Диссертация (1149591), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Òåïåðü èç óðàâíåíèÿ(2.15) ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî àñèìïòîòèêà ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé νk (ρ) ïðè ρ →0 èìååò ôîðìóνk (ρ) ∼ (2k)2 .42Îïåðàòîð h(ρ) ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííûì (ýðìèòîâûì) íà èíòåðâàëåθ ∈ [0, π/2] ñ íóëåâûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, è åãî íàáîð ñîáñòâåííûõôóíêöèé {φi (θ|ρ)}∞0 îðòîíîðìàëåí è ïîëîí. Äàííûé íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ ðàçëîæåíèÿ èñêîìîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ(2.8)U (ρ, θ) = φ0 (θ|ρ)F0 (ρ) +∞X(2.16)φi (θ|ρ)Fi (ρ).i=1Èñïîëüçîâàíèå ðàçëîæåíèÿ (2.16) â óðàâíåíèè (2.8) è ïðîåöèðîâàíèå íà áàçèñíûå ôóíêöèè φk (θ|ρ) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó íàáîðó ñâÿçàííûõ óðàâíåíèéäëÿ Fk (ρ), k = 0, 1, . .
. [66]∞X12{2Aki (ρ)∂ρ Fi (ρ) + [Bki (ρ) + Wki (ρ)]Fi (ρ)} .−∂ρ − 2 + λk (ρ) − E Fk (ρ) =4ρi=0(2.17)Çäåñü íåàäèàáàòè÷åñêèå ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû Aki (ρ), Bki (ρ) è ìàòðèöà çàöåïëåíèÿ ïîòåíöèàëà Wki (ρ) äàþòñÿ èíòåãðàëàìèπ/2Zdθφk (θ|ρ)∂ρ φi (θ|ρ),Aki (ρ) =0π/2Zdθφk (θ|ρ)∂ρ2 φi (θ|ρ),Bki (ρ) =02Wik (ρ) = √3π/2Zθ+Z(θ)000dθ φi (θ |ρ).dθφk (θ|ρ)V (ρ cos θ)θ− (θ)Òåïåðü íàì íåîáõîäèìî èçó÷èòü àñèìïòîòèêó ôóíêöèé Fk (ρ) ïðîèñõîäÿùóþ èç óðàâíåíèé (2.17).
Äëÿ ýòîãî äàííûå óðàâíåíèÿ äîëæíû áûòü èññëåäîâàíû â àñèìïòîòè÷åñêîé îáëàñòè, ò.å. ïðè ρ → ∞. Ïðèñóòñòâèå ïåðâîéïðîèçâîäíîé â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (2.17) íå ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå àñèìïòîòèê íåïîñðåäñòâåííî. Êëþ÷åì ê ðåøåíèþ äàííîé ïðîáëåìûÿâëÿåòñÿ äèàáàòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå, î êîòîðîì áóäåò ðàññêàçàíî â ñëåäóþùåì ðàçäåëå.432.4.2.
Äèàáàòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèåÏîä äèàáàòè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì ïîíèìàåòñÿ òàêîå ïðåäñòàâëåíèå, äëÿêîòîðîãî óðàâíåíèå (2.17) íå ñîäåðæèò ïåðâîé ïðîèçâîäíîé [6769]. Äëÿ òîãî,÷òîáû ïîëó÷èòü ýòî ïðåäñòàâëåíèå äëÿ (2.17) ñäåëàåì ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå [70]Fk (ρ) =∞X(2.18)Pkl (ρ)Gl (ρ),l=0îïðåäåëÿåìîå óíèòàðíîé ìàòðèöåé Pkl (ρ). Óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ôóíêöèé Fl (ρ) ñîõðàíÿåò êîìïîíåíòó Ôàääååâà:U (ρ, θ) =∞XFi (ρ)i=0=∞∞XXl=0∞X!Pil (ρ)Pli (ρ) φi (θ|ρ) =l=0!TPliT (ρ)Fi (ρ)i=0∞X!(2.19)Pli (ρ)φi (θ|ρ) .i=0Âûáåðåì ìàòðèöó ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Pkl (ρ) òàêèì îáðàçîì, ÷òîáûïðåîáðàçîâàííûå óðàâíåíèÿ íå ñîäåðæàëè ïåðâîé ïðîèçâîäíîé. Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî òðåáîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ìàòðèöà Pkl (ρ) âûáðàíà êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ∞XdPkl (ρ) = −Akm (ρ)Pml (ρ).dρ(2.20)m=0Ïåðåïèñàâ ïîëó÷èâøååñÿ óðàâíåíèå â èíòåãðàëüíîé ôîðìå∞ZPkl (ρ) = δkl −dρ0 Akm (ρ0 )Pml (ρ0 ),ρëåãêî çàìåòèòü, ÷òî àñèìïòîòèêà ðåøåíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ áóäåòPkl (ρ) = δkl + O(ρ−1 )(2.21)åñëè ìàòðèöà ñâÿçè Akm (ρ) óáûâàåò ïðè ρ → ∞ áûñòðåå, ÷åì O(ρ−1−ε ), ε > 0.Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äàííîå óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè äâóõ÷àñòè÷íûé ïîòåíöèàë V (x) óáûâàåò áûñòðåå êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà ρ−1 [71].
