) − ∆U ((j − k)h − 2ε + τ0 )) Dk βj,k=1mX−−++j,k=1mXj,k=1mXj,k=1mXµT DjT (∆U ((j − k)h − τ0 + 2ε) − ∆U ((j − k)h − τ0 + ε)) Dk αµT DjT (∆U ((j − k)h + ε) − ∆U ((j − k)h)) Dk βµT DjT (∆U ((j − k)h) − ∆U ((j − k)h − ε)) Dk βγ T DjT ∆U ((j − k)h)Dk αj,k=1mX= 2εγj,k=1mXDjT ∆U 0 ((j− k)h + τ0 )Dk β − 2εµT DjT ∆U 0 ((j − k)h + 0)Dk β + ε−εj,k=1mXmXµT DjT ∆U 0 ((j − k)h − τ0 )Dk αj,k=1mXµT DjT ∆U 0 ((j − k)h − 0)Dk βj,k=1γ T DjT ∆U ((j − k)h)Dk α + o(ε)+j,k=1mX= 2ε+TγTDjT ∆U 0 ((j− k)h + τ0 )Dk β − 2εj,k=1mXmXµT DjT ∆U 0 ((j − k)h − τ0 )Dk αj,k=1γ T DjT ∆U ((j − k)h)Dk α + o(ε),j,k=1так как скачки ∆U 0 (jh − 0) − ∆U 0 (jh + 0) = 0,j = −m, .

. . , m.Соберем вместе все получившиеся слагаемые. При µ = β = 0 начальныефункции совпадают ϕ(2) = ϕ(1) , ψ (2) = ψ (1) , поэтому часть слагаемых, содержащих только γ и α, совпадает с ∆v(ϕ(1) , ψ (1) ) = 0. Останется(2)(2)0 = ∆v(ϕ , ψ ) = εγTmX∆U (−kh + τ0 )Ak βk=1−εγT−εµTmXk=1mXj=10∆U (−kh + τ0 )Dk β + εµTmXATj ∆U (jh − τ0 )αj=1DjT ∆U 0 (jh − τ0 )α ∀γ, µ, α, β, τ0 ,69следовательно, выполненоmX∆U (τ − kh)Ak +mX∆U 0 (τ − kh)Dk = 0,k=1k=1и система (4.4) принимает вид∆U 0 (τ ) = ∆U (τ )A0с начальным условием∆U (0) = 0n×n ,откуда получаем, что ∆U (τ ) ≡ 0n×n и U (1) ≡ U (2) при τ ∈ [0, h].70Глава 5ВычислениеH2нормыпередаточной матрицысистем нейтрального типаВ данной главе рассмотрим задачу нахождения H2 нормы передаточнойматрицы системы нейтрального типа!mmmXXXdDj x(t − jh) =Aj x(t − jh) +Bj w(t − jh),dt j=0j=0j=0y(t) =mXCj x(t − jh),(5.1)(5.2)j=0где h > 0 – положительное запаздывание, непрерывные функции x(t) ∈ Rn ,w(t) ∈ Rl , y(t) ∈ Rs являются текущим состоянием системы, входным и выходным сигналами, w(t) – ограниченная кусочно-непрерывная функция, D0 = I,D1 , .

. . , Dm , A0 , . . . , Am , B0 , . . . , Bm , C0 , . . . , Cm — вещественные матрицы соответствующих размерностей.Как и в случае систем запаздывающего типа, для получения явной формулы H2 нормы передаточной матрицы воспользуемся теорией матриц Ляпунова.71Вычисление H2 нормы передаточной5.1матрицыДля вычисления H2 нормы нам потребуются понятия передаточной матрицы и импульсной характеристики системы, определения которых были даныранее.Лемма 17. Передаточная матрица системы (5.1)-(5.2) имеет вид!!mmXXbBj e−jhs ,(5.3)G(s) =Cj e−jhs K(s)j=0j=0bгде K(s)— преобразование Лапласа фундаментальной матрицы системы.Доказательство.

