Диссертация (1149907), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

. . , 2mh. Как и в случае систем без запаздываний вычисление нормысводится к нахождению матриц Ляпунова.Формулу (2.19) можно упростить, уменьшив количество матриц Ляпунова, входящих в нее с (m + 1)2 до m + 1.Теорема 4. H2 норма передаточной матрицы экспоненциально устойчивой системы (2.1)-(2.2) может быть вычислена по формуле!mXkGk22 = TrBjT U ((j − r)h, W0 )Brj,r=0+2 TrmXBjTmX!U ((j − r − p)h, Wp )Br,(2.20)p=1j,r=0где матрицы Ляпунова ассоциированы с матрицамиW0 =mXCkT Ck ,k=0Wp =XCkT Cp+k ,p = 1, .

. . , m.k=0,...,m−pДоказательство. Разобьем выражение для нормы (до введения матрицЛяпунова) на две части∞ZmX2kGk2 = TrBjT K T (t − (j + k)h)CkT Ck K(t − (k + r)h)Br dtj,k,r=0 0Z∞m XT TT = I1 + I2 .+ Tr BK(t−(j+k)h)CCK(t−(l+r)h)Bdtlrjkj,k,l,r=0 0k6=l31Сделав замену τ = t − (j + k)h и вернувшись к старым обозначениям, получим∞ZmmXXI1 = Tr BjT K T (t)CkT Ck K(t + (j − r)h) dt Br j,r=0= TrmXk=00!BjT U ((j − r)h, W0 )Br.j,r=0Вторая часть разбивается на пары, состоящие из слагаемых, отличающихся только транспонированием, поэтому их следы совпадаютZ∞mXXTTTI2 = 2 Tr BCCK(t+(j+k−l−r)h)dtBK(t)rjk lj,r=0= 2 Tr mXBjTj,r=0= 2 TrmXj,r=0k=0...m−1l=k+1...m0BjTZ∞K T (t)0mXmXWp K(t + (j − r − p)h) dt Br p=1!U ((j − r − p), Wp )Br.p=1Новая формула позволяет сократить количиство вычислений при нахождении H2 нормы передаточной матрицы.2.4ПримерПроиллюстрируем процесс вычисления H2 нормы передаточной матрицы на следующем примере.

Рассмотрим систему автоматического управленияагрегатом дозирования топлива газотурбинного двигателя [3].Управление двигателем происходит следующим образом: для требуемыхпараметров работы (оборотов компрессора, турбины или вентилятора, температуры газов и прочего) вычисляется требуемый расход топлива, который долженобеспечиваться для поддержания или ограничения данных параметров.32За дозирование топлива в двигателе отвечает отдельная система, котораяструктурно состоит из двух частей. Первая представляет собой гидромеханический агрегат, на вход которого подается управляющее воздействие в виде тока I(t).

Под его воздействием изменяется положение дозирующего крана α(t),который и определяет расход топлива. Система, описывающая поведение агрегата, имеет вид0.01α̈(t) + α̇(t) = 3.5I(t).(2.21)Вторая часть системы представляет собой цифровой блок системы управления, который формирует управляющий токI(t) = 5.5(α0 − α(t − h) − e(t))(2.22)на основе требуемого положения дозирующего крана α0 (вычисляемого из требуемого расхода топлива) и измеренного зашумленного значения текущего положения дозирующего крана α(t − h) + e(t), получаемого с датчиков, получаемого с датчиков, в которых присутствует ограниченное возмущение e(t).Запаздывание h в управляющем токе равно двум тактам работы цифрового блока и составляет h = 0.05. Один такт занимает измерение текущегоположения дозирующего крана, еще один тратится на вычисление требуемогоуправляющего воздействия.Таким образом, система управления расходом топлива, состоящая из агрегата дозирования топлива (2.21), замкнутого цифровым блоком управления (2.22), может быть описана системой уравнений запаздывающего типа.

После ввода обозначенийx1 (t) = α0 − α(t),x2 (t) = ẋ1 (t),33система может быть приведена к виду00001 w(t), x(t − 0.05) +  x(t) + ẋ(t) = −1925−1925 00 −100y(t) =(2.23)1, 0 x(t).Выходной сигнал y(t) в этом случае представляет собой рассогласованиемежду требуемым и фактическим положениями дозирующего крана, котороестремится к нулю, так как система замкнута стабилизирующим управлением,то есть экспоненциально устойчива.Вычислим H2 норму передаточной матрицы системы (2.23), то есть определим зависимость между входным возмущением, означающим зашумленностьдатчика положения дозирующего крана агрегата, и ошибкой регулирования.Так как эта система не имеет запаздываний во входном и выходном сигналах, формула для вычисления H2 нормы системы в данном случае принимаетвидkGk22 = Tr B0T U (0)B0 ,B0 = 0−1925.Для вычисления достаточно найти значение матрицы Ляпунова U (0), ассоциированной с матрицейC0T C0 = 1 00 0.Применяя алгоритм вычисления матрицы Ляпунова, описанный выше,получимU (0) = 0.114933876450361 0.0010622627927140.001062262792714 0.000010622627927.Таким образом, H2 норма передаточной матрицы системы (2.23) равнаkGk2 = 6.274.34В данном случае H2 норма передаточной матрицы характеризует среднее усиление системой внешних возмущений.

