Диссертация (1145383), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В дальнейшем используетсязначение = 3, как в работе [222].˜ с постоянной плотностью уровней уже может исРазвернутый спектр пользоваться для различных статистических тестов. Для оценки ближних корреляций между уровнями энергии, было использовано распределения расстояний между соседними энергетическими уровнями РРСУ [225, 226]. РРСУ ()– распределение интервалов ближайших соседей между двумя последовательными уровнями, нормированное на средний интервал. Спектральная жёсткость134Δ3 () [223, 226] использовалась для изучения дальних корреляций между уровнями на интервале энергий , + .
Спектральная жёсткость – это среднеквадратичное отклонение от прямой наилучшего приближения исходного неразвер˜ )}. Она задаётся соотношениемнутого набора уровней {(, 1Δ3 () = min, +Z(︁˜ − ˜ − ())︁2˜,(3.33)где – среднее количество уровней энергии при условии, что среднее расстояниемежду уровнями нормировано на 1.
Так как спектральная жёсткость зависиттолько от нескольких уровней, находящихся на интервале (, +), её значениебыло усреднено по всему исследуемому неразвернутому спектру [222].Доказано, что для классических интегрируемых систем статистика уровней в квазиклассическом пределе является Пуассоновской [225]. Тогда величиныРРСУ и Δ3 имеют вид: () = exp(−),(3.34)Δ3 () = .(3.35)15Для классических хаотических систем, Δ3 () совпадает с жёсткость Гауссоваортогонального ансамбля (ГОА) [225]:Δ3 () =1(log() − 0.0687) ,2(3.36)со стандартным отклонением ±0.11. РРСУ подчиняется распределению Вигнера:(︂)︂2exp −.(3.37) () =24Для промежуточных систем, не являющихся полностью ни хаотическими,ни интегрируемыми, Броди предложил [227] следующий вид распределения дляРРСУ:(3.38) (, ) = exp(−1+ ),где = (1 + ), = Γ1+135(︂2+1+)︂.Был произведен статистический анализ , 1 и 2 уровней.
Результатыдля 2 уровней мало отличаются от результатов для уровней других симметрий, и здесь не приведены.На рисунках 3.14 и 3.15 показаны значения спектральной жёсткости Δ3 .Для малых значений , все распределения хорошо описываются формулой (3.35)для случайного распределения уровней. С другой стороны, Δ3 является распространенной мерой для дальних корреляций в спектре, так что она интереснаименно для больших значений . Начиная со значений = 4 − 5, спектр дляпотенциала Азиза следует закону (3.36) для Гауссова ортогонального ансамбля.Анализ уровней энергий для обеих и 1 симметрий даёт похожие результаты.Нужно, однако, отметить, что статистика для 1 уровней очень точно следуетраспределению Вигнера, в то время как статистика уровней занимает промежуточное положение между распределениями Пуассона и Вигнера, хотя исущественно ближе ко второму. Результаты для потенциала Морзе качественно совпадают с результатами для потенциала Азиза.
Однако, в данном случаераспределения для уровней обеих симметрий занимают промежуточное положение, хотя распределение для 1 уровней несколько ближе к Вигнеровскому.(б)(а)Рис. 3.14. Δ3 для -уровней для различных потенциалов, дополненная распределениямиПуассона (3.35) и ГОА (3.36). 89 уровней энергии на интервале [-173.4, -109.6] см−1 включеныдля потенциала Азиза (Рис. (а)). 73 уровня энергии на интервале [-172, -110] см−1 включеныдля потенциала Морзе (Рис. (б)).Диаграммы РРСУ, приведённые на рисунках 3.16 и 3.17, построены с ис136(б)(а)Рис. 3.15. Δ3 для 1-уровней для различных потенциалов, дополненная распределениямиПуассона (3.35) и ГОА (3.36). 59 уровней энергии на интервале [-173.5, -109] см−1 включеныдля потенциала Азиза (Рис.
(а)). 49 уровней энергии на интервале [-172, -111] см−1 включеныдля потенциала Морзе (Рис. (б)).пользованием 59 уровней энергии для 1 -состояний, и 89 – для -состояний.РРСУ были аппроксимированы распределением Броди с подбором параметра , представляющего меру стохастичности системы. Представленные на гистограммах результаты позволяют сделать вывод, что для потенциала Азиза распределение расстояний отлично описывается распределением ГОА для обоихнаборов уровней, и 1 . Значения параметров оказались равными 0.92 для и 1.0 для 1 .
Для потенциала Морзе, значения параметра равны 0.37 для состояний и 0.55 для 1 состояний. Такие значения подтверждают сделанныйвыше вывод о промежуточном (между хаотическим и регулярным) характерераспределения уровней для потенциала Морзе и, соответственно, о промежуточном типе динамики системы с этим потенциалом.Был также вычислен коэффициент корреляции первого порядка (1) [224](︃(1) =∑︁)︃ (︃)︃−1∑︁[ (1) − 1 ] [+1 (1) − 1 ][ (1) − 1 ]2.(3.39)˜+1 − ˜ , а 1 – их среднееЗдесь (1) – расстояния между уровнями, (1) = значение.
Этот коэффициент равен (1) = −0, 271 для ГОА, и (1) = 0 дляпуассоновского распределения. В таблице 3.16 приведены результаты для обоихпотенциалов. Для потенциала Азиза, эти значения оказываются промежуточны137(а)(б)Рис. 3.16. Распределения расстояний между соседними энергетическими уровнями для -состояний, дополненное распределением Броди 3.38.
