Диссертация (1149907), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В этом можно легко убедиться, используя численные методы.Чтобы полностью определить выражение для нормы, найдем матрицу Ляпунова V (θ), θ ∈ [−0.05, 0] замкнутой системы.В нашем случае, ядро системы представляет собой000 0 U (−0.05 − θ) ,P (θ) = 0 1225001925 0где U (θ) – матрица Ляпунова исходной системы.θ ∈ [−0.05, 0],51Как было показано в главе, посвященной вычислению матрицы Ляпунова,она может быть найдена как решение дифференциального уравненияθ ∈ [0, 0.05],ż(θ) = Rz(θ),z(0) = (M + N e0.05R )−1 (−1, 0, . .
. , 0)T ,где z – вектор размерности 2mn2 = 8 в нашем случае, структура матриц R,M и N описана в предыдущей главе. Из-за большой размерности матриц, небудем представлять их здесь.Матрица Ляпунова тогда выражается в видеz1 (θ) z2 (θ) , θ ∈ [−0.05, 0],U (θ) = z3 (θ) z4 (θ)а ядро получившейся системыP (θ) = 00235812500 z4 (θ) 0.Таким образом, ядро системы может быть представлено в требуемом видеP (θ) =8Xzj (θ)Sj ,j=18Xdzj (θ)=αjk zk (θ),dθj = 1, .
. . , 8,k=1с константамиS4 = 00235812500 0,Sj = 02×2 ,j = 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8,αjk = {R}jk ,j, k = 1, . . . , 8.Далее, применяя метод, описанный в [34], находим матрицу ЛяпуноваV (θ), θ ∈ [−0.05, 0].52H2 норма передаточной матрицы замкнутой системы будет равнаh0.37182kGk2 = Tr 0.3718, 0.0037 V (0) 0.0037 Z000 −1925 dθ U T (−0.05 − θ) +2 0.3718, 0.0037V (θ) −35000−0.05Z0 00+U(−0.05−θ)0, −350−1925 0−0.05Z0i00 −1925Tdθ2 dθ1 = 23.6196.U (−0.05 − θ)×V (θ2 − θ1 )−35000−0.05Таким образом, H2 норма передаточной матрицы системы (3.10)-(3.11),замкнутой управлением (3.12), будет равнаkGk2 = 4.86,то есть построенное управление уменьшает норму передаточной матрицы системы, а вместе с ней — влияние внешнего шума на точность управления системойдозирования топлива, модель которой рассматривалась в качестве примера.53Глава 4Системы линейныхуравнений нейтрального типаВ данной главе дадим описание линейных систем с запаздываниями нейтрального типа, основные определения и понятия, аналогичные введенным ранее для систем запаздывающего типа.4.1Общие сведенияРассмотрим линейную стационарную систему с несколькими кратнымизапаздываниямиddtmX!Dj x(t − jh)=mXAj x(t − jh),(4.1)j=0j=0где h > 0 – положительное запаздывание, D0 = I, D1 , .
. . , Dm , A0 , . . . , Am —вещественные матрицы соответствующих размерностей. Будем предполагать,чтоmXDj x(t − jh)j=0непрерывна по t > 0.Для того чтобы определить решение системы (4.1), необходимо задать начальную функцию ϕ ∈ P C 1 ([−mh, 0], Rn ). Соответствующее ей решение x(t, ϕ)54будет удовлетворять начальному условиюt ∈ [−mh, 0].x(t, ϕ) = ϕ(t),Если выбор начальной функции не существенен, решение будем обозначать x(t).Для обозначения состояния системы будем по-прежнему использовать xt (ϕ) и xt .Проинтегрируем систему (4.1) по t на промежутке [0, t], получимx(t) = −mXDj x(t − jh) + ϕ(0) +j=1mXDj ϕ(−jh) +j=1Zt XmAj x(s − jh) ds.
(4.2)j=00Система (4.2) называется интегральной формой записи начальной задачи. Внекоторых случая такая форма удобнее для исследования чем исходная.Например, она облегчает исследование точек разрыва решения системы.Пусть θ1 ∈ [−mh, 0] — точка разрыва начальной функции ϕ, то есть ϕ(θ1 + 0) 6=ϕ(θ1 − 0). Тогда разрывы решения x(t) определяет функцияz(t) = −mXDj x(t − jh) + ϕ(0) +j=1mXDj ϕ(−jh).j=1Она имеет точки разрыва tk = θ1 + kh, k = 1, 2, .
