Диссертация (1149591), страница 3
Текст из файла (страница 3)
 ðàáîòàõ [42, 43] áûë ïðåäëîæåí ôîðìàëèçì, îïèñûâàþùèé ðàññåÿíèå ñ äàëüíîäåéñòâóþùèìè ïîòåíöèàëàìè, è çàäà÷à ïðîòîíäåéòðîííîãî ðàññåÿíèÿ áûëà ÷èñëåííî ðåøåíà [44]. Òàêæå áûëî ïîñòðîåíîðàçëîæåíèå êîìïîíåíò Ôàääååâà, àëüòåðíàòèâíîå ïàðöèàëüíîìó, íå òðåáóþùåå ó÷åòà áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ïàðöèàëüíûõ âîëí [45] äëÿ òî÷íîãî îïèñàíèÿðàññåÿíèÿ. ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ äëÿ íàõîæäåíèÿ àìïëèòóä ðàññåÿíèÿ èñïîëüçóþòñÿ âû÷èñëèòåëüíûå àëãîðèòìû, îñíîâàííûå íà ðåøåíèè ãðàíè÷íûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé Ôàääååâà è èçâëå÷åíèè àìïëèòóä èç ñðàâíåíèÿ ðåøåíèÿñ àñèìïòîòèêîé [46, 47]. Ýòè àëãîðèòìû íå òðåáóþò âîññòàíîâëåíèÿ ïîëíîãîðåøåíèÿ ãðàíè÷íîé çàäà÷è è ïîýòîìó ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ðåøåíèÿçàäà÷ ñ äâóìåðíûìè óðàâíåíèÿìè.
Õîðîøî èçâåñòíî [24, 48], ÷òî õîòÿ ðàçáèåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè òð¼õ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû íà êîìïîíåíòû Ôàääååâàïîçâîëÿåò àñèìïòîòè÷åñêè ðàñöåïèòü äâóõ÷àñòè÷íûå êàíàëû, ïðè ýíåðãèÿõâûøå òð¼õ÷àñòè÷íîãî ïîðîãà ðàçâàëà êàæäûé äâóõ÷àñòè÷íûé êàíàë ïåðåñåêàåòñÿ ñ êàíàëîì ðàçâàëà. Ýòî âûðàæàåòñÿ â òîì, ÷òî â àñèìïòîòè÷åñêîéîáëàñòè êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà, ãäå ÷àñòèöû ñâÿçàííîé ïàðû íàõîäÿòñÿ íà íå î÷åíü áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ, âêëàäû äâóõ÷àñòè÷íîãî êàíàëàè êàíàëà ðàçâàëà â àñèìïòîòèêó êîìïîíåíòû âîëíîâîé ôóíêöèè èìåþò îäèíàêîâûé ïîðÿäîê.
Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî ïðèâîäèò ê íåâîçìîæíîñòè íàõîæäåíèÿ àìïëèòóä óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ è ðàçâàëà áåç èñïîëüçîâàíèÿ òåõ èëèèíûõ ïðèáëèæåíèé. íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè ðåøàåòñÿ çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ àëüòåðíàòèâíîãî [24] ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ àñèìïòîòèê êîìïîíåíò âîëíîâîé ôóíêöèè. Íàéäåííîå ïðåäñòàâëåíèå àñèìïòîòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî ïðåäñòàâëåíèþ ïðåäëîæåííîìó Ìåðêóðüåâûì â ðàáîòå [46].  ïîëó÷åííîì â äàííîé äèññåðòàöèè14ïðåäñòàâëåíèè âêëàäû äâóõ÷àñòè÷íîãî è òð¼õ÷àñòè÷íîãî êàíàëîâ îðòîãîíàëèçóþòñÿ.
Ýòî ïîçâîëÿåò íàõîäèòü àìïëèòóäû óïðóãîãî ðàññåÿíèÿ è ðàçâàëàáåç ïðèâëå÷åíèÿ êàêèõ-ëèáî ïðèáëèæåíèé. Äëÿ äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé ñòðóêòóðû àñèìïòîòèê êîìïîíåíò âîëíîâîé ôóíêöèè ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòüîðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ [110], ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé äâóõ÷àñòè÷íîé ÷àñòè ïîëíîãî ãàìèëüòîíèàíà, çàäàâàåìîãî â ãèïåðñôåðè÷åñêèõêîîðäèíàòàõ [49].