(а) РРСУ для потенциала Азиза (использовано 89 уровней). (б) РРСУ для потенциала Морзе (использовано 73 уровня). Параметр равен 0.92 (а) и 0.37 (б).ми между значениями для распределений Пуассона и ГОА. При уменьшениидиапазона энергий, используемого для вычисления (1), коэффициент корреляции также уменьшается и стабилизируется при значении (1) = −0.26 для -состояний. Таким образом, распределение очень точно воспроизводит ГОАраспределение.Для потенциала Морзе, значения (1) оказываются меньше значений дляГОА.
Принимая во внимание, что для набора уровней с двумя постояннымиперемежающимися интервалами (1) = −1 [224], можно ожидать, что такиезначения указывают на присутствие в данном случае некоторой регулярнойструктуры уровней. Нужно однако заметить, что точность вычисления значений (1) ниже, чем Δ3 и РРСУ, так что надёжность этой интерпретации нетакая высокая.Сравнивая полученные результаты для потенциалов Морзе и Азиза с результатами для потенциала Леннарда-Джонса [222], можно заметить зависи138(а)(б)Рис. 3.17. Распределения расстояний между соседними энергетическими уровнями для1 -состояний, дополненное распределением Броди 3.38. (а) РРСУ для потенциала Азиза(использовано 59 уровней). (б) РРСУ для потенциала Морзе (использовано 49 уровней).
Параметр равен 1.0 (а) и 0.55 (б).мость статистических характеристик уровней тримера от парных атомных взаимодействий. В то время как для потенциалов Азиза и Леннарда-Джонса распределение уровней весьма близко к распределению Вигнера, статистическиесвойства системы с потенциалом Морзе имеют промежуточный, между распределениями Вигнера и Пуассона, характер.
Таким образом, динамика системыс потенциалом Морзе представляет собой комбинацию регулярного и хаотического движений. Возможной причиной такого различия может быть поведениепотенциала на больших межатомных расстояниях, влияющее на количество иположения высоковозбужденных уровней.3.4. Выводы к третьей главеВ данной главе представлены результаты расчётов связанных состоянийдля нескольких квантовых систем. Показано, что использованный вычислитель139Таблица 3.16. Параметр Броди и коэффициент корреляции первого порядка (1) для и1 уровней.C(1)11потенциал Азиза-0.19 -0.14 0.92 1.00потенциал Морзе-0.29 -0.38 0.37 0.55ГОА-0.2711Пуассоновский ансамбль00ный подход позволяет добиться высокой точности и хорошего контроля достигнутой точности для разнообразных, весьма сложных систем.
Хотя имеющаяся втримерах дополнительная симметрия не может быть явно учтена при расчётахв координатах Якоби, она не оказывается бесполезной и выступает дополнительным, по отношению к имеющимся в рамках МКЭ, средством контроля точностивычислений.В данной главе были вычислены релятивистские и квантово-электродинамические поправки к уровням энергии и длинам волн радиационных переходовантипротонного гелия. В рамках сделанных предположений и погрешности, онипрекрасно согласуются с высокоточными экспериментами. Были также представлены результаты вычислений связанных состояний и структурных свойствтримера неона Ne3 с потенциалом Морзе и с ab initio потенциалом.
Полученыданные для энергий колебательно-вращательных состояний с положительнойи отрицательной чётностью вплоть до момента = 3. Проведённый квантовомеханический расчёт колебательно-вращательных уровней тримера аргона позволил установить связь статистического распределения уровней тримера с видом парного взаимодействия между атомами.140Глава 4Резонансные состояния некоторыхтрёхчастичных систем4.1. ВведениеКак правило, резонансные состояния системы наблюдаются в экспериментальных условиях как некоторые особенности в сечениях рассеяния. Спектр ихпроявления чрезвычайно широк и включает все разделы квантовой физики. Вслучае узких, т.е. долгоживущих, резонансных состояний определение их параметров обычно не представляет проблемы как при анализе экспериментальныхданных (см.
обзоры [21, 228] и ссылки в них), так и при теоретических расчётах. Если же ширины резонансов велики, или несколько таких состояний имеютблизкие энергии, их идентификация и расчёт становятся сложнее, и необходимо прибегать к аккуратным методам, описанным в разделе 1.3. В данной главе метод комплексных вращений будет применён к нескольким трёхчастичнымквантовомеханическим системам, будут проанализированы особенности его применения.Изложение, приведённое в данной главе, основано на результатах работ [32–35, 37, 39, 40, 43, 46, 54, 63].4.2. Двойные резонансы атома гелияПереходя к обсуждению резонансных состояний, естественно начать с верификации применяемого подхода. Таким образом, прежде всего будет рассмотрен атом гелия, для резонансных состояний которого доступны аккуратные значения, полученные разными авторами с помощью различных подходов [229–236].
Для упрощения сравнения с другими работами, масса ядра ге141лия была взята бесконечной. В таком случае, координаты Якоби совпадают собычными координатами электронов, отсчитываемыми от ядра.Для реализации комплексного вращения используется функция, введённая ранее соотношением (1.36). Исследуем вначале, как зависит точность вычислений от параметров (радиуса и кривизны ) функции () (1.36). Длятого, чтобы сделать погрешность более заметной и стабильной, рассмотрим относительно грубое конечно-элементное разбиение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
