Диссертация (1149907), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Так как для решения поставленной задачи мы будем использовать аналогичный подход, дадим здесь описаниеи основные определения этого метода.Определение 9. Матрицей Ляпунова, ассоциированной с произвольнойквадратной матрицей W, для системы (2.1) называется непрерывная по τ матрица U (τ, W ), удовлетворяющая следующим свойствам:21• динамическое свойствоmXdU (τ, W ) =U (τ − jh, W )Aj ,dτj=0τ ≥ 0,(2.7)• свойство симметрииU (−τ, W ) = U T (τ, W T ),τ ≥ 0,(2.8)• алгебраическое свойствоmX TAj U (jh, W ) + U (−jh, W )Aj = −W.(2.9)j=0Данное определение удобно использовать для вычисления матриц Ляпунова, а также для анализа некоторых свойств. Однако существует другое (явное) выражение, связывающее матрицу Ляпунова с фундаментальным решением системы.Лемма 6.

Для экспоненциально устойчивой системы (2.1) матрицаЛяпунова, ассоциированная с матрицей W , существует, единственна и может быть представлена в виде несобственного интегралаZ∞U (τ, W ) =K T (t)W K(t + τ ) dt.(2.10)0В общем случае это не так: матрица Ляпунова может не существовать,если интеграл (2.10) не сходится, или определяться из соотношений (2.7)-(2.9)не единственным образом.Матрицу Ляпунова используют для определения функционала ЛяпуноваКрасовского, играющего ключевую роль в исследовании устойчивости системы.Лемма 7. Если система (2.1) экпоненциально устойчива, то производ-22ная билинейного функционала0v0 (ϕ, ψ) = ϕT (0)U (0, W )ψ(0) + ϕT (0)m ZXU (−jh − θ, W )Aj ψ(θ) dθj=1 −jh0+m ZXϕT (θ)ATj U (jh + θ, W ) dθψ(0)j=1 −jh+m XmXZ0ϕT (θ1 )ATj j=1 k=1 −jhZ0U ((j − k)h + θ1 − θ2 , W )Ak ψ(θ2 ) dθ2  dθ1 (2.11)−khна решениях системы (2.1) при w ≡ 0 удовлетворяет равенствуdv0 (xt , yt ) = −xT (t)W y(t), t > 0.(2.1),w(t)≡0dtДоказательства данных лемм аналогичны представленным в [34], где рассмотрен случай, когда матрица W является симметрической.

В данной работенам потребуется более общий случай произвольной матрицы W. Доказательства будут представлены в последующих главах, где будет рассмотрен болееобщий случай.2.2.1Вычисление матриц ЛяпуноваТак как в случае экспоненциально устойчивой системы матрица Ляпуновапри заданной W существует и единственна, свойства (2.7)-(2.9) можно использовать для ее вычисления.Введем на промежутке τ ∈ [0, h] вспомогательные матрицыZj (τ ) = U (τ + jh, W ),j = −m, . . . , m − 1,(2.12)где m, напомним, количество запаздываний системы (2.1), и общую матрицуразмерности n × 2mnZ(τ ) = (Zm−1 (τ ) .

. . Z0 (τ ) Z−1 (τ ) . . . Z−m (τ )) .23Введем операцию векторизации матрицы, vec(A). Так будем называтьвектор, состоящий из столбцов матрицы A = (a1 , . . . , an ), записанных друг поддругомa 1 vec (A) =  ...  .anУтверждение 1. [39] Для произвольных матриц согласованных размерностей A,B,X верноvec (AXB) = B T ⊗ A vec (X) ,где операция ⊗ обозначает прямое (Кронекеровское) произведениеb A b21 A · · · b2n1 A 11bAbA···bA12222n2.BT ⊗ A =  ..........  ..b1n A b2n A · · · bnn AВ дальнейшем будем пользоваться операцией A × B = (B T ⊗ A).Введем векторизацию матрицы Z(τ )z(τ ) = vec (Z(τ )) .Полученный вектор будет иметь длину 2mn2 .С его помощью систему (2.7) можно переписать в векторной форме.Лемма 8. Вектор z(τ ) удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравненийz 0 = Rz,(2.13)24где матрица R имеет вид· · · I × Am−1I × Am I × A0............0n×n × 0n×n · · · I × A0I × A1R= −ATm × I · · · −AT1 × I −AT0 × I............0n×n × 0n×n · · · −ATm × I −ATm−1 × I· · · 0n×n × 0n×n ......···I × Am .· · · 0n×n × 0n×n ......T· · · −A0 × IДоказательство.

