Диссертация (1149591), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Íîâûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ è ðàçëîæåíèå êîìïîíåíòû Ôàääååâààìïëèòóäû ðàçâàëà äëÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè (2.31)è (2.32).49Ãëàâà 3Ìîäåëüíàÿ çàäà÷à äàííîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ ãðàíè÷íàÿ çàäà÷à äëÿ óðàâíåíèÿ, ìîäåëèðóþùåãî s-âîëíîâîå óðàâíåíèå Ôàääååâà.  ìîäåëüíîì óðàâíåíèè èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè îðèãèíàëüíîãî óðàâíåíèÿ çàìåíåí èçâåñòíîé ôóíêöèåé,èìåþùåé òîæå àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå, ÷òî è äàííûé èíòåãðàë. Äëÿ ìîäåëüíîé çàäà÷è àñèìïòîòè÷åñêèå ôîðìóëû äëÿ àìïëèòóäíûõ ôóíêöèé, ñõîäÿùèõñÿ ê àìïëèòóäàì ðàññåÿíèÿ, ïîëó÷åíû àíàëèòè÷åñêè ìåòîäîì ôóíêöèèÃðèíà.
Èñïîëüçîâàíèå ìîäåëüíîãî óðàâíåíèÿ è äâóõ÷àñòè÷íîãî ïîòåíöèàëà,äëÿ êîòîðîãî ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ñâÿçàííîãî è ðàññåÿííûõ ñîñòîÿíèé èçâåñòíû àíàëèòè÷åñêè, ïîçâîëÿåò ðàçäåëèòü ïåðåìåííûå â èíòåãðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè äëÿ àìïëèòóäíûõ ôóíêöèé è íàéòè àñèìïòîòèêè èíòåãðàëîâ.  ðåçóëüòàòå, àñèìïòîòèêà àìïëèòóäíîé ôóíêöèè áèíàðíîãî êàíàëà ñ òî÷íîñòüþäî ÷ëåíîâ ïîðÿäêà y −3/2 âêëþ÷èòåëüíî ïîëó÷åíà àíàëèòè÷åñêè.3.1. Ìîäåëüíîå óðàâíåíèå êà÷åñòâå ïðîâåðêè ïðåäëîæåííîãî â äèññåðòàöèè àñèìïòîòè÷åñêîãîïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ êîìïîíåíòû âîëíîâîé ôóíêöèè è ðåçóëüòàòîâ ïîëó÷åííûõïðè ðåøåíèè ãðàíè÷íîé çàäà÷è ñ òàêîé àñèìïòîòèêîé, ìû ðàññìîòðèì ãðàíè÷íóþ çàäà÷ó ñ óïðîùåííûì óðàâíåíèåì, ìîäåëèðóþùèì s-âîëíîâîå óðàâíåíèåÔàääååâà (2.2).
Åñëè, äëÿ ïðîñòîòû äîïóñòèòü, ÷òî ìíîæèòåëü B = 1, òî ïðàâàÿ ÷àñòü s-âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ Ôàääååâà (J = 3/2)∂2∂2− 2 − 2 + V (x) − E U (x, y) = Q(x, y)∂x∂y(3.1)çàïèøåòñÿ â âèäåZ1Q(x, y) = −V (x)dµ−150xyU (x0 , y 0 ).00xy(3.2)Óðàâíåíèå (3.1) ñ Q(x, y) â ïðàâîé ÷àñòè îïèñûâàåò ðàññåÿíèå òð¼õ òîæäåñòâåííûõ áîçîíîâ. Ðàäèàëüíûå ÷àñòè êîîðäèíàò x0 , y 0 ñâÿçàíû ñ x, y ñîîòíîøåíèÿìè (2.2)-(2.2). Äàííûå ñîîòíîøåíèÿ ïîçâîëÿþò îöåíèòü ïîâåäåíèåàñèìïòîòèêè Q(x, y) ïðè êîíå÷íûõ çíà÷åíèÿõ x, êîðîòêîäåéñòâóþùåì ïîòåípöèàëå V (x) è y =ρ2 − x2 → ∞. S -âîëíîâîå óðàâíåíèå Ôàääååâà (3.1)ìîæíî çàïèñàòü â âèäå∂21 ∂1 ∂2− 2−−+ V (ρ cos θ) − E U (ρ, θ) = Q(ρ, θ).(3.3)∂ρρ ∂ρ ρ2 ∂θ2pÏåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ρ = x2 + y 2 → ∞ è ó÷èòûâàÿ îãðàíè÷åííîñòü âîëíîâîéôóíêöèè U (ρ, θ), ïîëó÷åì â ïðåäåëå Q(∞, θ) = 0.
