Диссертация (1149591), страница 6
Текст из файла (страница 6)
 ðàìêàõ äàííîãî ðàçëîæåíèÿ àìïëèòóäàðàçâàëà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé áàçèñíûõ ôóíêöèé ñ íåèçâåñò35íûìè êîýôôèöèåíòàìè. Áàçèñíûå ôóíêöèè çàâèñÿò îò çíà÷åíèÿ ãèïåððàäèóñà ïàðàìåòðè÷åñêè. Ïðåäåëû ýòèõ ôóíêöèé ïðè áåñêîíå÷íîì çíà÷åíèè ãèïåððàäèóñà èçâåñòíû àíàëèòè÷åñêè. Êîýôôèöèåíòû äàííîãî ðàçëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðÿäà Ôóðüå è âû÷èñëÿþòñÿ èç ñðàâíåíèÿ ðåøåíèÿãðàíè÷íîé çàäà÷è ñ àñèìïòîòèêîé êîìïîíåíòû âîëíîâîé ôóíêöèè â àñèìïòîòè÷åñêîì ðåãèîíå. Àìïëèòóäà áèíàðíîãî êàíàëà a0 ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîìóêîýôôèöèåíòó ðÿäà è âû÷èñëÿåòñÿ âìåñòå ñ äðóãèìè êîýôôèöèåíòàìè.2.2.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è äàííîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ ðàññåÿíèå â ñèñòåìå, ñîñòîÿùåé èç òð¼õòîæäåñòâåííûõ íåðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîïàðíî. Âìåòîäå óðàâíåíèé Ôàääååâà ââîäÿòñÿ êîìïîíåíòû òð¼õ÷àñòè÷íîé âîëíîâîéôóíêöèè (êîìïîíåíòû Ôàääååâà) Uα , òàêèå ÷òîΨ(X) =3XUα (X).α=1Çäåñü X ñîêðàùåííàÿ çàïèñü êîîðäèíàò ßêîáè {xα , yα }, êîòîðûå âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàäèóñ-âåêòîðû ÷àñòèö rα è èõ ìàññû mα ïî ôîðìóëàì (1.4-1.5).Êîìïîíåíòû âîëíîâîé ôóíêöèè ïîä÷èíÿþòñÿ ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé (1.14).
Òîæäåñòâåííîñòü ÷àñòèö ïðèâîäèò ê ïðîñòîé ñâÿçè ìåæäó êîìïîíåíòàìè Uα , êîòîðàÿ ìîæåò áûòü îïèñàíà ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðîâöèêëè÷åñêîé è àíòèöèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâîê ÷àñòèö P ± , ñì. (1.7).  òàêîìïðåäñòàâëåíèè ðàçëîæåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè íà êîìïîíåíòû ïðèíèìàåò âèäΨ(X) = I + P + + P − U (X),ãäå U ≡ U1 , à I åäèíè÷íûé îïåðàòîð.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.14) ñâîäèòñÿ êîäíîìó óðàâíåíèþ äëÿ ôóíêöèè U :(−∆x − ∆y + V (x) − E) U (X) = −V (x) P + + P − U (X).36(2.1)Ñïèí-èçîñïèí-óãëîâîé àíàëèç (ñì. ðàçäåë 1.4) óðàâíåíèÿ (2.1) ïîçâîëÿåòïîëó÷èòü ñèñòåìó èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Ôàääååâà, îïèñûâàþùèõ ðàññåÿíèå â ñèñòåìå nd.Äëÿ ñëó÷àÿ íóëåâîãî ïîëíîãî îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà L = 0 è ïîòåíöèàëàâçàèìîäåéñòâèÿ V , äåéñòâóþùåãî ëèøü â ñîñòîÿíèè ñ l = 0, íåòðèâèàëüíûéâêëàä â óðàâíåíèå (2.1) äàåò ëèøü îäíî ñëàãàåìîå ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè U (X)ïî áèñôåðè÷åñêèì ãàðìîíèêàìU (X) =U (x, y) 0 0Y00 (x̂, ŷ) ,xyãäå x = |x|, y = |y|. Ñ ó÷åòîì ñïèí-èçîñïèíîâûõ ìíîæèòåëåé â (1.23), óðàâíåíèå (2.1) ïðèíèìàåò âèä [47] è íàçûâàåòñÿ s-âîëíîâûì óðàâíåíèåì Ôàääååâà:Z1∂2∂2xy− 2 − 2 + V J (x) − E U J (x, y) = −V J (x) dµ 0 0 B J U J (x0 , y 0 ). (2.2)∂x∂yxy−1Çäåñü èíäåêñ J îòâå÷àåò ñîñòîÿíèÿì ñ ðàçëè÷íûì ïîëíûì ìîìåíòîì, êîòîðûé â äàííîì ñëó÷àå ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì ïîëíîãî ñïèíà ñèñòåìû, S .