Продифференцируем матрицы (2.12). Согласно определениюddZj = U (τ + jh, W ).dτdτПри j = 0, . . . , m − 1 аргумент τ + jh > 0, поэтому можем применитьдинамическое свойство (2.7)mmk=0k=0XXdU (τ + jh, W ) =U (τ + (j − k)h, W )Ak =Zj−k Ak .dτТаким образом, получаем соотношениеmXdZj =Zj−k Ak ,dτj = 0, . . . , m − 1.k=0При j = −m, . . .

, −1 воспользуемся свойством симметрии (2.8)TddTU (τ + jh, W ) =U (−τ − jh, W ) .dτdτТак как −τ − jh > 0, можем применить динамическое свойствоmXdU (−τ − jh, W T ) =U (−τ − (k − j)h, W T )Ak .dτk=0Тогда#TT "XmdU (−τ − (j + k)h, W T )AkU (−τ − jh, W T ) =dτk=0= −mXk=0ATk U (τ+ (j + k)h, W ) = −mXk=0ATk Zj+k .25Таким образомmXdATk Zj+k ,Zj = −dτj = −m, .

. . , −1.k=0Применяя векторизацию к полученным соотношениям, получаем искомуюсистему (2.13).Решение системы (2.13) находится по формуле Кошиz(τ ) = eRτ z(0).(2.14)Для его определения необходимо найти начальный вектор z(0).Лемма 9. Начальный вектор z(0) удовлетворяет системе линейныхалгебраических уравнений(M + N eRh )z(0) = (−wT , 0, .

. . , 0)T .Здесь w = vec (W ), а матрицы M и N имеют видP0 · · · Pm−1 0n×n · · · 0n×nI × I · · · 0n×n 0n×n · · · 0n×n .............. ....M =  0n×n · · · I × I 0n×n · · · 0n×n 0n×n · · · 0n×n I × I · · · 0n×n ................. .0n×n · · · 0n×n 0n×n · · · I × IQ00n×n · · · Qm Qm−1 · · ·0n×n −I × I · · · 0n×n0n×n · · · .............. ....N = 0n×n 0n×n · · · −I × I 0n×n · · ·0n×n 0n×n · · · 0n×n −I × I · · · ................. .0n×n 0n×n · · · 0n×n0n×n · · ·(2.15)Pm 0n×n .. . 0n×n  ,0n×n .. . 0n×n0n×n 0n×n .. . 0n×n  ,0n×n ..

. −I × I26гдеP0 =mX(I × Aj ),Pj =j=0mX(ATk × I + I × Ak+j ),j = 1, . . . , m,k=0Q0 =mX(ATj × I),Qj = P−j ,j = 1, . . . , m.j=0Доказательство. По определению (2.12)j = −m + 1, . . . , m − 1,Zj (0) = Zj−1 (h),что верно и для векторизаций матрицvec (Zj ) (0) = vec (Zj+1 ) (h),j = −m, . . . , m − 2.Из алгебраического свойства (2.9) следует, чтоmXZ0 (0)Aj +j=0+mXATk Z−1 (0) + Z−1 (0)Ak+1 + . . .k=0mXATk Z−m (0)+ Z−m (0)Ak+m +mXATk Zm−1 (h) + Zm−1 (h)Ak−m + . . .k=0k=0+mXATk Z1 (h)+ Z1 (h)Ak−1 +k=0mXATj Z0 (h) = −W,j=0откуда для векторизаций матрицP0 vec (Z0 ) (0) + P1 vec (Z−1 ) (0) + .

. . + Pm vec (Z−m ) (0)+ Qm vec (Zm−1 ) (h) + . . . + Q1 vec (Z1 ) (h) + Q0 vec (Z0 ) (h) = −w.Объединяя, получаемM z(0) + N z(h) = (−wT , 0, . . . , 0)T .По формуле Коши (2.14) z(h) = eRh z(0), откуда получаем искомую систему (2.15).27В итоге приходим к следующему утверждению.Теорема 2. Вектор z(τ ) на промежутке [0, h] может быть найден спомощью формулыz(τ ) = eRτ M + N eRh−1(−wT , 0, . . .