Òàêèì îáðàçîì, â ïðåäåëåρ → ∞ àñèìïòîòèêà âîëíîâîé ôóíêöèè U (ρ, θ) äàåòñÿ ôîðìóëîé1 ±i√EρU (ρ, θ) = A(E, θ) √ e,ρ(3.4)÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, âåäåò ê àñèìïòîòè÷åñêîìó ïîâåäåíèþ ïðàâîé ÷àñòèQ(x, y) ∼ xV (x)O(y −3/2 ) ïðè y → ∞.(3.5)Áîëåå äåòàëüíûé àíàëèç àñèìïòîòèêè ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ(3.1) ìîæåò áûòü ïðîâåäåí íà îñíîâå ìåòîäà ôóíêöèè Ãðèíà [73]. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ïîòåíöèàë V (x) äàåò åäèíñòâåííóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ ñâÿçàííîãîñîñòîÿíèÿ ϕ(x) ñ ýíåðãèåé ε äèñêðåòíîãî ñïåêòðà, ôóíêöèÿ Ãðèíà äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è ïðåäñòàâëÿåòñÿ ôîðìóëîé [74]sin qy< 2−G(x, y; x0 , y 0 ) = −ϕ(x)ϕ(x0 )eiqy>qπ∞Zϕ(k, x)ϕ(k, x0 )eiq(k)y>sin (q(k)y< )dkq(k)0ãäå q =√(3.6)√E − ε, q(k) = E − k 2 . Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ äâóõ÷àñòè÷íîãî ðàññåÿíèÿ ϕ(k, x) = sin (kx + δ(k)), ïðè x → ∞.
Ðåøåíèå ìîäåëüíîãî íåîäíîðîäíîãîóðàâíåíèÿ (3.1), ò.å. àíàëîã êîìïîíåíòû Ôàääååâà, ÿâëåòñÿ ñóììîé îáùåãî ðåøåíèÿ ϕ(x) sin qy îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ è ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî.51Òàêèì îáðàçîì, èñêîìîå ðåøåíèå äàåòñÿ ôîðìóëîéZy∞ZU (x, y) = ϕ(x) sin qy + dy 00dx0 G(x, y; x0 , y 0 )Q(x0 , y 0 ).(3.7)0Èññëåäîâàíèå àñèìïòîòèêè äàííîãî ðåøåíèÿ ïðè y → ∞ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòüàñèìïòîòèêó àìïëèòóäíîé ôóíêöèè áèíàðíîãî êàíàëà, êîòîðàÿ â ïðåäåëå ðàâíà áèíàðíîé àìïëèòóäå a0 (q). Àíàëîãè÷íî èññëåäóåòñÿ àìïëèòóäíàÿ ôóíêöèÿäëÿ êàíàëà ðàçâàëà. Áèíàðíàÿ àìïëèòóäíàÿ ôóíêöèÿ ñâÿçàíà ñ ïåðâûì ñëàãàåìûì ôóíêöèè Ãðèíà (3.6), ñîîòâåòñòâóþùèì áèíàðíîìó êàíàëó, à àìïëèòóäàðàçâàëà ñî âòîðûì ñëàãàåìûì, êàíàëîì ðàçâàëà. Èíòåãðèðóeìîñòü ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â ïðàâîé ÷àñòè (3.7) îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåäåíèåì Q(x, y)(3.5) ïðè y → ∞ è êîðîòêîäåéñòâóþùèì ïîòåíöèàëîì V (x).