Ïîêàçàíî, ÷òî äàííûé áàçèñ ïîçâîëÿåò îðòîãîíàëèçîâàòüâêëàäû óïðóãîãî êàíàëà è êàíàëà ðàçâàëà. Èñïîëüçîâàíèå äàííîãî ðàçëîæåíèÿ â óðàâíåíèÿõ Ôàääååâà ïîçâîëÿåò âûðàçèòü àñèìïòîòèêó êîìïîíåíòû âîëíîâîé ôóíêöèè â òåðìèíàõ èçâåñòíûõ ôóíêöèé. Îïèñàííûé àëãîðèòìïðèìåíÿåòñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ àìïëèòóäû áèíàðíîãî ðàññåÿíèÿ è ðàçâàëà â ñèñòåìå íåéòðîí-äåéòðîí (nd). Äëÿ àìïëèòóä ðàçâàëà âû÷èñëÿþòñÿ êàê äîïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷åííûå ïðè áîëüøîì, íî êîíå÷íîì çíà÷åíèè ãèïåððàäèóñà, òàê è ïðåäåëüíûå ïðè ñòðåìëåíèè ãèïåððàäèóñà ê áåñêîíå÷íîñòè.Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé áèíàðíîé àìïëèòóäû a0 ñîâïàäàþò ñ ðåçóëüòàòàìèäðóãèõ ãðóïï èññëåäîâàòåëåé, à ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèÿ ïðåäåëüíîé àìïëèòóäû ðàçâàëà íå èìåþò âîçìóùåíèé, õàðàêòåðíûõ äëÿ ïîâåäåíèÿ àìïëèòóäðàçâàëà ðàáîò [37, 50] â îáëàñòè ìàëûõ ðàññòîÿíèé ìåæäó íóêëîíàìè, îáðàçóþùèìè äåéòðîí.
Ñõîäèìîñòü ðåçóëüòàòîâ äëÿ áèíàðíîé àìïëèòóäû, ïîëó÷åííàÿ â ðàìêàõ ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà, äëÿ ñëó÷àÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è ïîäòâåðæäàåòñÿ íàéäåííîé àíàëèòè÷åñêè àñèìïòîòèêîé àìïëèòóäíîé ôóíêöèè.Äîïîëíèòåëüíî ðàññìîòðåíû àëüòåðíàòèâíûå ìåòîäû íàõîæäåíèÿ àìïëèòóäðàññåÿíèÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî ðåçóëüòàòû èñïîëüçîâàíèÿ ðàññìîòðåííûõ ìåòîäîâõîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ìåæäó ñîáîé. Ïðåäñòàâëåíà ÷èñëåííàÿ ñõåìà, êîòîðàÿîáåñïå÷èâàåò ýôôåêòèâíîå ïàðàëëåëüíîå ðåøåíèå äèñêðåòèçîâàííîé ãðàíè÷íîé çàäà÷è.Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ïðåäëîæåííûé â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîäõîä òåñíî ïðèìûêàåò ê ìåòîäó àäèàáàòè÷åñêèõ ãèïåðñôåðè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé âçàäà÷å òð¼õ ÷àñòèö [5155].
Íàèáîëåå ïîëíîå ñ òî÷êè çðåíèÿ êîððåêòíîãî ðàñ15ñìîòðåíèÿ âñåõ àñïåêòîâ òåîðèè ðàññåÿíèÿ èçëîæåíèå äàííîãî ìåòîäà ïðåäñòàâëåíî â ðàáîòå [55].  îòëè÷èå îò ýòîé ðàáîòû, íàñòîÿùàÿ ðàáîòà êîíöåíòðèðóåòñÿ ëèøü íà èñïîëüçîâàíèè àäèàáàòè÷åñêèõ ãèïåðñôåðè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé äëÿ àñèìïòîòèê êîìïîíåíò Ôàääååâà âîëíîâûõ ôóíêöèé.  ýòîìñëó÷àå äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü ñîáñòâåííûå ôóíêöè óãëîâîé ÷àñòè ïàðíîãî ãàìèëüòîíèàíà, îïðåäåëÿþùåãî ñîîòâåòñòâóþùèé êàíàë. Ðàáîòà [55] ïðèýòîì ìîæåò ñëóæèòü ïðåêðàñíûì èñòî÷íèêîì äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ èñïîëüçóåìûõ êîíñòðóêöèé è äîêàçàòåëüñòâ óòâåðæäåíèé, îïóùåííûõ â íàñòîÿùåéðàáîòå.1.2. Óðàâíåíèå ØðåäèíãåðàÊâàíòîâîìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû òð¼õ íåðåëÿòèâèñòñêèõ ÷àñòèö ñ ìàññàìè mi , i = 1, 2, 3, â îáùåì ñëó÷àå, õàðàêòåðèçóþòñÿ îïåðàòîðîì ýíåðãèè,Ãàìèëüòîíèàíîì~2~2~2H(r1 , r2 , r3 ) = −∆r −∆r −∆r +v23 (r2 −r3 )+v31 (r3 −r1 )+v12 (r1 −r2 ),2m1 1 2m2 2 2m3 3(1.1)ãäå ∆ri òð¼õìåðíûé îïåðàòîð Ëàïëàñà, ri ðàäèóñ-âåêòîðû ÷àñòèö, vij (ri −rj ) äâóõ÷àñòè÷íûå ïîòåíöèàëû âçàèìîäåéñòâèÿ ïàðû ÷àñòèö mi è mj .