ÄëÿJ ≡ S = 3/2 (êâàðòåò) U 3/2 ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì, äëÿ J ≡ S = 1/2 (äóáëåò) T1/21/21/2.  óðàâíåíèè (2.2) èñïîëüçîòð¼õêîìïîíåíòíàÿ ôóíêöèÿ U1 , U2 , U3âàíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:x0 =y0 =!1/2√2x33y−xyµ +,42422√2y3x3+xyµ +424!1/2,µ = cos (x̂, ŷ).Ïîòåíöèàëû â óðàâíåíèè (2.2) îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: V 3/2 = V tè V 1/2 = diag{V t , V s , V s }, ãäå V t è V s òðèïëåòíûé è ñèíãëåòíûé ïîòåíöèà37ëû N N -âçàèìîäåéñòâèÿ [37]. ×èñëîâûå ìàòðèöû B J äàþòñÿ ôîðìóëàìèB 1/21/4 −3/40= −3/4 1/40 ,00−1/2B 3/2 = −1/2.Ýíåðãèÿ E è îòíîñèòåëüíûé èìïóëüñ íåéòðîíà q ñâÿçàíû ñ ýíåðãèåé îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ äåéòðîíà ε ñîîòíîøåíèåì q 2 = E−ε. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ âîëíîâàÿôóíêöèÿ äåéòðîíà ϕ(x) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþd2 ϕ(x)−+ V J (x)ϕ(x) = εϕ(x),2dx(2.3)ñ íóëåâûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè â íóëå è íà áåñêîíå÷íîñòè.Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2.2), ñîîòâåòñòâóþùåå nd-ðàññåÿíèþ ïðè ýíåðãèÿõâûøå ïîðîãà ðàçâàëà, ïðè ρ → ∞ äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì àñèìïòîòè÷åñêèì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì [24]:√expiEρ1/21/21/2U1 (x, y) ∼ ϕ(x) sin qy + a0 (q) exp iqy + A1 (θ, E) √,(2.4)ρ√expiEρ1/21/2Ui (x, y) ∼ Ai (θ, E) √, i = 2, 3,(2.5)ρ√expiEρ3/2,(2.6)U 3/2 (x, y) ∼ ϕ(x) sin qy + a0 (q) exp iqy + A3/2 (θ, E) √ρpãäå ρ = x2 + y 2 , tg θ = y/x, à òàêæå óñëîâèÿì, îáåñïå÷èâàþùèì ðåãóëÿðíîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè â íóëå U (x, 0) = U (0, y) = 0.
Àñèìïòîòè÷åñêèåãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2.4-2.6) íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò èç àñèìïòîòèêè ïàðöèàëüíîé êîìïîíåíòû Ôàääååâà (1.49). Ôóíêöèè aJ0 (q) è AJi (θ, E) ÿâëÿþòñÿàìïëèòóäàìè áèíàðíîãî ðàññåÿíèÿ è êîìïîíåíòàìè Ôàääååâà àìïëèòóäû ðàçâàëà ñîîòâåòñòâåííî. Äàëåå, äëÿ êðàòêîñòè, êîìïîíåíòó Ôàääååâà àìïëèòóäûðàçâàëà áóäåì òàêæå íàçûâàòü àìïëèòóäîé ðàçâàëà. Àìïëèòóäà áèíàðíîãîðàññåÿíèÿ ñâÿçàíà ñ ôàçîé δ J è êîýôôèöèåíòîì íåóïðóãîñòè η J ôîðìóëîéJη J e2iδ − 1Ja0 (q) =.2i38(2.7)Ñâÿçü ìåæäó àìïëèòóäàìè îïðåäåëÿåòñÿ îïòè÷åñêîé òåîðåìîé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèåì ñâîéñòâà óíèòàðíîñòè â òåðìèíàõ àìïëèòóä. Ýòà ñâÿçüäàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì [46] ΛJ = 1, ãäå√EΛ = [η ] + 4qJπZ2J 2dθX[AJi (θ, E)]∗ AJi (θ, E),i0a ôóíêöèÿ AJi (θ, E) èìååò âèäZ1AJi (θ, E) = AJi (θ, E) +dµ−1xy J J[B A (θ, E)]i .x0 y 0Çäåñü ïîä AJ äëÿ J = 1/2 ïîíèìàåòñÿ òð¼õêîìïîíåíòíàÿ ôóíêöèÿT1/21/21/2A1 , A 2 , A 3.