 ÿâíîì âèäå,âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ áèíàðíîãî êàíàëà äàåòñÿ ïàäàþùåé âîëíîé è ñóììîé äâóõèíòåãðàëîâZysin qy 0 0dyqU (x, y) = ϕ(x) sin qy − ϕ(x)eiqybin0−ϕ(x)∞Zsin qyq0eiqy dy 0y∞Z0∞Zϕ(x0 )Q(x0 , y 0 )dx0(3.8)ϕ(x0 )Q(x0 , y 0 )dx0 ,0òîãäà êàê âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ êàíàëà ðàçâàëà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áîëåå ñëîæíûé îáúåêòUbreakup2(x, y) = −π−2π∞ZZydkϕ(k, x)eiq(k)y0∞Z00 sin q(k)ydyq(k)0dkϕ(k, x)sin q(k)yq(k)∞Zy0dy 0 eiq(k)y0∞Z0∞Zϕ(k, x0 )Q(x0 , y 0 )dx0ϕ(k, x0 )Q(x0 , y 0 )dx0 .0(3.9)3.2.
Àìïëèòóäû è àìïëèòóäíûå ôóíêöèèÀñèìïòîòèêè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â (3.8-3.9) ïðè y → ∞ îïðåäåëÿþò ñîîòâåòñòâåííî àñèìïòîòèêè àìïëèòóäíûõ ôóíêöèé áèíàðíîãî êàíàëà è êàíàëà52ðàçâàëà. Âòîðûå èíòåãðàëû â äàííûõ ôîðìóëàõ óáûâàþò ïðè y → ∞ è â ïðåäåëå èñ÷åçàþò ñîâñåì [74]. Àìïëèòóäíàÿ ôóíêöèÿ áèíàðíîãî êàíàëà äàåòñÿôîðìóëîéZya0 (q, y) = −1sin qy 0 dy 0q0∞Zϕ(x0 )Q(x0 , y 0 )dx0 .(3.10)0Àìïëèòóäíàÿ ôóíêöèÿ êàíàëà ðàçâàëà è, êàê ñëåäñòâèå, àìïëèòóäà ðàçâàëàìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ïåðâîãî èíòåãðàëà â (3.9), à èìåííî√2−πZEZydkϕ(k, x)eiq(k)y0sin q(k)y 0dy 0q(k)0∞Zϕ(k, x0 )Q(x0 , y 0 )dx0 .(3.11)0Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî äàííûé èíòåãðàë ïî ýíåðãèè èìååò âåðõíèì ïðåäåëîì√√E , à îñòàâøèéñÿ èíòåãðàë îò E äî ∞ ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò ïðè y →∞.Ãëàâíûé ÷ëåí àñèìïòîòèêè èíòåãðàëà ïî ýíåðãèè (3.11) ïðè y → ∞,x → ∞ è ïîñòîÿííûì y/x ìîæíî ïîëó÷èòü ìåòîäîì ñòàöèîíàðíîé ôàçû [75].Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ϕ(k, x) = sin (kx + δ(k)) ïðè x → ∞, è äåëàÿ çàìåíó ïåðåìåííîé k =√E cos α, äàííûé èíòåãðàë ïðèâîäèòñÿ ê âèäó2√−Eππ/2Z0√√√i E sin αρ sin θsin α sin [ Eρ cos α cos θ + δ( E cos α)]edα∞Zdy0 sin q(k)y0∞Zq(k)0(3.12)ϕ(k, x0 )Q(x0 , y 0 )dx0 .0Ïîëó÷åííûé èíòåãðàë âêëþ÷àåò âêëàäû îò äâóõ ýêñïîíåíò:√√exp ±i[ Eρ cos (α ± θ) + δ( E cos α)].Èíòåãðàë îò ýêñïîíåíòû ñ ïîëîæèòåëüíûì ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè èìååò íåâûðîæäåííóþ ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó α = θ è èìååò àñèìïòîòèêó ïîðÿäêà O(ρ−1/2 ).Âòîðîé èíòåãðàë èìååò âêëàäû òîëüêî îò ãðàíè÷íûõ òî÷åê α = 0 è α = π/2.Äàííûå âêëàäû ðàâíû íóëþ: α = 0 âåäåò ê sin α = 0, à α = π/2 ïðèâîäèò ê53√sin ( E cos αx + π) = 0.
