Диссертация (1149591), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Òîæäåñòâåííîñòü ÷àñòèöïðèâîäèò ê ïðîñòîé ñâÿçè ìåæäó êîìïîíåíòàìè Uα , êîòîðàÿ ìîæåò áûòü îïèñàíà ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðîâ öèêëè÷åñêîé è àíòèöèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâîê÷àñòèö P ± .  òàêîì ïðåäñòàâëåíèè ðàçëîæåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè íà êîìïîíåíòû ïðèíèìàåò âèäΨ(x, y) = I + P + + P − U (x, y),ãäå U ≡ U1 , I åäèíè÷íûé îïåðàòîð, à èíäåêñû α ó âåêòîðîâ áûëè îïóùåíû.Áîëåå òîãî, ïîëó÷åííîå ïðåäñòàâëåíèå îáåñïå÷èâàåò àíòèñèììåòðè÷íîñòü âîë19íîâîé ôóíêöèè, êîòîðàÿ áóäåò íåîáõîäèìà â äàëüíåéøåì ïðè ðàññìîòðåíèèíåéòðîí-äåéòðîííîãî ðàññåÿíèÿ.

Äåéñòâèå îïåðàòîðîâ öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêè îïèñûâàåòñÿ êàê P + (1, 2, 3) = (3, 1, 2), P − (1, 2, 3) = (2, 3, 1). Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò ßêîáè äëÿ ñëó÷àÿ ðàâíûõ ìàññ ïîëó÷àåòñÿ íåïîñðåäñòâåííîèç ôîðìóëû (1.7):√13x0 ≡ x+ = − x +y,22√31y0 ≡ y+ = − x − y,22(1.12)(1.13)ãäå, åñëè (x, y) = (x1 , x1 ), òî (x+ , y+ ) = (x2 , y2 ) è (x− , y− ) = (x3 , y3 ).Ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.11) â òàêîì ñëó÷àå ñâîäèòñÿ ê îäíîìó óðàâíåíèþäëÿ êîìïîíåíòû U (x, y) ≡ U1 (x1 , y1 ):(−∆x − ∆y + V (x) − E) U (x, y) = −V (x) P + + P − U (x, y).(1.14)Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå âìåñòå ñ àñèìïòîòè÷åñêèìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèäëÿ U (x, y), êîòîðûå áóäóò ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ äàííîé ãëàâû, îïðåäåëÿþò çàäà÷ó ðàññåÿíèÿ äëÿ êîìïîíåíòû Ôàääååâà. Òåì íå ìåíåå,óðàâíåíèå (1.14) ÿâëÿåòñÿ øåñòèìåðíûì è íåïîñðåäñòâåííîå ÷èñëåííîå èññëåäîâàíèå ñîñòîÿíèé ÷àñòèö îïèñûâàåìûõ äàííûì óðàâíåíèåì íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Îòäåëåíèå óãëîâûõ ïåðåìåííûõ è ïåðåõîä ê óðàâíåíèþ äëÿðàäèàëüíîé ÷àñòè êîìïîíåíòû Ôàääååâà ïîçâîëÿåò óìåíüøèòü ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû è ïîñòàâèòü ãðàíè÷íóþ çàäà÷ó ïîääàþùóþñÿ ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ.1.4.

Óãëîâîé àíàëèç óðàâíåíèé ÔàääååâàÓãëîâîé àíàëèç óðàâíåíèÿ (1.14) ïîçâîëÿåò óìåíüøèòü ÷èñëî ñòåïåíåéñâîáîäû â óðàâíåíèè Ôàääååâà ñ øåñòè äî äâóõ è ïîëó÷èòü óðàâíåíèÿ äëÿðàäèàëüíûõ ÷àñòåé êîìïîíåíòû. Ïðè ýòîì, îïåðàòîð ïåðåñòàíîâêè â ïðàâîé÷àñòè (1.14) ó÷èòûâàåòñÿ ïóòåì ðàçëîæåíèÿ ðàäèàëüíîé ÷àñòè êîìïîíåíòû20Ôàääååâà, çàâèñÿùåé îò äðóãîé ïàðû êîîðäèíàò ßêîáè, ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà, çàâèñÿùèõ îò óãëà ìåæäó êîîðäèíàòàìè ßêîáè, èñïîëüçóåìûìè âëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ.Îòäåëåíèå ñïèí-èçîñïèíîâûõ è óãëîâûõ ïåðåìåííûõ â ïîëó÷èâøåìñÿóðàâíåíèè (1.14) ïðîèçâîäèòñÿ ïóòåì ðàçëîæåíèÿ êîìïîíåíòû Ôàääååâà U (x, y)ïî áàçèñóZi (x̂, ŷ) = η1/2tT Tz {Yλ (ŷ) ⊗ {χ1/2 ⊗ {Yl (x̂) ⊗ χ1/2,1/2}J }s }F Mz .σ(1.15)è ïîñëåäóþùåãî ïðîåöèðîâàíèÿ íà ýòè áàçèñíûå ôóíêöèè. Çäåñü ìû íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåì àíàëèçó, ðåçóëüòàòû êîòîðîãî ïðèâåäåíû â ðàáîòàõ [24, 46].