Äîïîëíèòåëüíî, ìîæíî âèäåòü, ÷òî íåàäèàáàòè÷åñêèé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò Bki (ρ) è44ìàòðèöà ñâÿçè ïîòåíöèàëà Wki (ρ) ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ áóäóò óáûâàòü áûñòðåå, ÷åì O(ρ−1−ε ), ε > 0.Ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå (2.18) â óðàâíåíèè (2.17), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó íàáîðó óðàâíåíèé äëÿ Gk (ρ)00−1−G − P1−A − A + 2 I + EI − Λ + B + W PG = 0.4ρ02(2.22)Çäåñü æèðíûì øðèôòîì äëÿ êðàòêîñòè îáîçíà÷åíû ìàòðèöû Aki , Bki , Wki ,λk δki è âåêòîð Gk . Äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî ρ îáîçíà÷àåòñÿ øòðèõîì.
Òåïåðü,äëÿ òîãî ÷òîáû èññëåäîâàòü àñèìïòîòèêó ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.22) íåîáõîäèìî ó÷åñòü àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà (2.21) ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ Pik ∼ δikè ïåðåïèñàòü (2.22) â àñèìïòîòè÷åñêîé îáëàñòè áîëüøèõ ρ â âèäå1−G00 + − 2 I + Λ − EI G = −A0 − A2 + B + W G.4ρ(2.23)Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå (2.20) è ïîëüçóÿñü ëåãêî ïðîâåðÿåìûìè ñîîòíîøåíèÿìè −A2 P = AP0 , P00 = −A0 P + A2 P è A0 = B − A2 , ìîæíî ïîëó÷èòüòîæäåñòâî−A0 − A2 + B = 0.Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.23) ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîãîóðàâíåíèÿ Ëèïïìàííà-Øâèíãåðà−11G = G0 + −∂ρ2 I − 2 I + Λ − (E + i0)IWG.4ρ(2.24)Âåäóùèé ÷ëåí G0 äàåòñÿ ðåøåíèåì ðàñöåïëåííûõ óðàâíåíèé10−∂ρ2 − 2 + λask (ρ) − E Gk (ρ) = 0.4ρas2 2Çäåñü λas0 (ρ) = λ è λk (ρ) = (2k) /ρ äëÿ k ≥ 1.
Ðåøåíèå äàííûõ óðàâíåíèé äëÿ ñëó÷àÿ äåéòðîíà â íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè çàïèñûâàåòñÿ â òåðìèíàõôóíêöèé Áåññåëÿ Y0 , J0 [64] êàêrG00 (ρ) =πqρ Y0 (qρ) + J0 (qρ)√∼ sin qρ2245(2.25)äëÿ áèíàðíîãî êàíàëà èG0k (ρ) = 0äëÿ êàíàëà ðàçâàëà (ïðè k > 0). Àñèìïòîòèêà âòîðîãî ñëàãàåìîãî â óðàâíåíèè (2.24) ìîæåò áûòü íàéäåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿÃðèíà äèàãîíàëüíîãî îïåðàòîðà−∂ρ2 I −1I+Λ4ρ2ëåãêî ñòðîèòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèé Áåññåëÿ è Õàíêåëÿ ïåðâîãî ðîäà, à ñëàãàåìîå, ñîäåðæàùåå ïîòåíöèàë W óáûâàåò ïðè ρ → ∞ áûñòðåå, ÷åì ρ−1−ε .Ýòè ñîîáðàæåíèÿ âåäóò ê ïðîñòîé ïîëíîé àñèìïòîòèêè ðåøåíèÿsGk (ρ) ∼G0k (ρ)+ ak (E)√π E − δ0k ρ (1) pH2k ( E − δ0k ρ)ei(π/4+kπ) .2(2.26)Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò âìåñòå ñ àñèìïòîòèêîé (2.21) ìàòðèöû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîçâîëÿåò íàéòè àñèìïòîòèêó àäèàáàòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ êîìïîíåíòû Fk (ρ) â âèäåFk (ρ) ∼ Gk (ρ).(2.27)2.5.