, 0)T .(2.16)Доказательство. Непосредственно вытекает из предыдущих лемм.Выражение (2.16) полностью определяет значение функции ЛяпуноваU (τ, W ) на промежутке [−mh, mh]Чтобы найти U (τ, W ) в последующих промежутках, воспользуемся системой (2.7) и методом интегрирования по шагам.Например, при τ ∈ [mh, (m + 1)h] функции U (t − h, W ), . .

. , U (t − mh, W )являются известными, и динамическое свойство (2.7) принимает вид неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравненийmXdU (τ − jh, W )Aj = U (τ, W )A0 + F (τ ).U (τ, W ) =dτj=0Находя решение системы по формуле КошиZτU (τ, W ) = U (mh, W ) + F (ξ)e−A0 (ξ−mh) dξ  eA0 (τ −mh) ,mhполучаем U (τ, W ) на промежутке τ ∈ [mh, (m + 1)h].Аналогично можно продолжить решение на любой интервал.2.3Вычисление H2 нормы передаточнойматрицыДля вычисления H2 нормы передаточной матрицы системы (2.1)-(2.2) воспользуемся методом, аналогичным описанному в начале главы для систем обык-28новенных дифференциальных уравнений.

Для этого нам потребуется импульсная характеристика системы, определяемая с помощью передаточной матрицы.Лемма 10. Передаточная матрица системы (2.1)-(2.2) имеет вид!!mmXXbG(s) =Cj e−jhs K(s)Bj e−jhs ,(2.17)j=0j=0bгде, напомним, K(s)— преобразование Лапласа от фундаментальной матрицы системы.Доказательство. Применим преобразование Лапласа к системе (2.1)(2.2) при нулевом начальном условии, получимbsX(s)=Yb (s) =mXj=0mXe−jhsb+Aj X(s)mXc (s),e−jhs Bj Wj=0be−jhs Cj X(s),j=0илиsI −mX!e−jhs AjbX(s)=j=0Yb (s) =mXj=0mX!e−jhs Bjc (s),W!e−jhs CjbX(s).j=0Можем выразить образ выходного сигнала через образ входного и получим следующий вид передаточной матрицы!!−1 m!mmXXXBj e−jhs .G(s) =Cj e−jhssI −Aj e−jhsj=0j=0j=0Проделав то же самое с уравнением (1.3)bsK(s)−I =mXbe−jhs Aj K(s),j=0получим, что матрицаbK(s)=sI −mXj=0!−1e−jhs Aj29представляет собой преобразование Лапласа фундаментальной матрицы, откуда и получаем искомое представление.Лемма 11.

Импульсная характеристика системы (2.1)-(2.2) имеетвидH(t) =m XmXCj K(t − (j + k)h)Bk .(2.18)j=0 k=0Доказательство. Непосредственно вытекает из предыдущей леммы поопределению импульсной характеристики как прообраза по Лапласу передаточной матрицы.Полученные выражения позволяют вывести явную формулу для вычисления нормы с использованием матриц Ляпунова.Теорема 3. H2 норма передаточной матрицы экспоненциально устойчивой системы (2.1)-(2.2) может быть вычислена по формулеmX2kGk2 = T rBjT U (j + k − l − r)h, CkT Cl Br  .(2.19)j,k,l,r=0Доказательство. H2 норма передаточной матрицы, как было показаноранее, может быть выражена через импульсную характеристикуkGk22 =Z∞Tr H T (t)H(t) dt0= Tr mXZ∞BjT K T (t − (j + k)h)CkT Cl K(t − (l + r)h)Br dt .j,k,l,r=0 0Этот интеграл сходится, так как система (2.1) экспоненциально устойчива.Выражение для нормы можно преобразовать, сделав замену τ = t − (j +k)h и вернувшись к старым обозначениям∞ZmX2kGk2 = TrBjT K T (t)CkT Cl K(t + (j + k − l − r)h)Br dt .j,k,l,r=0030Используя выражение для матрицы Ляпунова (2.10), получим искомуюформулу (2.19).Таким образом мы получили формулу (2.19) для вычисления H2 нормыпередаточной матрицы системы (2.1)-(2.2), в которую входят только матричные коэффициенты исходной системы и значения матриц Ляпунова в точках−2mh, .

Характеристики

Список файлов диссертации