Диссертация (1145383), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В работе [260] используется потенциал вида (4.4), одинаково действующий во всех парциальных волнах.Как уже отмечалось, воспроизвести в расчётах экспериментальные значения характеристик низкоэнергетических резонансов ядра 12 C, используя толькопарные потенциалы, не удаётся.
Для решения этой проблемы, было предложено использовать дополнительный эффективный трёхчастичный потенциал. Физический смысл этого потенциала состоит в учёте эффектов взаимодействияпри малых расстояниях между -частицами, когда их внутренней структуройпренебрегать уже нельзя.
В работах [253, 254, 260] трехчастичный потенциалзадаётся функцией вида)︂12 + 22 + 32,3 (1 , 2 , 3 ) = 0 exp −3 2(︂162(4.5)где 1 , 2 , 3 – расстояния в парах частиц. В работе [261] используется потенциалвида(︁(−)/3 (1 , 2 , 3 ) = 0 1 + )︁−1,−1/2=3√︁2(12 + 22 + 32 ).(4.6)Произвол в выборе параметров трёхчастичного потенциала фиксируется требованием воспроизведения при расчётах в 3-модели нескольких экспериментальных значений характеристик низкоэнергетических состояний12C: энергии++основного состояния 0+1 и положения 02 резонанса в [254], энергии 01 в [253]и энергии 0+2 в [260] при фиксированных , энергии и среднеквадратичного+радиуса 0+1 и положения 02 в [261].Полный набор параметров потенциалов приведён в таблице 4.9.
В дальнейшем наборы потенциалов работ [254], [253], [260] и [261] будут называтьсямоделями М1, М2, М3 и М4, соответственно. В работах [254], [253] (моделиМ1, М2) масса -частицы принята такой, что ~2 /= 10.44 МэВ·фм2 , а величина 2 принята равной 1.44 МэВ·фм. В работе [260] (модель М3) ~2 /=10.5254408 МэВ·фм2 . В остальных случаях использовались физические значения. Значения перечисленных параметров также следует считать частью модели.4.4.2. Матричные элементы нецентральных потенциаловКак было показано в разделе 2.3.5, матричные элементы центральных потенциалов вычисляются просто и эффективно. Однако, вычисления матричных элементов нецентральных потенциалов типа (4.4) требует специальногорассмотрения. В этом разделе будет рассмотрен случай = 0, индекс принимает при этом единственное значение = 0.
В случае -зависимых потенциалов взаимодействие между двумя частицами пары (2,3) можно представить ввиде:^ (r) = ()| ⟩⟨ |,163(4.7)Таблица 4.9. Параметры двухчастичных и трёхчастичных потенциалов работ [253, 254, 260,261].()Модель()()()1 , МэВ 1 , фм 2 , МэВ 2 , фм , МэВМ1[254]125.01.53-30.182.8520.01.53-30.182.85М2[253]500.01.42-130.02.10320.01.42-130.02.1000-130.02.10М3[260]125.01.53-30.18-96.81.957353-18.453.315-152.22.58/31/42.85М4[261] , фм-129.031 =0.96875234.9141.54-109.7662.0944240.01.3-99.14062.0945510.01.424-134.02.09455=1.11313где r – вектор, соединяющий частицы 2 и 3, | ⟩⟨ | – оператор проектирования на состояние с относительным орбитальным моментом . Соответствующийматричный элемент определяется как2 + 1⟨ | ⟩ =2Z sin (cos ) (),(4.8)0где – угол сферической системы координат. Для нулевого момента это представление в координатах R может быть записано в виде^ (r) = ()| ⟩⟨ |,(4.9)где ⟨ | действует по координате Якоби .
Таким образом, матричные элементы00потенциала (, ) (2.25) равны (, ) = ().164Если потенциал (4.4) действует в другой паре частиц, например паре (1,3),он естественным образом задаётся в координатах Якоби R′ = (′ , ′ , ′ ), связанных с этой парой. Так как такой потенциал действует по координате ′ какинтегральный оператор, для него необходимо вычислять матричный элемент(︀0)︀,= ⟨ 0 |^ | 0 ⟩(4.10)оператора общего положения в представлении (2.20). В этом случае возникаетряд проблем: дополнительные ненулевые матричные элементы и повышеннаявычислительная сложность. Возникновение дополнительных ненулевых матричных элементов связано с тем, что величина ^ | 0 ⟩ может оказаться ненулевой в такой точке R, в которой сама функция 0 равна нулю.
Следовательно,некоторые матричные элементы функций и с разных пространственныхэлементов оказываются ненулевыми. Это обстоятельство существенно для метода конечных элементов, в котором используется очень большое количествобазисных функций и при этом получаются разреженные матрицы, но неустранимо в рамках выбранного подхода. Однако, можно существенно повысить эффективность вычисления матричного элемента (4.10), если интегрирование производить в координатах R′ :Z(︀0,)︀=′ ′ ′ ′2 ′2 ( 0 )(^ 0 ).(4.11)При таком подходе, при использовании одинаковой прямоугольной сетки точек интегрирования для вычисления (4.10) и (4.11), вычислительная сложностьоказывается меньше примерно в раз, где – количество точек интегрирования по координате , то есть примерно в 20–30 раз в реальных приложениях.Недостатком этого подхода является то, что новая область интегрирования Ω′больше не является параллелепипедом, а имеет достаточно сложную геометрическую форму, что приводит к усложнению алгоритма интегрирования.1654.4.3.