. ., причем величины скачковравны∆x(tk ) = −mXDj ∆x(tk−j ),j=1где ∆x(t0 ) = ∆x(θ1 ) = ∆ϕ(θ1 ), ∆x(tk ) = 0, k < 0.Определение устойчивости, данное в первой главе, будет справедливо и вданном случае. Необходимым условием экспоненциальной устойчивости системы (4.1) является устойчивость по Шуру матричного полинома!mXZ(t) = detDj tm−j .j=0Введем понятие фундаментальной матрицы системы.55Определение 12.
[22] Фундаментальной матрицей системы (4.1) называется матричнозначная функция K(t), удовлетворяющая уравнению" m#mXXdDj K(t − jh) =Aj K(t − jh), t > 0,dt j=0j=0(4.3)и условиям:1)2)K(0) = I, K(θ) = 0n×n , θ < 0,mXDj K(t − jh) непрерывна по t > 0.j=0В отличие от систем запаздывающего типа, фундаментальная матрицасистемы нейтрального типа будет кусочно-непрерывной функцией с разрывамив точках tk = kh, k = 0, 1, 2, .
. . .С помощью фундаментальной матрицы можно записать решение системы.Лемма14. [22]Длязаданнойначальнойфункцииϕ∈P C 1 ([−mh, 0], Rn ) при t > 0 справедливоx(t, ϕ) =mX!Dj K(t − jh) ϕ(0) +j=00m ZXK(t − θ − jh) [Aj ϕ(θ) − Dj ϕ̇(θ)] dθ.j=1 −jhЭта формула носит название формулы Коши.Общие определения и результаты, полученные в первой главе для системзапаздывающего типа, будут справедливы и в данном случае.4.2Матрицы ЛяпуноваДадим основные определения, касающиеся теории матриц Ляпунова длясистем нейтрального типа.Определение 13. [34] Матрица U (τ, W ), неприрывная по τ , называется56матрицей Ляпунова для системы (4.1), ассоциированной с произвольной квадратной матрицей W, если она удовлетворяет следующим свойствам:• динамическое свойство" m#mXXdU (τ − jh, W )Dj =U (t − jh, W )Aj ,dτ j=0j=0τ ≥ 0,(4.4)• свойство симметрииU (−τ, W ) = U T (τ, W T ),τ ≥ 0,(4.5)• алгебраическое свойствоmm XX TAj U ((j − k)h, W )Dk + DjT U ((j − k)h, W )Ak = −W.(4.6)j=0 k=0В теории устойчивости матрицы Ляпунова используют для определенияфункционала Ляпунова-Красовского полного типа.Лемма 15.
Если система (4.1) экпоненциально устойчива, то производная билинейного функционала" m m#XXDjT U ((j − k)h, W )Dk ψ(0)v0 (ϕ, ψ) = ϕT (0)(4.7)j=0 k=0T+ ϕ (0)mm XXj=0 k=1+m XmXZ0DjTZ0hiU ((j − k)h − θ, W ) Ak ψ(θ) − Dk ψ̇(θ) dθ−kh[Aj ϕ(θ) − Dj ϕ̇(θ)]T U ((j − k)h + θ, W )Dk dθ ψ(0)j=1 k=0 −jh0+m Xm ZX[Aj ϕ(θ1 ) − Dj ϕ̇(θ1 )]Tj=1 k=1 −jhZ0×−khiU ((j − k)h + θ1 − θ2 , W ) Ak ψ(θ2 ) − Dk ψ̇(θ2 ) dθ2 dθ1h57вдоль траекторий x(t), y(t) системы (4.1) удовлетворяет равенствуdv0 (xt , yt )= −xT (t)W y(t),dtt > 0.Доказательство.
