Диссертация (1145383), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Были исследованы различные приближения к точных уравнениям и установлено, какие характеристикисистемы лучше всего описываются в том или ином приближении.При исследовании резонансных состояний 0+ ядра атома углерода12C основное внимание было уделено двум вопросам: сравнению в одинаковых условиях различных потенциальных моделей и определению характеристик возможных широких резонансов. Показано, что даже при совпадении низкоэнергетиче175ских характеристик в разных моделях, положения (и само наличие) широкихрезонансных состояний может существенно различаться.
Обсуждается возможный механизм распада широких резонансов.176Глава 5Рассеяние в системах нескольких частиц5.1. ВведениеВ данной главе метод расщепления потенциала применяется для расчётовпроцессов рассеяния в нескольких системах. Вначале рассматривается простаядвухчастичная ядерная система, имеющая непосредственное отношение к ядру углерода, рассмотренному в предыдущей главе. Затем подробно исследуетсямодель Темкина-Поэта для атома водорода и некоторых ионов.
На примере рассеяния электрона на атоме водорода и на ионе гелия анализируется метод расщепления потенциала и возможность использовать в расчётах только главноеуравнение метода. В конце главы приведены некоторые результаты по рассеянию позитрона на водороде и на ионе гелия.Результаты, приведённые в данной главе, опубликованы в работах [58–62,64–66].5.2. Двухчастичная модель -рассеянияВ качестве первого и наиболее простого примера, рассмотрим двухчастичную модель -рассеяния. Для численного решения задачи (1.52) используетсякомбинация метода конечных элементов и представления дискретных переменных [121].
Как и в обычном МКЭ, интервал решения задачи разбивается нанекоторое количество отрезков. На каждом из этих отрезков используется разложение по полиномам Лобатто с численным интегрированием [270]. В такомпредставлении, матричные элементы локальных операторов (например, локальных потенциалов) диагональны по отношению к базисным функциям, что существенно ускоряет вычисление. С точки зрения МКЭ, такое разложение представляет собой один из возможных эквивалентных выборов полиномиального177базиса, а интегрирование по Лобатто – выбор неконфомного МКЭ.В качестве внешнего комплексного вращения было выбрано “острое” внешнее вращение (1.35).
Важно отметить, что в применении метода комплексныхвращений для решения задач рассеяния угол вращения Θ может быть произвольным. Этим решение задачи рассеяния отличается от задачи поиска резонансов, где существует минимальный угол для каждого резонансного состояния,гарантирующий его присутствие в спектре преобразованного гамильтониана всоответствии с теоремой 1.Для того, чтобы наложить граничное условие на бесконечности в (1.52) врамках численной схемы, вводится максимальный радиус max > , на которомΨ (, max ) = 0. Значение радиуса max должно быть существенно больше ,так чтобы волновая функция гарантированно обратилась в нуль на интервале[, max ].В двухчастичной одноканальной модели -рассеяния потенциал взаимодействия является суммой парных кулоновского () и ядерного () взаимодействий.
Кулоновский потенциал для -частиц, находящихся на расстоянии ,задается как42 () =,2 = 1.44 МэВ · фм.(5.1)Для описания парного -взаимодействия используется вариант -зависимыхфеноменологических потенциалов Али-Бодмера [252], в каждой -ой волне имеющих вид() ()=(︀()()1 − /1)︀2+(︀()()2 − /2)︀2(5.2).Эти потенциалы подобраны по фазе -рассеяния. Приведённые здесь расчёты проведены с ядерным потенциалом работы [254], в которой используется слегка изменённая версия - и -компонент варианта “a” потенциала АлиБодмера [252], причём -компонента модифицирована так, чтобы воспроизводилась энергия основного резонансного состояния 8 Be.
Параметры этого по()тенциала таковы: 1()= 125 МэВ, 1178()= 20 МэВ, 1()= 1= 1.53 фм,()2()= 2()()= −30.18 МэВ, 2 = 2 = 2.85 фм. Масса альфа-частицы в расчётах принята такой, что ~2 /=10.44 МэВ·фм2 . Для выбранных параметровпотенциала, энергия имеющегося в системе резонансного состояния 8 Be равна0.0927 МэВ.1000012008000cross section8006000400400000,09200,09240,09280,0932E200000,00,10,20,30,4EРис. 5.1. Сечение -рассеяния в произвольных единицах как функция энергии рассеяния [МэВ].Для иллюстрации резонансного характера рассеяния в этой системе, нарисунке 5.1 приведено парциальное сечение рассеяния для ℓ = 0, а на рисунке 5.2 – фаза рассеяния, вычисленные с помощью решения уравнения (1.52).В окрестности энергии, равной энергии резонанса, наблюдается существенноеизменение сечения и фазы рассеяния.