Àñèìïòîòè÷åñêèé ãèïåðñôåðè÷åñêèé ïîäõîä ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ ñòàíäàðòíàÿ ñõåìà óðàâíåíèé ñèëüíîé ñâÿçè êàíàëîâ [47] áûëà îïèñàíà â êîíòåêñòå àäèàáàòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, à èìåííîáàçèñ→ðàçëîæåíèå→ïðîåöèðîâàíèå→óðàâíåíèÿ ñèëüíîé ñâÿçè êàíà. Ýòà òðàäèöèîííàÿ ñõåìà âåäåò ê íàáîðó ñâÿçàííûõ óðàâíåíèé ñ íåäèàãîëîâíàëüíûìè ìàòðè÷íûìè ýëåìåíòàìè, ÿâëÿþùèìèñÿ èíòåãðàëàìè îò áàçèñíûõôóíêöèé, èõ ïðîèçâîäíûõ è ïîòåíöèàëà.
Êàê ðåçóëüòàò, âû÷èñëèòåëüíûå çàòðàòû âêëþ÷àþò âû÷èñëåíèÿ áàçèñíûõ ôóíêöèé ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ρ, âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ çàöåïëåíèÿ è, òîëüêî íà ïîñëåäíåì øàãå, ðåøåíèå ïîëó÷èâøèéñÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé. Ïåðâûå äâà ýòàïà ÿâëÿþòñÿ íàèáîëååòðóäíûìè è òðåáóþò áîëüøå âñåãî âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ.  áîëüøèíñòâå46ñëó÷àåâ, êîãäà áîëüøîå ÷èñëî áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé äîëæíî áûòü ó÷òåíî äëÿäîñòèæåíèÿ íåîáõîäèìîé òî÷íîñòè âû÷èñëåíèé , äàííàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ñõåìà îêàçûâàåòñÿ áîëåå òðóäîåìêîé ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðÿìûì ðåøåíèåì çàäà÷èâ îðèãèíàëüíîé ïîñòàíîâêå íà áàçå óðàâíåíèé (2.8).  òàêîì ñëó÷àå óäîáíîñôîðìóëèðîâàòü ãèáðèäíûé ïîäõîä, êîãäà ðàçëîæåíèå (2.16) èñïîëüçóåòñÿëèøü àñèìïòîòè÷åñêè, à èìåííî äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (2.8).
Òàêèì îáðàçîì, ãèáðèäíàÿ ôîðìóëèðîâêàçàäà÷è â ñëó÷àå êâàðòåòà (J = 3/2) ñîñòîèò èç óðàâíåíèÿ1−∂ρ2 − 24ρ1 2U (ρ, θ) + − 2 ∂θ + V (ρ cos θ) U (ρ, θ) − EU (ρ, θ) =ρθ+Z(θ)200dθ U (ρ, θ )= √ V (ρ cos θ)3(2.28)θ− (θ)è àñèìïòîòè÷åñêîãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ ρ → ∞ âèäàU (ρ, θ) ∼ φ0 (θ|ρ) [Y0 (q, ρ) + a0 (q)H0 (q, ρ)] +∞X√φk (θ|ρ)ak (E)Hk ( E, ρ),k=1(2.29)êîòîðûé íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç (2.25-2.26).