Âôîðìóëå (1.15) çíàê ⊗ îáîçíà÷àåò íåïðèâîäèìîå òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå [57],Yλ (ŷ) îáîçíà÷åíèå ñôåðè÷åñêèõ ãàðìîíèê, à χ1/2 è χ1/2,1/2 îäíî÷àñòè÷íûåè äâóõ÷àñòè÷íûå ñïèíîâûå ôóíêöèè. l è λ îïåðàòîðû îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà ïàðû ÷àñòèö (äîïóñòèì 23) è îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà òðåòüåé ÷àñòèöû(äîïóñòèì 1) îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ïàðû. Ñïèí ïàðû ÷àñòèö σ è îïåðàòîðîðáèòàëüíîãî ìîìåíòà l ñêëàäûâàþòñÿ â îïåðàòîð ïîëíîãî óãëîâîãî ìîìåíòàïàðû J = l + σ .

Ïîëíûé ñïèí òð¼õ ÷àñòèö s = 1/2 + J ñêëàäûâàåòñÿ ñ îðáèòàëüíûì ìîìåíòîì òðåòüåé ÷àñòèöû λ è äàåò ïîëíûé óãëîâîé ìîìåíò òð¼õ÷àñòèö F = λ + s. Èçîñïèíîâàÿ ôóíêöèÿ η1/2tT Tz îòäåëåíà îò íåïðèâîäèìîãîòåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Èçîñïèí ïàðû t ñêëàäûâàåòñÿ ñ èçîñïèíîì òðåòüåé÷àñòèöû 1/2 â èçîñïèí òð¼õ ÷àñòèö T = 1/2+t. Èíäåêñ i ñîîòâåòñòâóåò íàáîðó êâàíòîâûõ ÷èñåë {lσJsλ}, ò.ê. îñòàëüíûå êâàíòîâûå ÷èñëà ñîõðàíÿþòñÿ âïðîöåññå ðàññåÿíèÿ. Íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî èñïîëüçóåìàÿ çäåñü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëîæåíèÿ ìîìåíòîâ è ñïèíîâûõ ôóíêöèé îòëè÷àåòñÿ îò ïðèíÿòûõâ jj - è LS -ñâÿçè [5860].Èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå êîìïîíåíòû Ôàääååâà ïî ñïèí-èçîñïèí-óãëîâûìáàçèñíûì ôóíêöèÿìU (x, y) =X Ui (|x|, |y|)i|x||y|21Zi (x̂, ŷ)(1.16)â óðàâíåíèè (1.14). Äåéñòâèå îïåðàòîðà öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêè P + (è àíàëîãè÷íî P − ), ïðèâîäÿùåå ê èçìåíåíèþ êîîðäèíàò, ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷åðåçåãî êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ ïî äàííîìó áàçèñóU(|x|,|y|)Ui (|x0 |, |y0 |)iP+Zi (x̂, ŷ) ≡Zi (x̂0 , ŷ0 )00|x||y||x ||y |*+ U (|x0 |, |y0 |)X i=Zj (x̂, ŷ)Zi (x̂0 , ŷ0 )Zj (x̂, ŷ) .00 |x ||y |(1.17)jÄàííîå ïðåäñòàâëåíèå ýêâèâàëåíòíî ïðèíÿòîìó â ðàáîòå [24]:X Zj (x̂, ŷ)j|x||y|00G+ji (|x ||y |),ãäå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ äàþòñÿ èíòåãðàëüíûìè îïåðàòîðàìè ñ äîñòàòî÷íî ñëîæíûì ÿäðîì [24]00G+ji (|x ||y |) =Z1+dµgji(y/x, µ)Ui (|x0 |, |y0 |).−1Ïðîåöèðóÿ óðàâíåíèå (1.14) ñ èñïîëüçîâàííûì â íåì ðàçëîæåíèåì (1.16) íàñîñòîÿíèå Zn (x̂, ŷ) ïîëó÷èì óðàâíåíèåUn (|x|, |y|) XUi (|x|, |y|)(−∆x − ∆y − E)+hZn |V (x)|Zi i=|x||y||x||y|iX XU(|x|,|y|)i=−hZn |V (x)|Zj ihZj |P +Zi (x̂, ŷ) i+|x||y|ij!XU(|x|,|y|)iZi (x̂, ŷ) i .+hZn |V (x)|Zk ihZk |P +|x||y|(1.18)kÌû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òàêèå ïîòåíöèàëû [61], ìàòðè÷íûé ýëåìåíò êîòîðûõäèàãîíàëåí â äàííîì ñïèí-èçîñïèí-óãëîâîì áàçèñåhZn (x̂, ŷ)|V (x)|Zm (x̂, ŷ)i = δλλ0 δss0 δσσ0 δJJ 0 vllσJ0 (x).(1.19) äèññåðòàöèè ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé ðàññåÿíèÿ îïðåäåëÿåìûé ÿäåðíûì ïîòåíöèàëîì, à èìåííî ïîòåíöèàëîì Maliet-Tjon I-III [25].