В дальнейшем для краткости будем опускать один изаргументов матрицы ЛяпуноваU (τ, W ) = U (τ ).Выберем решения x(t) и y(t) исходной системы. Разобьем функционал (4.7) на четыре слагаемыхv0 (xt , yt ) = I1 + I2 + I3 + I4и будем дифференцировать их по отдельности.Первое слагаемое будет иметь видTI1 = x (t)mXDjT U ((j − k)h)Dk y(t).j,k=0Согласно динамическому свойству (4.4)mXdI1T= (ẋ(t))DjT U ((j − k)h)Dk y(t)dt+xT (t)j,k=0mXDjT U ((j − k)h)Dk ẏ(t).j,k=0Второе слагаемое можно переписать в другом видеI2 = xT (t)m XmXDjTj=0 k=1T= x (t)m XmXDjTj=0 k=1Z0U ((j − k)h − θ) [Ak y(t + θ) − Dk ẏ(t + θ)] dθ−khZtU ((j − k)h + t − s) [Ak y(s) − Dk ẏ(s)] dθ,t−khтогда его производная будет равнаmmXXdI2= (ẋ(t))TDjTdtj=0k=1ZtU ((j − k)h + t − s) [Ak y(s) − Dk ẏ(s)] dst−kh58T+x (t)−xT (t)m XmXj=0 k=1m XmXDjT U ((j − k)h) [Ak y(t) − Dk ẏ(t)]DjT U (jh) [Ak y(t − kh) − Dk ẏ(t − kh)]j=0 k=1−xT (t)m XmXATjj=0 k=1ZtU ((j − k)h + t − s) [Ak y(s) − Dk ẏ(s)] dst−khв силу динамического свойства и дифференцирования под знаком интеграла.Третье слагаемое аналогично второмуm Xm ZtXdI3=[Aj x(s) − Dj ẋ(s)]T U ((j − k)h + s − t)Dk ds ẏ(t)dtj=1k=0 t−jh+−mm XXj=1 k=0mm XX[Aj x(t) − Dj ẋ(t)]T U ((j − k)h)Dk y(t)[Aj x(t − jh) − Dj ẋ(t − jh)]T U (−kh)Dk y(t)j=1 k=0−m Ztm XX[Aj x(s) − Dj ẋ(s)]T U ((j − k)h + s − t)Ak ds y(t).j=1 k=0 t−jhЧетвертое слагаемое также перепишем в другом видеI4 =m ZtX[Aj x(s1 ) − Dj ẋ(s1 )]Tj,k=1t−jh tZ×U ((j − k)h + s1 − s2 ) [Ak y(s2 ) − Dk ẏ(s2 )] ds2 ds1t−khи воспользуемся производной произведения и дифференцированием под знакоминтегралаZtmXdI4=[Aj x(t) − Dj ẋ(t)]TU ((j − k)h + t − s) [Ak y(s) − Dk ẏ(s)] dsdtj,k=1t−kh59−mX[Aj x(t − jh) − Dj ẋ(t − jh)]Tj,k=1+U (−kh + t − s) [Ak y(s) − Dk ẏ(s)] dst−khm ZtXj,k=1t−jhm Zt−ZtX[Aj x(s) − Dj ẋ(s)]T U ((j − k)h + s − t) [Ak y(t) − Dk ẏ(t)] ds[Aj x(s) − Dj ẋ(s)]T U (jh + s − t) [Ak y(t − kh) − Dk ẏ(t − kh)] ds.j,k=1t−jhСоберем слагаемые с интегралом, они образую две схожих группы.