 èòîãå, àñèìïòîòèêà èíòåãðàëà (3.11) ïðè ρ → ∞áóäåò√A(θ, E) ei Eρ√ + O(ρ−3/2 ),1/4ρE(3.13)ãäå àìïëèòóäà ðàçâàëà A(θ, E) äàåòñÿ ôîðìóëîéA(θ, E, y) =− ei[δ(√r Zy∞Z √√2E cos θ)+π/4]sin [( E sin θ)y 0 ]dy 0 ϕ( E cos θ, x0 )Q(x0 , y 0 )dx0 ,π00(3.14)ïðè y → ∞. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëó÷åííûå ôîðìóëû (3.10) è (3.14) âåðíû è â ñëó÷àå s-âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ Ôàääååâà, åñëè â êà÷åñòâå Q(x, y) âçÿòü èñõîäíûéèíòåãðàë (3.2). Òàêèì îáðàçîì, àñèìïòîòèêà âîëíîâîé ôóíêöèè U (x, y) ïðèρ → ∞ (è y → ∞) áóäåò ñîâïàäàòü ñ àñèìïòîòèêîé êîìïîíåíòû Ôàääååâà√exp (i Eρ)ϕ(x) [sin (qy) + a0 (q) exp (iqy)] + A(θ, E)ïðè ρ → ∞.
(3.15)√ρ3.3. Àñèìïòîòèêè àìïëèòóäíûõ ôóíêöèéÀíàëèç àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ àìïëèòóä ðàññåÿíèÿ (3.10) è (3.14)ïðè y → ∞ ìîæåò áûòü ïðîâåäåí, åñëè ôóíêöèÿ Q(x, y) èçâåñòíà ÿâíî. Ïðèýòîì, ÷òîáû ìîäåëèðîâàòü ïîâåäåíèå ïðàâîé ÷àñòè s-âîëíîâîãî óðàâíåíèÿÔàääååâà, Q(x, y) äîëæíà âåñòè ñåáÿ êàê ∼ O(y −3/2 ) ïðè y → ∞ [ñì. (3.5)]. ðàáîòå [50] áûëà ïðåäëîæåíà ôóíêöèÿ Q(x, y) â âèäåQ(x, y) = −cV (x)√xy exp (i Ey)5/2(3.16),(y + y0 )√ãäå c, y0 îòëè÷íûå îò íóëÿ ïîñòîÿííûå.
Ýêñïîíåíòà exp (i Ey) â äàííîéôîðìóëå ñîîòâåòñòâóåò ðàçâàëüíîé êîìïîíåíòå àñèìïòîòèêè (3.15), ò.å. ïîçâîëÿåò ìîäåëèðîâàòü âêëàä â àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ îò ðàçâàëüíîé êîìïîíåíòû àñèìïòîòèêè. Íåñîìíåííûì äîñòîèíñòâîì ôóíêöèè äàííîãî âèäà ÿâëÿ54åòñÿ âîçìîæíîñòü ÿâíîãî ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ â âû÷èñëÿåìûõ èíòåãðàëàõ (3.10) è èõ ñõîäèìîñòü. êà÷åñòâå äâóõ÷àñòè÷íîãî ïîòåíöèàëà V (x) èñïîëüçóåòñÿ ïîòåíöèàë Áàðãìàííà [50]e−λxλ + 2κ,β=(3.17)2λ − 2κ(1 + βe−λx )c ïàðàìåòðàìè, îáåñïå÷èâàþùèìè åäèíñòâåííîå êâàäðàòè÷íî-èíòåãðèðóåìîåV (x) = −2βλ2íà ïîëóîñè ðåøåíèå äâóõ÷àñòè÷íîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ ýíåðãèåéε=−~2 2κ = −2.224391 MeV.2m(3.18)Ïàðàìåòðû â ïðåäûäóùèõ ôîðìóëàõ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ðàâåíñòâàìè:~2= 41.47 MeV fm2 κ = 0.2316 fm−1 λ = 0.7 fm−1 .2m(3.19)Äëÿ äàííîãî ïîòåíöèàëà, âîëíîâûå ôóíêöèè äèñêðåòíîãî ϕ(x) è íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ϕ(k, x) òàêæå èçâåñòíû ÿâíî è ïðèâîäÿòñÿ â ðàáîòå [50].Èñïîëüçîâàíèå ôóíêöèè (3.16) ñ êîíñòàíòîé c = 1 â èíòåãðàëàõ (3.10)è (3.14), ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêèå àñèìïòîòèêè àìïëèòóäíûõ ôóíêöèé.