Îäíèì èç ñâîéñòâ22ÿäåðíîãî ïîòåíöèàëà [44] ÿâëÿåòñÿ îòñóòñòâèå âçàèìîäåéñòâèÿ â ñïèí-èçîñïèíòðèïëåò-òðèïëåòíîì (σ = 1, t = 1) è ñèíãëåò-ñèíãëåòíîì (σ = 0, t = 0) ñîñòîÿíèÿõ. Áîëåå òîãî, äàííûé ìîäåëüíûé ïîòåíöèàë äåéñòâóåò òîëüêî â s-âîëíå,ò.å. â óðàâíåíèè îñòàåòñÿ äèàãîíàëüíûé ýëåìåíò vllσJ0 (x) ñ l = 0.Íàõîæäåíèå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ îïåðàòîðîâ ïåðåñòàíîâêè P ± â áàçèñåZi (x̂, ŷ) âûïîëíÿåòñÿ ïîñëå ñëîæåíèÿ ñïèíîâûõ è îðáèòàëüíûõ ïåðåìåííûõâ Zi (x̂, ŷ).Âîñïîëüçîâàâøèñü â (1.15) ôîðìóëàìè äëÿ èçìåíåíèÿ ñõåìû ñâÿçè âíåïðèâîäèìûõ ïðîèçâåäåíèÿõ êîììóòèðóþùèõ ìåæäó ñîáîé òåíçîðîâ [57](ñòð. 62){Pa ⊗ {Rd ⊗ Qb }f }e =d b f Xp2a+b+d+f= (−1)(2h + 1)(2f + 1){Rd ⊗ {Qb ⊗ Pa }h }e ,a e hh{Pa ⊗ {Qb ⊗ Rd }f }e =Xpd b f2a+2b+2d(2h + 1)(2f + 1){Rd ⊗ {Qb ⊗ Pa }h }e ,= (−1)a e h hè ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè 6j -ñèìâîëîâ Âèãíåðà [57], ïîëó÷èì ôîðìóëó äëÿZi (x̂, ŷ):Zi (x̂, ŷ) =X(−1)3l+2λ+J+σ+2S+1p(2S + 1)(2J + 1)(2L + 1)(2s + 1)LS l σ J   λ l Lη1/2tT Tz {{χ1/2,1/2⊗ χ1/2 }S ⊗ {Yλ (ŷ) ⊗ Yl (x̂)}L }F .σ1/2 s S  S F s (1.20)Ðàäèàëüíàÿ ÷àñòü êîìïîíåíòû Ôàääååâà Ui (|x0 |, |y0 |) çàâèñèò, â òîì ÷èñëå, îò óãëà ìåæäó âåêòîðàìè x,y, êîòîðóþ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç óãëîâûåïåðåìåííûå äàííûõ âåêòîðîâ.