Çäåñü Y0 , H0 è Hk âûðàæåíû÷åðåç ôóíêöèè Áåññåëÿ è Õàíêåëÿrπqρ Y0 (qρ) + J0 (qρ)√,22rπqρ (1)H0 (q, ρ) ∼H0 (qρ)eiπ/4 ,2s √√π Eρ (1) √H2k ( Eρ)ei(π/4+kπ) .Hk ( E, ρ) ∼2Y0 (q, ρ) ∼Ïðè òàêèì îáðàçîì ïîñòðîåííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ, áèíàðíàÿ àìïëèòóäàðàññåÿíèÿ a0 (q) ÿâíî â íèõ ïðèñóòñòâóåò, à êîìïîíåíòà Ôàääååâà àìïëèòóäûðàçâàëà äàåòñÿ ôîðìóëîéA(θ, E) =∞Xak (E)φk (θ|∞),k=147(2.30)ãäåφk (θ|∞) = lim φk (θ|ρ).ρ→∞Ðÿä (2.30) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðÿä Ôóðüå [72]. Åãî êîýôôèöèåíòû ak (E) óáûâàþò íå õóæå O(k −2 ) ïðè k → ∞ ââèäó íåïðåðûâíîñòè êîìïîíåíòû Ôàääååâààìïëèòóäû ðàçâàëà è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé A(0, E) = A(π/2, E) = 0.Äâà äîñòîèíñòâà äàííîé ãèáðèäíîé ôîðìóëèðîâêè ìîæíî îòìåòèòü.
Âîïåðâûõ, íåò íåîáõîäèìîñòè ðåøàòü óðàâíåíèå (2.28) äî ðàññòîÿíèé ïî ρ, ãäåôóíêöèè Áåññåëÿ è Õàíêåëÿ óäîâëåòâîðÿþò ñâîèì àñèìïòîòè÷åñêèì çíà÷åíèÿìrπqρ Y0 (qρ) + J0 (qρ)√∼ sin qρ,22rπqρ (1)H0 (qρ)eiπ/4 ∼ eiqρ ,2s √√π Eρ (1) √i(π/4+kπ)i EρH2k ( Eρ)e∼e.2Âî-âòîðûõ, îñíîâíûì äîñòîèíñòâîì äàííîé ñõåìû ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîñòüáèíàðíîãî êàíàëà è êàíàëà ðàçâàëà â àñèìïòîòè÷åñêîì ãðàíè÷íîì óñëîâèèèç-çà îðòîãîíàëüíîñòè áàçèñíûõ ôóíêöèé:π/2Zdθφ0 (θ|ρ)φk (θ|ρ) = 0,k = 1, 2, . . . .02.6. Âûâîäû ê äàííîé ãëàâåÌîäèôèêàöèÿ çàäà÷è ðàññåÿíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ïåðåõîäå îò ãðàíè÷íûõóñëîâèé âèäà (2.6) ê íîâûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿìU 3/2 (ρ, θ) ∼ φ0 (ρ|θ) Y0 (qρ) +3/2a0 (q)H0 (qρ)+NφXk=148√3/2φk (ρ|θ)ak (E)Hk ( Eρ),(2.31)â êîòîðûõ ñâÿçü ìåæäó êîìïîíåíòîé Ôàääååâà àìïëèòóäû ðàçâàëà è êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ äàåòñÿ ñîîòíîøåíèåìA3/2(θ, E) = lim Aρ→∞3/2(θ, E, ρ) = limNφXρ→∞3/2ak (E)φk (ρ|θ),(2.32)k=1à Nφ îáîçíà÷àåò ÷èñëî ÷ëåíîâ ðÿäà.
Äàííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû íà áåñêîíå÷íîñòè ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì âèäà (2.4)(2.6) â ñèëó ïðåäåëüíûõñâîéñòâ áàçèñíûõ ôóíêöèé φk (ρ|θ), ïðèâåäåííûõ âûøå, è ôóíêöèé Y0 (qρ) è√Hk ( Eρ) ïðè ρ → ∞. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïðåîáðàçóþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ñëó÷àÿ J = 1/2. Ïðèâåäåì çäåñü êîíå÷íûé ðåçóëüòàò:1/2U1 (ρ, θ)∼ φ0 (ρ|θ) Y0 (qρ) +1/2a0 (q)H0 (qρ)+NφX√1/2a1,k (E)φk (ρ|θ)Hk ( Eρ),k=1XNφ1/2U2 (ρ, θ) ∼√1/2a2,k (E)φk (ρ|θ)Hk ( Eρ).k=1(2.33)Ñâÿçü ìåæäó êîìïîíåíòîé Ôàääååâà àìïëèòóäû ðàçâàëà è êîýôôèöèåíòàìèðàçëîæåíèÿ äàåòñÿ ôîðìóëîé1/2Ai (θ, E)=1/2lim Ai (θ, E, ρ)ρ→∞= limρ→∞NφX1/2ai,k (E)φk (ρ|θ),k=1ãäå i = 1, 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