Связанные и узкие резонансные состоянияРазбиение, используемое в наших вычислениях, содержало 6 элементов покаждой из осей и , всего 36 конечных элементов. Максимальные значения и были равны 50 фм. Число точек интегрирования на элементе по каждойкоординате равно 40, при интегрировании (4.11) число точек было увеличенодо 55. Максимальная степень полиномов по координатам , составила 11.
Покоординате в силу симметрии системы брались полиномы чётных степеней до20 включительно. Максимальный размер матриц линейной системы составлял31790.Для контроля точности и эффективности метода, были рассчитаны энер+гии связанного состояния 0+1 и узких 0 резонансов для моделей М1–М4. Результаты сравнения полученных значений с результатами работ других авторовприведены в таблице 4.10. Для энергии связанного состояния 0+1 , существенноерасхождение результатов наблюдается только для модели М3.
Фаза -волнового − рассеяния, рассчитанная с использованием парного потенциала моделиМ3, совпадает с высокой точностью с результатом, приведённым авторами модели в работе [260]. Возможно, в приведённых в [260] параметрах трёхчастичногопотенциала содержится ошибка. Однако, даже несмотря на имеющееся расхождение, вычисленное значение не противоречит полученным в работе [260] вариационным оценкам нижней и верхней границ значений энергии.Также требует пояснения небольшое расхождение результатов, наблюдаемое для модели М2.
В работе [253] решались уравнения Фаддеева в конфигурационном пространстве. Компонента Фаддеева раскладывалась по бисферическому базису (^, ^). В разложении бралось конечное число парциальныхволн (, ), причём для нулевого момента = .Полезно сравнить сходимость энергии по максимальному порядку сферических гармоник max в данном расчёте и сходимость по количеству парциальныхволн в расчёте [253]. Соответствующие результаты для модели М1 приведены166Таблица 4.10.
Энергии 0+ состояний ядра 12C для моделей М1–М4. В колонках 2 и 3 приведены результаты наших расчётов: энергия и угол в методе комплексных вращений, прикотором это значение было получено. В колонке 4 приведены результаты других работ, ав последней – экспериментальные значения и результаты идентификации квантовых чисел.Вопрос означает, что соответствующее значение не было обнаружено.МодельМ1М2М3М4 − Γ/2,МэВ-6.8150.35 - 10−64.40 - 0.358.37 - 1.03-7.274-0.3193.43 - 0.03-9.4060.35 - 2·10−60.95 - 0.05-7.2740.38 - 3·10−64.08 - 0.09Θ,∘01810008018018 − Γ/2,МэВ-6.81 [254]0.38 - 10−5 [254]0.3572 - 2·10−6 [259]0.33 - ? [265]4.30 - 0.32 [265]?-7.278 [253]-0.323 [253]3.3 - ? [253]-9.300922 [260]0.36689 - 2.68·10−6?-7.2747 [261]0.3795 - 8.65·10−6? − Γ/2,МэВ [264]-7.2747 (0+1)0.379 - 8.5·10−6 (0+2)3.0 - 3 ((0+3))?-7.2747 (0+1)0.379 - 8.5·10−6 (0+2)3.0 - 3 ((0+3))-7.2747 (0+1)0.379 - 8.5·10−6 (0+2)3.0 - 3 ((0+3))-7.2747 (0+1)0.379 - 8.5·10−6 (0+2)3.0 - 3 ((0+3))в таблице 4.11.
Результаты отличаются от данных таблицы 4.10, так как дляэтого расчёта в − потенциале М1 бралась только -волна. Обращает на себявнимание большое расхождение результатов при max =0 в нашем случае (волновая функция в координатах , , зависит только от , ) и (, ) = (0, 0) в [253](компонента Фаддеева зависит только от , ). Тем самым в таком, достаточно грубом, приближении уравнение Фаддеева описывает структуру волновойфункции существенно лучше, чем уравнение Шредингера.
Лучшая точностьуравнения Фаддеева проявляется также и в несколько более быстрой сходимости результата по числу парциальных компонент.Из таблицы 4.11 видно, что наши расчёты, как любые расчёты с использо167Таблица 4.11. Сходимость по порядку сферических гармоник max в данной работе и парциальным волнам в работе [253] для модели М1 с -волной в двухчастичном потенциалеАли-Бодмера.Данная работаРабота [253] , МэВ = , МэВ0-4.85600-7.2842-7.51482-7.5724-7.55844-7.5676-7.56386-7.5658-7.56418-7.56510-7.5641ванием конформных конечных элементов, являются вариационными, т. е. приувеличении размера базиса значение энергии монотонно уменьшается.
При использовании конечно-разностной аппроксимации для уравнений Фаддеева, какв работе [253], принцип вариационности не соблюдается: промежуточные результаты могут быть меньше точного значения. Этот эффект также ответствененза часть рассогласования результатов для энергии основного состояния, приведённой в таблице 4.10 для модели М2. Так как результат работы [253] приведёндля = = 4, характер поведения погрешности, продемонстрированныйв таблице 4.11, позволяет нам заключить, что по крайней мере половина разницы между нашими результатами и результатами работы [253] обусловленанеполной сходимостью результата [253].Достигнутая в расчётах точность вычисления энергий резонансов обеспечивает совпадение наших результатов с результатами других авторов во второмтретьем знаке после запятой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