Òàêèåñèñòåìû îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà [9, 10]HΨ = EΨ(1.2)ñ òð¼õ÷àñòè÷íîé âîëíîâîé ôóíêöèåé Ψ = Ψ(r1 , r2 , r3 ). ×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû äëÿ äàííîé ñèñòåìû ðàâíî äåâÿòè, ÷òî äîñòàòî÷íî ìíîãî è çàòðóäíÿåòèññëåäîâàíèå å¼ ñâîéñòâ.
Óìåíüøèòü ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû äî øåñòè, ïîçâîëÿåò îòäåëåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ñèñòåìû.16Öåíòð ìàññ ñèñòåìû òð¼õ ÷àñòèö îïðåäåëÿåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðîìrR=12(m1 r1 + m2 r2 + m3 r3 ) .m1 + m2 + m3(1.3)Äëÿ îïèñàíèÿ îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ òð¼õ ÷àñòèö ââåäåì ïðèâåäåííûåêîîðäèíàòû ßêîáè [56] ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàìsxα =2mβ mγ(rβ − rγ ) ,mβ + mγsyα =2mα (mβ + mγ )mα + mβ + mγ(1.4)m β rβ + m γ rγ− rα .mβ + mγ(1.5)Çäåñü ãðå÷åñêèå áóêâû α, β, γ îáîçíà÷àþò îòäåëüíûå ÷àñòèöû òð¼õ÷àñòè÷íîéñèñòåìû. Òðèàäà {α, β, γ} ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îäíîé èç öèêëè÷åñêèõ ïåðåñòàíîâîê ìíîæåñòâà {1, 2, 3}.Âñåãî äëÿ äàííîé ñèñòåìû òð¼õ ÷àñòèö ñóùåñòâóåò òðè ïàðû ðàçëè÷íûõñèñòåì êîîðäèíàò ßêîáè: {xα , yα }, α = 1, 2, 3.
Êàæäàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàòôèêñèðóåòñÿ âûáîðîì îäíîé èç öèêëè÷åñêèõ ïåðåñòàíîâîê òðîéêè: {1, 2, 3},{3, 1, 2} èëè {2, 3, 1}. Ïåðåõîä îò îäíîé ïàðû êîîðäèíàò, α, ê äðóãîé, β , îñóùåñòâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé ïîâîðîòà xx+ α β = Pβαyβyαãäå(1.6)cβα sβα+Pβα=−sβα cβα(1.7)è ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè:mα mβ,(mα + mγ )(mβ + mγ )smγ (mα + mβ + mγ )= (−1)α−β sign(α − β).(mα + mγ )(mβ + mγ )cβαsβα1Îïðåäåëÿåìûép2(m1 + m2 + m3 )r=−çäåñüðàäèóñ-âåêòîðöåíòðàðàç.17ìàññîòëè÷àåòñÿîòñòàíäàðòíîãî[46]âÏåðåõîä îáðàòíî, îò ïàðû êîîðäèíàò β ê ïàðå α, îñóùåñòâëÿåòñÿ, ñîîòâåòñòâåííî, îáðàòíîé ìàòðèöåé−Pβα=+Pβα−1=+PβαT. êîîðäèíàòàõ (1.3-1.5) èñõîäíûé Ãàìèëüòîíèàí (1.1) ïðåäñòàâëÿåòñÿêàê2H(R, xα , yα ) = −∆R − ∆xα − ∆yα + Vα (xα ) + Vβ (xβ ) + Vγ (xγ ),(1.8)è äîïóñêàåò îòäåëåíèå äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ îò îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿòð¼õ ÷àñòèö.