В рассматриваемом примере отсутствуетпик в сечении в окрестности резонанса. Это связано с тем, что фоновая (в данном случае кулоновская) амплитуда не является малой, и поведение сеченияопределяется интерференцией кулоновской и ядерной амплитуд. Осцилляциив сечении с нарастающими при уменьшении энергии частотой и амплитудойвозникают из-за кулоновского взаимодействия на больших расстояниях между-частицами.
Такие осцилляции при малых энергиях присутствуют в любойдвухчастичной системе с кулоновским взаимодействием. Полная фаза рассеяния обладает более регулярным поведением. Она неограниченно возрастает при179энергии, стремящейся к нулю, и изменяется на в окрестности резонанса.
Вбольшом масштабе ее изменение выглядит как скачок, однако более внимательное рассмотрение (см. вставку на рисунке 5.2) показывает, что фаза увеличивается на при увеличении энергии на величину, сопоставимую с ширинойрезонансного состояния.5434232110,09250,09260,09270,09280,0929E00,000,050,100,150,200,250,300,350,40EРис. 5.2. Фаза -рассеяния как функция энергии рассеяния [МэВ].На рисунке 5.3 изображён квадрат модуля волновой функции рассеяниядля нескольких энергий в окрестности резонанса. При приближении к резонансной энергии амплитуда максимума функции резко возрастает. Изменение энергии рассеяния в окрестности резонанса приводит к примерно одинаковым распределениям квадрата модуля волновой функции, по крайней мере при небольших расстояниях и в окрестности максимума.
Необходимо также отметить, чтоволновая функция не обязательно мала на радиусе обрезания = , значениекоторого в расчётах выбрано равным = 20 фм. Это, однако, никак не препятствует применению обсуждаемого подхода, поскольку необходимо только,чтобы на радиусе обрезания был мал короткодействующий потенциал ().В силу простоты рассматриваемой системы, удобно проиллюстрироватьна её примере точность и сходимость выбранного численного метода.
На рисун180610510410310210110010-110010203040rРис. 5.3. Квадрат модуля волновой функции для -рассеяния как функция координаты [фм]. Энергии рассеяния равны = 0.0927 МэВ (сплошная линия), = 0.0926 МэВ(штриховая линия), = 0.0928 МэВ (пунктирная линия), = 0.092 МэВ (штрих-пунктирнаялиния).ке 5.4 (a) приведена зависимость относительной погрешности сечения рассеянияΔ = | calc − exact |/ exact от числа конечных элементов порядка = 5 длянескольких значений энергии. Мы видим, что начиная с некоторого небольшого значения , погрешность Δ убывает степенным образом, что соответствуеттеоретическим оценкам для метода конечных элементов (2.32), где погрешностьдля одномерного МКЭ асимптотически ведёт себя как ∼ −−1 . Нужно отметить, что хотя погрешность для резонансной энергии убывает по тому же закону, ее абсолютное значение существенно больше, чем для нерезонансных энергий.
Такая ситуация возникает из-за чрезвычайно малой ширины резонанса(3 эВ). До тех пор, пока численная схема не обеспечивает вычисления положения резонанса с точностью, сопоставимой с его шириной, отсутствие резонансного поведения амплитуды приводит к большой вычислительной ошибке.На рисунке 5.4 (b) приведена зависимость относительной погрешностисечения от порядка конечных элементов для =90 элементов на всем интер181E=0.0927010E=1-110E=1E=0.1E=0.0927E=0.1-210-310-4-510-71010-610-9-81010-1110-1010-1310-121010100123N4567p(a)(b)Рис. 5.4.
Относительная точность Δ при вычислении сечения рассеяния как функция числа(a) и порядка (b) конечных элементов для энергий рассеяния = 0.0927 МэВ (сплошнаялиния), = 0.1 МэВ (штриховая линия), = 1.0 МэВ (пунктирная линия).вале. Здесь также обнаруживается хорошее соответствие вычисленной погрешности её теоретическому поведению, в данном случае близкому к линейному.Погрешность для вычислений при резонансной энергии здесь также больше поуказанным выше причинам.5.3. Рассеяние электрона на водороде и наводородоподобных ионах5.3.1.
Постановка задачиРассеяние электрона на водороде и водородоподобных ионах является одной из фундаментальных проблем квантовой механики нескольких частиц. Содной стороны, эти реакции сравнительно просты, и имеется хорошее понимание всех вовлечённых в них физических процессов. С другой стороны, их динамика является нетривиальной, включает асимптотическое кулоновское взаимодействие, а также процессы возбуждения, перестройки и развала. При разработке методов исследования более сложных систем, такие реакции являются182полигоном, на котором эти методы должны быть тщательно протестированы.Уже имеющиеся в наличии теоретические расчёты и экспериментальные данные (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