Ñòðóêòóðà ÷èñëîâîé ìàòðèöû B 1/2 ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü â äàëüíåéøåì òîëüêî äâà çàöåïëåííûõ óðàâíåíèÿ. íàñòîÿùåé ðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ s-âîëíîâîå óðàâíåíèå Ôàääååâà âãèïåðñôåðè÷åñêèõ (ïîëÿðíûõ) êîîðäèíàòàõ {ρ, θ} [49, 65]. Ñ ó÷åòîì çàìåíû√ JρU (x, y) óðàâíåíèå (2.2) ïðèíèìàåò âèä∂211 ∂2− 2 − 2 − 2 2 + V 3/2 (ρ cos θ) − E U 3/2 (ρ, θ) =∂ρ4ρρ ∂θθ+Z(θ)(2.8)2 3/2= √ V (ρ cos θ)U 3/2 (ρ, θ0 ) dθ03èñêîìîé ôóíêöèè U J (ρ, θ) ≡θ− (θ)äëÿ J = 3/2 (êâàðòåò) è∂211 ∂21/2− 2 − 2 − 2 2 + V t (ρ cos θ) − E U1 (ρ, θ) =∂ρ4ρρ ∂θθ+Z(θ)1 t1/21/200= − √ V (ρ cos θ)U1 (ρ, θ ) − 3U2 (ρ, θ ) dθ0 ,3θ− (θ)11 ∂2∂21/2− 2 − 2 − 2 2 + V s (ρ cos θ) − E U2 (ρ, θ) =∂ρ4ρρ ∂θθ+Z(θ)1 s1/21/200= − √ V (ρ cos θ)−3U1 (ρ, θ ) + U2 (ρ, θ ) dθ03(2.9)θ− (θ)39(2.10)äëÿ J = 1/2 (äóáëåò). Ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìèθ− (θ) = |π/3 − θ| è θ+ (θ) = π/2 − |π/6 − θ|.
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2.4)(2.6)√ñîîòâåòñòâåííî óìíîæàþòñÿ íà ρ.2.3. Ïîñòàíîâêà ìîäåëüíîé çàäà÷èÍàðÿäó ñ ïîñòàâëåííîé çàäà÷åé ìû ðàññìîòðèì ìîäåëüíóþ çàäà÷ó äëÿíåîäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Äàííîå óðàâíåíèå îòëè÷àåòñÿ îò (2.2) (J ≡ S = 3/2) èñïîëüçîâàíèåì â ïðàâîé ÷àñòè ñêàëÿðíîé ôóíêöèè [50]√Q(x, y) = −V (x)x√32 y exp (i Ey)√5/2 ,32 y+2(2.11)êîòîðàÿ ìîäåëèðóåò ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ Ôàääååâà. Ñòðóêòóðà äàííîéôóíêöèè ïîçâîëÿåò ðàçäåëèòü ïåðåìåííûå èíòåãðèðîâàíèÿ è, êàê áóäåò ïîêàçàíî äàëåå, èññëåäîâàòü àíàëèòè÷åñêè àñèìïòîòèêó êîìïîíåíòû Ôàääååâà.Ýòà àñèìïòîòèêà, â äàííîì ñëó÷àå, îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (2.6). Èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ a0 (q) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:a0 (q) =1q∞Z∞Zdy0dx sin qy ϕ(x) Q(x, y).0Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ðåøåíèÿ â êîîðäèíàòàõ {ρ, θ}, UQ (ρ, θ) =(2.12)√ρUQ (x, y),äàþòñÿ ôîðìóëàìèUQ (ρ, 0) = UQ (ρ, π/2) = 0,√√UQ (ρ, θ) ∼ ρϕ(x) [sin (qy) + a0 (q) exp (iqy)] + A(θ, E) exp (i Eρ) ïðè ρ → ∞,ãäå êàê è ïðåæäå x = ρ cos θ, y = ρ sin θ.402.4.
