Диссертация (1145383), страница 28
Текст из файла (страница 28)
работы [102, 271] и приведённые в них ссылки) позволяют провеститакие тесты с хорошей точностью и достоверностью.Для удобства обсуждения, выпишем здесь гамильтониан именно для данной системы. В атомных единицах он имеет вид:111 = − Δr1 − Δr2 −−+.22|r1 | |r2 | |r1 − r2 |(5.3)Здесь r1 , r2 – радиус-векторы электронов, – заряд ядра, масса ядра предполагается бесконечной. Для бесконечной массы ядра, координаты r1 , r2 совпадаютс обычными координатами Якоби x̃, ỹ. Далее будут использоваться обозначения r1 , r2 , как общепринятые.
Уравнение для этого гамильтониана являетсяуравнением Шредингера (1.7), так что оно может быть исследовано развитыми в данной работе методами. Так как уравнения рассеяния для различныхполных угловых моментов независимы, они могут быть решены также независимо. В данной работе будет рассмотрено только рассеяние с нулевым полныммоментом.Проекция 0 гамильтониана (5.3) на подпространство нулевого полногоуглового момента определяется соотношением (1.29) в случае = 0:(5.4)0 = + (1 , 2 , ).Здесь кинетическая энергия задаётся как1 2=−−2 12(︂11+212 222)︂ (︂2+cot2)︂1 2−,2 22(5.5)где = |r |, = 1, 2, а – угол между векторами r1 и r2 . Для представления кинетической энергии в таком виде сделана стандартная замена волновой функции Ψ(1 , 2 ) на Ψ(1 , 2 )/(1 2 ).
Такой выбор совпадает со стандартным в данной предметной области. Для волной функции, переопределённой таким образом, необходимо добавить дополнительное граничное условие183Ψ(1 , 0) = Ψ(0, 2 ) = 0, гарантирующее конечность исходной волновой функциипри нулевых значениях координат. Полный потенциал (1 , 2 , ) записываетсяв виде (1 , 2 , ) = −− + 12 (1 , 2 , ),1 2(5.6)где электрон-электронное взаимодействие12 (1 , 2 , ) =11= √︀ 2.|r1 − r2 |1 + 22 − 21 2 cos Поскольку электроны являются тождественными фермионами, волноваяфункция должна обладать определённой симметрией при их перестановке.
Симметризованная волновая функция Ψ определяется как Ψ = Ψ, где оператор симметризации задаётся стандартным образом1 = √ (1 + (−1) 12 ).2(5.7)Здесь значения =0 и =1 отвечают синглетному и триплетному состояниям,а оператор 12 переставляет электроны 1 и 2. Так как оператор симметризации12 коммутирует с гамильтонианом 0 , симметризованная волновая функцияудовлетворяет тому же самому уравнению Шредингера (0 − )Ψ = 0. Таким образом, все преобразования уравнения можно осуществлять в несимметризованном виде, а затем применить оператор симметризации к полученнымуравнениям.Само по себе уравнение (5.4) не содержит никаких упрощений и приближений: оно является первым из системы несвязанных уравнений для различныхполных угловых моментов.
Результаты его исследования приведены в разделе 5.3.3.5.3.2. Модель Темкина-ПоэтаВ данном разделе будет рассмотрена модель Темкина-Поэта [272, 273] (ТПмодель) рассеяния электрона на атоме водорода и одноэлектронном ионе. В184этой модели предполагается, что каждая электрон-ядерная подсистема обладает только нулевым моментом. Несмотря на такое упрощение, эта модель сохраняет многие существенные свойства и сложности исходной задачи, позволяя исследовать их с меньшими вычислительными затратами.
Для ТП-модели рассеяния электрона на водороде, имеется обширная литература (см. например [97, 274]), и доступны прецизионные референсные расчёты [102, 104].Вычисления процессов рассеяния в системе e-He+ для ТП-модели представлены меньше.
Тем не менее, можно назвать результаты, полученные CCC-методом [275–277], методом R-матрицы [275, 276, 278] и с помощью решения временного уравнения Шредингера [279].При проецировании уравнения (5.4) на -волновые состояния электронов,кинетическая энергия записывается в виде1 21 2=−−.2 12 2 22(5.8)Электрон-ядерные взаимодействия не изменяются, а электрон-электронное взаимодействие приобретает вид12 (1 , 2 ) = 1/ max {1 , 2 } = √︀2(1 + 2 )2 +√︀(1 − 2 )2.(5.9)Второе представление необходимо для применения к потенциалу внешнего комплексного вращения. Полученный модельный оператор является двумерным,что объясняет относительную простоту его численного анализа.К уравнению Шредингера с этим модельным гамильтонианом применяется метод расщепления потенциала, описанный в разделе 1.4.3.