 ôîðìóëå (1.8) Vα (xα ) = vβγpxα / 2mβ mγ /(mβ + mγ ) ïîòåíöèàë ïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ â ïàðå ÷àñòèö, íå âêëþ÷àþùåé ÷àñòèöó ñèíäåêñîì α, à ïîòåíöèàëû â êîîðäèíàòàõ xβ , xγ ïåðåñ÷èòûâàþòñÿ â êîîðäèíàòàõ (xα , yα ). Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ñ ÷àñòüþ Ãàìèëüòîíèàíà (1.8), îïèñûâàþùåãî îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå−∆xα − ∆yα +3XVβ (xβ ) Ψ(xα , yα ) = EΨ(xα , yα ),(1.9)β=1ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ òð¼õ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî â ñëó÷àå êîðîòêîäåéñòâóþùèõ ïîòåíöèàëîâ, òð¼õ÷àñòè÷íàÿâîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàåò ïî êàæäîé èç øåñòè êîîðäèíàò êîíôèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà.  òàêîì ñëó÷àå, ïîñëå îòäåëåíèÿ óãëîâûõ ïåðåìåííûõ îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïîñòàâèòü ãðàíè÷íóþ çàäà÷ó ñòðèâèàëüíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè äëÿ ðàäèàëüíîé ÷àñòè âîëíîâîé ôóíêöèè Ψ(xα , yα ) è, ðåøèâ åå, íàéòè ýíåðãèè ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé è ñîîòâåòñòâóþùèå âîëíîâûå ôóíêöèè äàííîé òð¼õ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû.1.3. Óðàâíåíèÿ Ôàääååâà ñëó÷àå çàäà÷è ðàññåÿíèÿ, ïîâåäåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè Ψ(xα , yα ) äîñòàòî÷íî ñëîæíîå è îòëè÷àåòñÿ â ðàçíûõ ïîäîáëàñòÿõ êîíôèãóðàöèîííîãîïðîñòðàíñòâà.
Ïîýòîìó ïîñòàíîâêà çàäà÷è ðàññåÿíèÿ è ïåðåõîä ê ãðàíè÷íîé2Çäåñü è äàëåå ìû äëÿ ïðîñòîòû ïðåäïîëîæèì, ÷òî18~ = 1.çàäà÷å, êîòîðóþ ìîæíî áûëî áû ýôôåêòèâíî ðåøèòü, ÿâëÿåòñÿ çàòðóäíèòåëüíûì.Ðåøåíèå äàííîé ïðîáëåìû áûëî íàéäåíî â ðàáîòå [24]. Òð¼õ÷àñòè÷íàÿâîëíîâàÿ ôóíêöèÿ Ψ(xα , yα ) ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóììîé òð¼õ êîìïîíåíò (êîìïîíåíò Ôàääååâà) Uβ (xβ , yβ ), β = 1, 2, 3, êàæäàÿ èç êîòîðûõ çàâèñèò îò ñâîåéïàðû êîîðäèíàò ßêîáè:Ψ(xα , yα ) =3X(1.10)Uβ (xβ , yβ ).β=1Èñïîëüçîâàíèå äàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà (1.9) è íåçàâèñèìîñòü îïåðàòîðà Ëàïëàñà −∆xα − ∆yα îò èñïîëüçóåìîé ïàðû êîîðäèíàò ßêîáè ïîçâîëÿåò ïåðåéòè ê ñâÿçàííîé ñèñòåìå óðàâíåíèé äëÿ êîìïîíåíò(óðàâíåíèé Ôàääååâà) [46](−∆xα − ∆yα + Vα (xα ) − E) Uα (xα , yα ) = −Vα (xα )XUβ (xβ , yβ ).(1.11)β6=α îòëè÷èå îò âîëíîâîé ôóíêöèè Ψ(xα , yα ), ïîâåäåíèå êîìïîíåíò Ôàääååâà âñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàõ êîîðäèíàò ßêîáè ÿâëÿåòñÿ íàìíîãî áîëåå ïðîñòûì.Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåò êîððåêòíî ïîñòàâèòü çàäà÷ó ðàññåÿíèÿ äëÿêîìïîíåíò Ôàääååâà, îòäåëèòü óãëîâûå ïåðåìåííûå è â èòîãå ÷èñëåííî ðåøèòü óðàâíåíèÿ äëÿ ðàäèàëüíûõ ÷àñòåé êîìïîíåíò Ôàääååâà.Èññëåäóåì óðàâíåíèå (1.11) äëÿ êîìïîíåíòû Ôàääååâà Uα (xα , yα ) äëÿñëó÷àÿ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö îäèíàêîâîé ìàññû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