Применим преобразование Лапласа к системе (5.1)(5.2), получимmXse−jhsbDj X(s)=j=0Yb (s) =mXj=0mXe−jhsbAj X(s)+mXc (s),e−jhs Bj Wj=0be−jhs Cj X(s),j=0или!mX −jhsbseDj − e−jhs Aj X(s)=mXj=0j=0mXYb (s) =!e−jhs Bjc (s),W!e−jhs CjbX(s).j=0Можем выразить образ выходного сигнала через образ входного и получим следующий вид передаточной матрицы! m!−1 m!mmXXXXCj e−jhs .G(s) =Bj e−jhsse−jhs Dj −Aj e−jhsj=0j=0j=0j=072Проделав то же самое с уравнением (4.3)mXse−jhsbDj K(s)−I =j=0mXbe−jhs Aj K(s),j=0получим, что матрицаbK(s)=!−1mX −jhsseDj − e−jhs Ajj=0представляет собой преобразование Лапласа фундаментальной матрицы, откуда и получаем искомое представление.Лемма 18.

Импульсная характеристика системы (5.1)-(5.2) имеетвидH(t) =mm XXCj K(t − (j + k)h)Bk .(5.4)j=0 k=0Доказательство. Непосредственно вытекает из предыдущей леммы поопределению импульсной характеристики как прообраза по Лапласу передаточной матрицы.Данные выражения аналогичны полученным для систем запаздывающеготипа и позволяют вывести явную формулу для вычисления нормы с использованием матриц Ляпунова.Теорема 8. H2 норма передаточной матрицы экспоненциально устойчивой системы (5.1)-(5.2) может быть вычислена по формуле!mXkGk22 = TrBjT U ((j − r)h, W0 )Brj,r=0+2 TrmXBjTj,r=0mX!U ((j − r − p)h, Wp )Br,p=1где матрицы Ляпунова ассоциированы с матрицамиW0 =mXk=0CkT Ck ,Wp =Xk=0,...,m−pCkT Cp+k ,p = 1, .

. . , m.(5.5)73Доказательство. H2 норма передаточной матрицы, как было показаноранее, может быть выражена через импульсную характеристикуZ∞kGk22 =Tr H T (t)H(t) dt0Z∞mX= Tr BjT K T (t − (j + k)h)CkT Cl K(t − (l + r)h)Br dt .j,k,l,r=0 0Интеграл сходится, так как система (5.1) экспоненциально устойчива.Эту формулу можно упростить. Разобьем выражение для нормы на двечастиmXkGk22 = Tr Z∞BjT K T (t − (j + k)h)CkT Ck K(t − (k + r)h)Br dtj,k,r=0 0Z∞m XT TT = I1 + I2 .+ Tr BK(t−(j+k)h)CCK(t−(l+r)h)Bdtlrjkj,k,l,r=0 0k6=lСделав замену τ = t − (j + k)h, получим∞ZmmXXBjT K T (t)CkT Ck K(t + (j − r)h) dt Br I1 = Tr j,r=0= TrmXk=00!BjT U ((j − r)h, W0 )Br.j,r=0Второе часть разбивается на пары, состоящие из слагаемых, отличающихся только транспонированием, поэтому их следы совпадаютZ∞mXXTTTI2 = 2 Tr BK(t)CCK(t+(j+k−l−r)h)dtBrjk lj,r=0= 2 Tr mXBjTj,r=0= 2 TrmXj,r=0k=0...m−1l=k+1...m0BjTZ∞K T (t)0mXp=1mXWp K(t + (j − r − p)h) dt Br p=1!U ((j − r − p), Wp )Br.74Введя матрицы ЛяпуноваZ∞U (τ, Wp ) =K T (t)Wp K(t + τ ) dt,p = 0, .

Характеристики

Список файлов диссертации