Òàêèì îáðàçîì, çàâèñèìîñòü Ui (|x0 |, |y0 |) îò óãëîâûõ ïåðåìåííûõ âåêòîðîâ x,y, íå ïîçâîëÿåò ïðîñòî âûíåñòè äàííóþ ôóíêöèþ èç ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà â (1.17). Äëÿ îòäåëåíèÿ îïèñàííîé âûøå óãëîâîé23çàâèñèìîñòè ðàçëîæèì ðàäèàëüíóþ ÷àñòü êîìïîíåíòû Ôàääååâà Ui (|x0 |, |y0 |)ïî ïîëèíîìàì Ëåæàíäðà Pk (cos (dx, y)) èñïîëüçóÿ ôîðìóëó:∞XUi (|x0 |, |y0 |)=Pk (cos (dx, y))ck (λ, l) =|x0 |l+1 |y0 |λ+1k=0=∞XZ1Pk (cos (dx, y))k=0−1Ui (|x0 |, |y0 |)Pk (cos (dx, y)) 0 l+1 0 λ+1 d(cos (dx, y)).|x | |y |(1.21)äëÿ ïðîèçâîëüíûõ l ≥ 0 è λ ≥ 0.

Òîãäà, ïðèìåíÿÿ (1.21), ïîëó÷èìhZj (x̂, ŷ)|P +∞XUi (|x|, |y|)Zi (x̂, ŷ) i =ck (0, 0)hZj (x̂, ŷ)|Pk (cos (dx, y))Zi (x̂, ŷ)i.|x||y|k=0(1.22) èòîãå, äëÿ ìàòðè÷íîãî îïåðàòîðà P ± ïîëó÷àåì âûðàæåíèå000hZj (x̂, ŷ)|Pk (cos (dx, y))Zi (x̂, ŷ)i = (−1)l+l +J+J +σ+σXp(2L + 1)(2S + 1) (2J + 1)(2J 0 + 1)(2s + 1)(2s0 + 1)00000Xl σ Jλ l Ll σ Jλ l L1/2 s S  S F s  1/2 s0 S   S F s0 lλDEDEXT TzS+ S+ T Tzχσ,1/2 |P |χσ0 ,1/2 ηt,1/2 |P |ηt0 ,1/2wk;Ll0 λ0 lλ ck (λ, l),LS(1.23)kãäå êîýôôèöèåíòû wk;Ll0 λ0 lλ âîçíèêàþò èç ðàçëîæåíèÿP [{Yλ0 (ŷ) ⊗ Yl0 (x̂)}L0 ] Pk (cos (dx, y)) =+Xwk;L0 l0 λ0 l00 λ00 {Yλ00 (ŷ0 ) ⊗ Yl00 (x̂0 )}L0 .l00 λ00(1.24)Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà P + â áàçèñå ñïèíîâûõ è èçîñïèíîâûõ ñîñòîÿíèé ìîæíî ëåãêî âû÷èñëèòü, çíàÿ ñïèíîâûå ôóíêöèè òð¼õ ôåðìèîíîâ. Åñëèâ ñèñòåìå ñîõðàíÿþòñÿ ïîëíûé ñïèí S è åãî ïðîåêöèÿ Sz , òî áàçèñ ñïèíîâûõôóíêöèé áóäåò âûðàæàòüñÿ ÷åðåç ñïèíîâûå ôóíêöèè, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì ñî÷åòàíèÿì îäíî÷àñòè÷íûõ ñïèíîâûõ ñîñòîÿíèé [62]| ↓↓↓i, | ↑↑↑i, | ↓↓↑i, | ↓↑↓i, | ↑↓↓i, | ↓↑↑i, | ↑↓↑i, | ↑↑↓i.24Äëÿ êâàðòåòà (S = 3/2), äàííûé áàçèñ äëÿ ðàçëè÷íûõ ïðîåêöèé Sz ïîëíîãîñïèíà ñèñòåìû äàåòñÿ ôîðìóëàìèS=3/2,S =−3/2χσ=1,1/2 zS=3/2,S =−1/2χσ=1,1/2 zS=3/2,S =1/2χσ=1,1/2 zS=3/2,S =3/2χσ=1,1/2 z= | ↓↓↓i,1= √ (| ↓↓↑i + | ↑↓↓i + | ↓↑↓i) ,31= √ (| ↑↑↓i + | ↓↑↑i + | ↑↓↑i) ,3(1.25)= | ↑↑↑i.Îïåðàòîð P + (à ñëåäîâàòåëüíî è P − ) äèàãîíàëåí â äàííîì áàçèñå.