Для удобства,приведём здесь уравнения, полученные для ТП-модели с его помощью. Решение записывается в виде суммы четырёх слагаемых, аналогичных представлению (1.75), но в котором к каждому слагаемому применён оператор симметризации (5.7): Ψ = Ψ0 + Φ0 + Ψ1 + Φ1 .185(5.10)Функции Φ , = 0, 1, удовлетворяют уравнениям[︂(︂)︂]︂ + − − + 12 (1 , 2 ) − Φ (1 , 2 )2(︂ 1)︂= − − + 12 (1 , 2 ) ( − 1 )Ψ (1 , 2 ).1(5.11)Искажённая падающая волна Ψ0 (1 , 2 ) задана явным образом:⎧⎨ ^ ( ),1 < .0 0 1Ψ0 (1 , 2 ) = (2 )⎩ 0 0 ( , 1 ) + + ( , 1 ), 1 ≥ .0 0(5.12)Здесь (2 ) – нормализованная волновая функция связанного состояния мишени с энергией , = + 2 /2, параметр Зоммерфельда = −( − 1)/ , аостальные обозначения введены в разделе 1.4.3.Функция Ψ1 определяется как решение неоднородного уравнения(︂(︂)︂)︂ − + − + 12 (1 , 2 ) (1 − ) − Ψ1 (1 , 2 )21(︂)︂11=−Ψ0 (1 , 2 )ℎ(2 − 1 )(1 − ).1 2(5.13)Из-за множителя ℎ(2 − 1 )ℎ(1 − ) правая часть уравнения (5.13) отлична отнуля только в клинообразной области 1 > , 2 > 1 .
Благодаря комбинациифункций (2 )ℎ(2 − 1 ), правая часть быстро убывает по обеим координатам1 , 2 для любого . Эта комбинация множителей приводит также к тому, чтопри увеличении , правая часть убывает как (), т.е. экспоненциально. Врезультате, эффект от поправочные слагаемые Ψ1 , Φ1 также экспоненциальноубывает с ростом , см. рисунок 5.15.Как было указано в разделе 1.4.3, уравнения (5.11, 5.13) могут быть решены с помощью метода комплексных вращений, поскольку они являются частным случаем рассмотренных там уравнений.
Наличие симметризации не разрушает возможность решения, поскольку функции в правой части уравненийостаются быстро убывающими по обеим координатам.После решения уравнений и вычисления волновой функции, необходимоопределить амплитуды рассеяния. Обозначим амплитуду рассеяния (упру186гого или возбуждения), отвечающую начальному состоянию мишени () и конечному (). Как было показано в разделе 1.4.5, амплитуды могут бытьвычислены с помощью проецирования волновой функции на двухчастичное связанное состояние (2 ).
Амплитуда находится как предел такой проекции набесконечности:Z√(︀)︀−1 ( ) = lim 2 0+ ( , 1 )2 (2 )Φ (1 , 2 ).∞1 →∞(5.14)0Симметризованное слагаемое здесь отсутствует, так как волновая функция связанного состояния экспоненциально убывает при увеличении 1 . При применении метода внешнего комплексного вращения, волновая функция находится вобласти 1 , 2 ≤ .
Это означает, что интегрирование в (5.14) должно бытьограничено интервалом 2 ∈ [0, ], и значение правой части вычислено принекотором 1 ≤ . Вычисленные таким образом амплитуды стремятся к точным значениям при → ∞. Сечения рассеяния определяются в терминахамплитуд как( ) = 4 | ( )|2 .(5.15)Сечения рассеяния могут быть также определены и другими способами.В частности, для вычисления сечений может использоваться оптическая теорема [97]Z]︀⃒[︀]︀* [︀8 = − 2 ℑm Φ (, 2 ) Φ (1 , 2 ) ⃒1 = 2 .1(5.16)0Здесь индекс может означать полное сечение, сечения возбуждения или ионизации, а – оператор проекции на соответствующие состояния [97].Ещё одна возможность вычислить амплитуды рассеяния – использоватьпредставление в терминах поверхностного интеграла [274]:[︂ ]︂Z√Φ(,)Φ(,)1212 ( ) = 2 2 12 (2 )0 ( 1 ) − 0 ( 1 ).11110(5.17)187Правая часть этого выражения должна быть вычислена при некотором 1 ≤ ,например, 1 = .ТП-модель: рассеяние электрона на водородеВ случае рассеяния электрона на водороде, = 1 и = 0.
Тогда 0 = 1,асимптотическое кулоновское взаимодействие отсутствует, и уравнение (5.11)для Φ0 совпадает с уравнениями, использованными в работах [97, 104, 274] дляисследования ТП-модели. Таким образом, полученные данные можно сравнитьс указанными результатами для проверки точности и стабильности разработанных методов.Опишем параметры использованной численной схемы.
Область в плоскости 1 , 2 разбивалась на прямоугольную сетку, образованную прямым произведением одинаковых сеток по обеим координатам. Для каждой из координат,использовались пять КЭ для малых расстояний [0-4] а.е. и четыре КЭ суммарной длины 40 а.е.
для дискретизации области за точкой комплексного вращения. Промежуточная область делилась на элементы длиной 3 а.е. Таким образом,общее количество конечных элементов и размер глобальной МКЭ матрицы зависят от радиуса комплексного вращения .
Для большинства вычислений,степень полиномов в МКЭ была выбрана равной семи. Максимальный размерматрицы, используемой в вычислениях, был равен 166464, а соответствующаястепень разрежённости – 2 · 10−4 . Значение угла комплексного вращения маловлияло на результаты и было выбрано равным Θ = 45∘ .На рисунке 5.5 показано поведение 1 и 5 синглетных сечений рассеянияв зависимости от радиуса расщепления , = .
Результаты, полученные спомощью всех представлений (5.14, 5.16, 5.17), дают сравнимую точность дляразличных каналов. Результаты, полученные с помощью представления поверхностного интеграла (5.17), демонстрируют сравнительно сильные осцилляциидля 1 состояния, в то время как для возбуждённых состояний это представление показывает такую же стабильность, как и два других. Причина такого188поведения состоит в том, что двухчастичная волновая функция 1 (2 ) не обращается в нуль для малых 2 , что приводит к интерференции с функцией канала ионизации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