Это означает, что при наличиишума в измерении текущего положения дозирующего крана среднее рассогласование между требуемым и текущим положениями будет почти в 6 раз большевеличины шума.На практике идеальные системы встречаются редко и даже самые современные датчики не гарантируют полного отсутствия зашумленности. Так каквсе управление двигателем в итоге сводится к управлению расходом топлива,точность поддержания данного параметра имеет особую важность. Полученнаяже величина нормы свидетельствует о том, что наличие даже малых возмущений негативно скажется не только на характеристиках данной системы, но и наобщем качестве управления параметрами двигателя.35Глава 3Построение управления,уменьшающегоH2нормупередаточной матрицыВ данной главе рассмотрим проблему построения управления, уменьшающего H2 норму передаточной матрицы линейной системы запаздывающеготипа.3.1Постановка задачиРассмотрим линейную стационарную систему с несколькими запаздываниямиẋ(t) =mXAk x(t − kh) + Bw(t) + Eu(t),(3.1)k=0y(t) = Cx(t) + Du(t),(3.2)где h > 0 – положительное запаздывание, непрерывные функции x(t) ∈ Rn ,u(t) ∈ Rr , w(t) ∈ Rl , y(t) ∈ Rs являются текущим состоянием системы,управляющим, входным и выходным сигналами, w(t) – ограниченная кусочнонепрерывная функция, A0 , .

. . , Am , B, C, D, E — вещественные матрицы соответствующих размерностей.36Будем считать, что матрица DT D обратима. Данное условие являетсястандартным для задач оптимального управления [54] и не накладывает существенных ограничений на систему.Предположим, что система при нулевом управлении u(t) ≡ 0 экспоненциально устойчива.

Допустимым будем считать управление, при котором замкнутая им система будет являться экспоненциально устойчивой.Очевидно, что H2 норма передаточной матрицы системы (3.1)-(3.2) будетзависеть от выбора управления kG(u)k22 . Задача H2 оптимального управлениязаключается в построении управления, минимизирующего H2 норму передаточной матрицы замкнутой системы, то есть в качестве критерия оптимальностивыступаетJ0 (u) = kG(u)k22 .Выразим H2 норму передаточной матрицы системы через выходной сигнал. Для этого вспомним выражение, связывающее импульсную характеристику и выходной сигналy (j) (t) = H(t)e(j) ,j = 1, .

. . , l,где y (j) (t) соответствует нулевому входному сигналу и специфическим начальным условиям, упомянутым ранее.Тогда норма может быть представлена следующим образомkG(u)k22=l Z∞ Xj=1 0l Z∞=Xj=1 0l Z∞=XTy (t) y (j) (t) dt(j)T (j)(j)Cx (t) + Du (t)Cx (t) + Du (t) dt(j)(j)f (x(j) (t), u(j) (t)) dt,j=1 0где квадратичная форма f (x, u) имеет видf (x, u) = xT C T Cx + xT C T Du + uT DT Cx + uT DT Du.37Поэтому управление, минимизирующее функционалZ∞J(u) = f (x(t), u(t)) dt(3.3)0при произвольных начальных данных и нулевом входном сигнале, будет минимизировать H2 норму передаточной матрицы замкнутой им системы.3.2Системы без запаздыванийПрежде всего приведем обзор методов H2 -оптимального управления длялинейных систем без запаздываний, хорошо изученных в теории обыкновенныхдифференциальных уравнений.Рассмотрим системуẋ(t) = Ax(t) + Bw(t) + Eu(t),(3.4)y(t) = Cx(t) + Du(t),(3.5)где матрица A устойчива, DT D обратима, функция w(t) ограничена.Задача минимизации H2 нормы свелась к задаче минимизации квадратичного функционала специального видаZ∞J(u) =xT (t)C T Cx(t) + 2xT (t)C T Du(t) + uT (t)DT Du(t) dt.0Для такого рода задач в теории обыкновенных дифференциальных уравненийсуществует несколько методов решения.Например, решение задачи оптимального управления может быть найдено с помощью решения уравнения Рикатти.Теорема 5.