Однабудет иметь видZtm XmX(ẋ(t))TDjTU ((j − k)h + t − s) [Ak y(s) − Dk ẏ(s)] dsj=0 k=1T−x (t)mm XXj=0 k=1+mXATjt−khZtU ((j − k)h + t − s) [Ak y(s) − Dk ẏ(s)] dst−kh[Aj x(t) − Dj ẋ(t)]Tj,k=1−mXZtU ((j − k)h + t − s) [Ak y(s) − Dk ẏ(s)] dst−kh[Aj x(t − jh) − Dj ẋ(t − jh)]Tj,k=1ZtU (−kh + t − s) [Ak y(s) − Dk ẏ(s)] ds.t−khЧасть слагаемых сократиться, останетсяm ZtXU ((j − k)h + t − s) [Ak y(s) − Dk ẏ(s)] ds(ẋ(t))Tk=1 t−kh−xT (t)AT0m ZtXU ((j − k)h + t − s) [Ak y(s) − Dk ẏ(s)] dsk=1 t−kh−mX[Aj x(t − jh) − Dj ẋ(t − jh)]Tj,k=1=mXj,k=0[Dj ẋ(t − jh) − Aj x(t − jh)]TZtU (−kh + t − s) [Ak y(s) − Dk ẏ(s)] dst−khZtU (−kh + t − s) [Ak y(s) − Dk ẏ(s)] ds,t−kh60что равно нулю в силу исходной системы.Вторая группа аналогична первой, таким образом, все слагаемые с интегралом в выражении для производной сократятся.Теперь соберем слагаемые без интеграла, они так же образуют две группы,рассмотрим первуюT(ẋ(t))+−m XmXDjT U ((j − k)h)Dk y(t)j=0 k=0mmXX[Aj x(t) − Dj ẋ(t)]T U ((j − k)h)Dk y(t)j=1 k=0m XmX[Aj x(t − jh) − Dj ẋ(t − jh)]T U (−kh)Dk y(t).j=1 k=0Часть слагаемых сократиться, останетсяT(ẋ(t))−mXU (−kh)Dk y(t) +mm XX[Aj x(t)]T U ((j − k)h)Dk y(t)j=1 k=0k=0mm XX[Aj x(t − jh) − Dj ẋ(t − jh)]T U (−kh)Dk y(t).j=1 k=0Прибавим и отнимем слагаемыеxT(t)AT0mXU (−kh)Dk y(t),k=0получимmXT[Dj ẋ(t − jh) − Aj x(t − jh)]j=0+mXmXU (−kh)Dk y(t)k=0xT (t)ATj U ((j − k)h)Dk y(t).j,k=0Первое слагаемое равно нулю в силу исходной системы.Аналогично рассмотрим вторую группы, получим слагаемоеmXj,k=0xT (t)DjT U ((j − k)h)Ak y(t).61Теперь соберем вместе получившиеся слагаемые без интеграла, которыесогласно свойству симметрии равныmXxT(t)ATj U ((j −k)h)Dk y(t)+xT (t)mXDjT U ((j −k)h)Ak y(t) = −xT (t)W y(t).j,k=0j,k=0Как уже упоминалось ранее, существует другое, явное определение матрицы Ляпунова, связывающее ее с фундаментальной матрицей.Лемма 16.
Для экспоненциально устойчивой системы (4.1) матрицаЛяпунова, ассоциированная с матрицей W , существует, единственна и может быть представлена в виде несобственного интегралаZ∞U (τ, W ) =K T (t)W K(t + τ ) dt.(4.8)0Доказательство. Доказательство леммы разобьем на две части. Сначаладокажем, что матрица Ляпунова (4.8) удовлетворяет свойствам (4.4)-(4.6).• Динамическое свойствоРассмотрим выражениеmXZ∞U (τ − jh, W )Dj =j=0K T (t)WmX!K(t + τ − jh)Djdt.j=00Можем дифференцировать под знаком интеграла, так как интеграл сходится абсолютно, а интеграл от производной абсолютно и равномерно" m#!Z∞X∂ TK(t + τ − jh)DjdtK (t)W∂τj=00#!"∞ZmX=K T (t)WK(t + τ − jh)Ajdt.0j=062• Свойство симметрииZ∞U (−τ, W ) =K T (t)W K(t − τ ) dt =0Z∞K T (s + τ )W K(s) ds0Z∞=TK T (s)W T K(s + τ ) ds = U T (τ, W T ).0• Алгебраическое свойствоddt=mX!TK(t − jh)DjWj=0!TK(t − jh)AjWj=0+!K(t − kh)Dkk=0mXmXmXmX!K(t − kh)Dkk=0!TK(t − jh)Djj=0WmX!K(t − kh)Ak.k=0Проинтегрировав левую и правую части равенства от 0 до ∞, получим (4.6).Теперь докажем, что матрица Ляпунова (4.8) является единственным рещением системы (4.4), удовлетворяющим (4.5)-(4.6).Предположим, что существуют две матрицы, удовлетворяющие (4.4)(4.6): U (1) (τ, W ) и U (2) (τ, W ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