Èññëåäîâàíèå àñèìïòîòè÷åñêèõ ñâîéñòâ àìïëèòóäíîé ôóíêöèè áèíàðíîãî êàíàëà êàê ôóíêöèé âåðõíåãî ïðåäåëà ïî ïåðåìåííîé y ñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåíèþ ðàçíîñòè äâóõ èíòåãðàëîâ:y√√ZZy0000Ix y exp (i( E + q)y )0 y exp (i( E − q)y ) −.a0 (q, y) =dy 0dy2iq(y 0 + y0 )5/2(y 0 + y0 )5/200(3.20)Çäåñü ïîä Ix ïîíèìàåòñÿ èíòåãðàë∞ZIx = −xϕ(x)V (x)dx,0êîòîðûé àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ ââèäó êîðîòêîäåéñòâóþùåãî ýêñïîíåíöèàëüíî55çàòóõàþùåãî ïîòåíöèàëà (3.17). ÈíòåãðàëZyy 0 exp (ipy 0 )dy(y 0 + y0 )5/20(3.21)0ïîñëåäîâàòåëüíûì èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì ìîæåò áûòü ïðèâåäåí ê âèäóZy00yexp(ipy)422y0dy 0= √ − exp ipy−05/21/23 y0(y + y0 )(y + y0 )3(y + y0 )3/20Zy04 √4ipy0 exp ipy4 20 exp (ipy )dy− ip y0 ++(2ip+yp).0333(y + y0 )1/2(y 0 + y0 )1/2(3.22)0Îñòàâøèéñÿ èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè è âûðàæàåòñÿ ÷åðåç èíòåãðàëû Ôðåíåëÿ C(x) è S(x) [76] êàêZy0r h p0exp(ipy)2π√0dy=cos py0 C( p(y + y0 )) − C( py0 ) +p(y 0 + y0 )1/2i p√sin py0 S( p(y + y0 )) − S( py0 ) +r h p2π√icos py0 S( p(y + y0 )) − S( py0 ) −pi p√sin py0 C( p(y + y0 )) − C( py0 ) .(3.23)Ñ ó÷åòîì âñåõ ïðèâåäåííûõ âûøå ôîðìóë, èñõîäíûé èíòåãðàë (3.21) ïðèy → ∞ èìååò àñèìïòîòèêóC(p, y0 ) −1 i exp ipy+ O((y + y0 )−5/2 ),3/2p (y + y0 )(3.24)ãäå C(p, y0 ) - êîìïëåêñíàÿ êîíñòàíòà.
Àñèìïòîòèêà àìïëèòóäíîé ôóíêöèèáèíàðíîãî êàíàëà (3.10) äàåòñÿ ôîðìóëîé√iexp i( E + q)ya− √( E + q) (y + y0 )3/2!√iexp i( E − q)y+ O((y + y0 )−5/2 ) ,+ √3/2( E − q) (y + y0 )Ixa0 (q, y) =2iq(3.25)ãäå a - êîìïëåêñíàÿ êîíñòàíòà. Îòíîøåíèå (aIx )/(2iq) ÿâëÿåòñÿ áèíàðíîéàìïëèòóäîé.
Òàêèì îáðàçîì, èñêîìàÿ àìïëèòóäíàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò56èç ñåáÿ ñóììó êîíñòàíòû è äâóõ îñöèëëèðóþùèõ, çàòóõàþùèõ ñëàãàåìûõ.Ïîëíîñòüþ àñèìïòîòèêà âîëíîâîé ôóíêöèè îòâå÷àþùåé áèíàðíîìó êàíàëóáóäåò âêëþ÷àòü âòîðîé èíòåãðàë â (3.8), óáûâàþùèé êàê y −3/2 :Ix eiqy2iq!√√iexp i( E + q)yiexp i( E − q)y√− √+ O((y + y0 )−5/2 ) .3/23/2( E + q) (y + y0 )( E + q) (y + y0 )(3.26) èòîãå, âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ áèíàðíîãî êàíàëà áóäåò èìåòü âèäUbin (x, y) =Ix iqye2iq!√2qexp i( E − q)ya++ O((y + y0 )−5/2 ) .23/2(E − q ) (y + y0 )(3.27)Àñèìïòîòèêà àìïëèòóäíîé ôóíêöèè êàíàëà ðàçâàëà ïîëó÷àåòñÿ àíàëîãè÷íî ââèäó ñõîäíîé ñòðóêòóðû ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