Àñèìïòîòè÷åñêèé ïîäõîäÒåïåðü ìû ïîëó÷èì íîâûå àñèìïòîòè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ s-âîëíîâûõ óðàâíåíèé Ôàääååâà (2.8)(2.10), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèåì ðàçëîæåíèÿ èñêîìîãî ðåøåíèÿ ïî áàçèñó äâóõ÷àñòè÷íîé ïîäñèñòåìû ïî êîîðäèíàòå θ. Äàííûé áàçèñ çàâèñèò îò ïîòåíöèàëà, ïîýòîìó ìû äåòàëüíî ðàññìîòðèìñëó÷àé s-âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ Ôàääååâà (2.8) äëÿ J = 3/2 è ïðèâåäåì îêîí÷àòåëüíûå ôîðìóëû äëÿ ñëó÷àÿ J = 1/2.2.4.1. Àäèàáàòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèåÏîä ãèïåðñôåðè÷åñêèì àäèàáàòè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì ïîíèìàåòñÿ ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ âäîëü óãëîâîãî áàçèñà ôóíêöèé çàâèñÿùèõ íå òîëüêî îòóãëîâîé ïåðåìåííîé θ, íî òàêæå è îò ãèïåððàäèóñà ρ êàê îò ïàðàìåòðà [55]. êà÷åñòâå áàçèñà äëÿ ðàçëîæåíèÿ èñêîìîãî ðåøåíèÿ ìû âûáèðàåì íàáîðñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îïåðàòîðà h(ρ)h(ρ)φk (θ|ρ) =1 ∂2− 2 2 + V (ρ cos θ) φk (θ|ρ) = λk (ρ)φk (θ|ρ)ρ ∂θ(2.13)íà èíòåðâàëå [0, π/2] ñ íóëåâûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè φ(0|ρ) = φ(π/2|ρ) =0.
Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî ρ ýòî ïàðàìåòð îïåðàòîðà h(ρ) è, êàê ñëåäñòâèå, åãî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íàñëåäóþò ïàðàìåòðè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü îò ρ. Ñïåêòðàëüíûå ñâîéñòâà îïåðàòîðà h(ρ) ïðèρ → ∞ ñâÿçàíû ñî ñâîéñòâàìè äâóõ÷àñòè÷íîãî ãàìèëüòîíèàíà èç (2.3) îïðåäåëåííûì íà èíòåðâàëå [0, ∞). Îñíîâíûå ñïåêòðàëüíûå ñâîéñòâà, êîòîðûåèãðàþò êëþ÷åâóþ ðîëü â íàøèõ ïîñòðîåíèÿõ ñôîðìóëèðîâàíû íèæå äëÿ ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé è ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ:λ = lim λ0 (ρ) = ε,ρ→∞φ0 (θ|ρ) =√ρϕ(ρ cos θ)(1 + O(ρ−µ )),41µ > 0.Äëÿ âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé φk (θ|ρ), k ≥ 1 ñëåäóþùèå àñèìïòîòèêè èìåþòìåñòî:λk (ρ) ∼2kρ2,2φk (θ|ρ) ∼ √ sin(2kθ).πïðè ρ → ∞.
Áëàãîäàðÿ ýòèì àñèìïòîòèêàì, óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ λk (ρ) ïðè k ≥ 1 êàêνk (ρ).ρ2λk (ρ) =Çäåñü νk (ρ) îáîçíà÷àåò ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà, èç êîòîðîãî ìíîæèòåëü 1/ρ2 âûäåëåí ÿâíî, à èìåííî∂22− 2 + ρ V (ρ cos θ) φk (θ|ρ) = νk (ρ)φk (θ|ρ).∂θ(2.14)ßñíî, ÷òî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè äëÿ (2.13) è (2.14) îäèíàêîâû. Ñòîèò ïîâòîðèòü, ÷òî àñèìïòîòèêè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé νk (ρ) ïðè ρ → ∞ èìåþò ôîðìóνk (ρ) ∼ (2k)2 ,k = 1, 2, 3, . . . .Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî äëÿ îïåðàòîðà èç óðàâíåíèÿ (2.14) ìû ìîæåì ïîëó÷èòüàñèìïòîòèêó ïðè ρ → 0−∂2∂22+ρV(ρcosθ)∼−+ O(ρ2−α )22∂θ∂θ(2.15)ãäå α ñîîòâåòñòâóåò ïîâåäåíèþ ïîòåíöèàëà V (x) â íóëå, ò.å.V (x) ∼ O(|x|−α ).Äëÿ ñàìîñîïðÿæåííîñòè, ïàðàìåòð α äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâóα<2è, êàê ñëåäñòâèå, â óðàâíåíèè (2.15) ìû èìååì 2−α > 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