[1] Для системы (3.4)-(3.5) управление, доставляющее минимум квадратичному функционалу J(u), будет иметь видu(t) = −(DT D)−1 DT C − E T Θ x(t),38где матрица Θ является решением матричного уравнения РикаттиΘE(DT D)−1 E T Θ + Θ A − E(DT D)−1 DT C+ AT − C T D(DT D)−1 E T Θ − C T C + C T D(DT D)−1 DT C = 0.Такой метод дает явную формулу для нахождения управления, однако напрактике решение уравнения Рикатти является трудной процедурой.Еще одним методом решения задачи оптимального управления является метод последовательных приближений Зубова [1], состоящий в последовательном построении управлений, сходящихся к оптимальному. Приведем здесьописание первого шага данного метода.Исходным приближением будем считать нулевое управления u ≡ 0.Для f (x(t), 0) = xT (t)C T Cx(t) можем построить квадратичную формуv0 (x) = xT V0 x, производная которой будет удовлетворятьdv0 (x(t)) = −f (x(t), 0).(3.4),w(t)≡0,u≡0dtМатрица квадратичной формы V0 будет решением матричного уравнения ЛяпуноваAT V0 + V0 A = −C T C.С помощью квадратичной формы v0 (x) можно сформировать вспомогательную функциюZtL0 (u) = v0 (x(t)) +f (x(s), u) ds0и построить управление, оптимальное в смысле демпфирования этой функции,то есть доставляющее минимум ее производной в силу системыdL0 (u) dv0 (x(t)) =+ f (x(t), u).(3.4),w(t)≡0,udtdtТочка минимума существует, единственна и равнаû = −(DT D)−1 E T V0 + DT C x(t).39Если квадратичная форма f (x, u) является положительно определенной, система, замкнутая полученным управлением, останется экспоненциальноустойчивой, так какdv0 (x(t))6 f (x(t), ū).dtЕсли это не так, устойчивость замкнутой системы потребует дополнительногоисследования.Значение функционала (3.3), а с ним и нормы передаточной матрицы, притаком выборе управления будет не больше, чем у системы, замкнутой нулевымуправлением.Итерационное применение этого метода приводит к последовательностиуправлений, сходящихся к оптимальному.Решение матричного уравнения Ляпунова не представляет таких трудностей, как решение матричного уравнения Рикатти.3.3Алгоритм уменьшения H2 нормыпередаточной матрицыДля системы с запаздываниями (3.1)-(3.2) поставим задачу построениядопустимого управления u = ū, которое уменьшает значение H2 нормы передаточной матрицы замкнутой им системыkG(ū)k22 ≤ kG(0)k22 .Так же как и для систем без запаздываний задача уменьшения H2 нормыпередаточной матрицы системы (3.1)-(3.2) сводится к построению управления,уменьшающего значение функционала (3.3).Для систем с запаздыванием хорошо изучена теория Ляпунова, описаниекоторой давалось в предыдущей главе.

По аналогии с методом Зубова для си-40стем обыкновенных дифференциальных уравнений, используем ее для поискаискомого управления.Для системы (3.1) при u(t) = 0 построим матрицу Ляпунова U (τ ), ассоциированную с C T C, и рассмотрим вспомогательную функцию видаL(u) = 2xT (t)C T Du + uT DT Du0ZmXT+2 x (t)U (0) +xT (t + θ)ATk U (kh + θ) dθ Eu.k=1 −khВ нуле значение функции равно нулю L(0) = 0.Точка минимума вспомогательной функции существует, единственна иравнаū = −(DT D)−1 E T U (0) + DT C x(t)m Z0XU (−kh − θ)Ak x(t + θ) dθ.−(DT D)−1 E T(3.6)k=1 −khОчевидно, что в данной точке L(ū) 6 0.Теперь рассмотрим систему (3.1)-(3.2), замкнутую управлением построенного вида (3.6).Выберем произвольную начальную функцию ϕ ∈ P C ([−mh, 0], Rn ) и построим при нулевом входном сигнале w(t) ≡ 0 соответствующее этой начальнойфункции решение x(t) = x(t, ϕ) замкнутой системы.Для замкнутой управлением (3.6) системы построим функционал видаv0 (ϕ) = ϕT (0)U (0)ϕ(0) + 2ϕT (0)m Z0XU (−kh − θ)Ak ϕ(θ) dθk=1 −kh0+m Xm ZXϕT (θ1 )ATj j=1 k=1 −jhZ0U ((j − k)h + θ1 − θ2 )Ak ϕ(θ2 ) dθ2  dθ1 , (3.7)−khи рассмотрим выражениеdv0 (xt )+ f (x(t), ū),dt41где f (x, u) = xT C T Cx + xT C T Du + uT DT Cx + uT DT Du – функция, описаннаяв предыдущем параграфе.Лемма 12.

Характеристики

Список файлов диссертации