Äëÿ äóáëåòà (S = 1/2) ñïèíîâûå ôóíêöèè áóäóò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:S=1/2,S =−1/2χσ=0,1/2 zS=1/2,S =1/2χσ=0,1/2 zS=1/2,S =−1/2χσ=1,1/2 zS=1/2,S =1/2χσ=1,1/2 z1= √ (| ↑↓↓i − | ↓↑↓i) ,21= √ (| ↑↓↑i − | ↓↑↑i) ,2√112= √ | ↑↓↓i + √ | ↓↑↓i − √ | ↓↓↑i,63√6112= √ | ↑↑↓i − √ | ↑↓↑i − √ | ↓↑↑i.366(1.26)Îïåðàòîð P + (P − ) äåéñòâóåò íà äâóõêîìïîíåíòíóþ ôóíêöèþ, äâóõ ðàçíûõñïèíîâ äâóõ÷àñòè÷íîé ïîäñèñòåìû (χσ=0 , χσ=1 ) èç ïðîñòðàíñòâà ñ îäèíàêîâîéïðîåêöèåé ïîëíîãî ñïèíà Sz .

Îïåðàòîðû P + è P − ïðåäñòàâëÿþòñÿ ìàòðèöàìè√ −1/2 − 3/2−1/23/2 , P − = P + −1 = √.P+ =  √− 3/2 −1/23/2 −1/2√(1.27)T Tz, îïðåäåëåííîé òàê, ÷òî ñîñòîÿíèå τ = 1/2, τz =Äëÿ èçîñïèíîâîé ôóíêöèè ηtτ−1/2 ñîîòâåòñòâóåò ïðîòîíó, à τ = 1/2, τz = 1/2 íåéòðîíó, ïîëó÷èì, èäåíòè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ èçîñïèíîâûõ ñîñòîÿíèé. Èíòåðåñóþùèå íàñ òð¼õ÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ nnp ôèêñèðóþòñÿ âûáîðîì Tz = 1/2, t = 0, τz = 1/2 èëèTz = 1/2, t = 1, τz = −1/2. Ââèäó ñâîéñòâà ÿäåðíîãî ïîòåíöèàëà [44], â ÷àñòíîñòè äëÿ êâàðòåòà (S = 3/2), åäèíñòâåííûì îòëè÷íûì îò íóëÿ ìàòðè÷íûì25ýëåìåíòîì áóäåòD3/2,S 1/2,1/2χ1,1/2 z η0,1/2 |VD=+3/2,S 1/2,1/2|χ1,1/2 z η0,1/2(x)PED3/2,S3/2,Sχ1,1/2 z |P + |χ1,1/2 zE=1/2,1/21/2,1/2η0,1/2 |P + |η0,1/2E1V =1· −V.2 ôîðìóëå (1.23) ñïèí-èçîñïèíîâûå ïåðåìåííûå îòäåëåíû îò ïðîñòðàíñòâåííî-óãëîâûõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå îñòàëèñü â êîýôôèöèåíòàõ ðàçëîæåíèÿ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé â êîîðäèíàòàõ x0 ,y0 ïî ñôåðè÷åñêèì ôóíêöèÿì âêîîðäèíàòàõ x,y â ôîðìóëå (1.24).

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå êîìïîíåíòû Ôàääååâà, çàâèñÿùåé îò ïðîñòðàíñòâåííîóãëîâûõ ïåðåìåííûõ ïî áèñôåðè÷åñêîìó áàçèñó. Áèñôåðè÷åñêèé áàçèñ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äîïóñòèì, ÷òî l è λ îïåðàòîðû îðáèòàëüíîãîìîìåíòà ïàðû ÷àñòèö (äîïóñòèì 23) è îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà òðåòüåé ÷àñòèöû(äîïóñòèì 1) îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ ïàðû. Íàáîð ñîáñòâåííûõ ôóíêöèéïîëíîãî îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà L = l + λ äàåòñÿ íåïðèâîäèìûì òåíçîðíûìïðîèçâåäåíèåì äâóõ ñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé ðàçíûõ àðãóìåíòîâ [57] (còð. 141):Y{lλ}LM (x̂, ŷ) =XLMClmYlml (x̂) Yλmλ (ŷ) .l λmλ(1.28)mλ +ml =MLMÇäåñü Ylml (x̂) è Yλmλ (ŷ) ñôåðè÷åñêèå ãàðìîíèêè, Clm êîýôôèöèl λmλåíòû ÊëåáøàÃîðäàíà.

Характеристики

Список файлов диссертации