Диссертация (1145383), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Именно, для координат и были взяты интервалы [0-50] а.е., каждая из координат была разбита на 5 эле­ментов. Количество полиномов равнялось 6 для пространственных координат,и 10 для угловой координаты. Матричные элементы вычислялись с помощью20-узловой квадратурной формулы Гаусса. Размерность матрицы линейной си­стемы для такого разбиения равнялась 3250.На рисунке 4.1 приведено типичное поведение вещественной и мнимой ча­стей энергии резонанса в гелии. Здесь можно видеть, что имеется явная связьточности и параметра кривизны : чем меньше , тем выше точность.

Этасвязь имеет естественное объяснение. Действительно, когда увеличиваетсяи стремится к бесконечности, гладкое комплексное вращение приближается кострому. Известно, что в случае острого вращения разрывными оказываютсяили волновая функция и её производные одновременно [93], или, по крайнеймере, производные [25].

Для конечных значений эти величины непрерывны(вне границ КЭ), однако характерное расстояние их существенного изменения√Δ ∼ 1/ в окрестности , в соответствии с определением (). Это означа­ет, что для достижения высокой точности аппроксимации волновой функциинеобходимо использовать КЭ с малой длиной в окрестности , или же большоеколичество базисных функций на КЭ в этой окрестности.

Нужно отметить, чтопохожее заключение было сделано в работе [94] для острого комплексного вра­√щения. Когда становится меньше, размер переходной области 1/ растёт, инеобходимость описания окрестности с повышенной точностью пропадает.C другой стороны, нужно отметить, что значение не может быть слиш­1420.00472-0.77780.00464Γ, a.u.E, a.u.-0.7776-0.7780.00448-0.7782-0.77840.10.0045610.00440.110110σσРис. 4.1. Вещественная часть (слева) и ширина Γ (справа) резонанса гелия как функциякривизны . Линии без символов, с крестами и треугольниками соответствуют значениям=0.0, 1.24 и 4.0 а.е.√ком малым. Переходная область 1/ должна быть существенно меньше, чеммаксимальный радиус области численной аппроксимации задачи, max − ≫√1/ .

Это требование означает, что выход на асимптотическое поведение () ∼ происходит уже внутри области пространства, в которой происходит числен­ная аппроксимация задачи.Из рисунка 4.1 видно, что очевидная зависимость точности от выбора зна­чения отсутствует. Единственное, что можно утверждать уверенно – наибо­лее точные результаты получаются при = 0. Интересно отметить, что даже вэтом случае, плавное комплексное вращение с относительно малым значениемкривизны даёт лучшую точность, чем однородное вращение ( = ∞).

В слу­чае изучения резонансов системы, выбор радиуса вращения зависит лишь отаналитических свойств парных потенциалов. В случае исследования процессоврассеяния, даже для потенциалов, аналитических для всех > 0, будет необхо­димо выбирать положительные значения радиуса вращения , см. следующую143главу.Для проведения окончательных расчётов, приведённые выше значения па­раметров были немного изменены. Именно, максимальные радиусы по коорди­натам и были увеличены до 70 а.е., а количество базисных функций поним было увеличено до 7. Размерность матрицы соответствующей линейнойсистемы равнялась 4530 для каждой компоненты волновой функции. Для вы­числений интегралов использовалась квадратурная формула Гаусса с 40 точка­ми. С учетом анализа влияния параметров комплексного вращения на точностьрезультатов, их значения были выбраны равными = 4 а.е., = 0.25 а.е.−2 .Для проверки сходимости представленных результатов, были вычисленыэкстраполированные по формуле (2.33) значения энергии.

Экстраполяция про­водилась по значениям 5 , 6 и 7 , вычисленным при степенях полиномов = 5, 6 и 7. Использование формулы (2.33) для вычисления именно энергий ре­зонансов имеет особенность. При численных расчётах энергия зависит от углавращения, и оператор (повернутый гамильтониан) также зависит от угла. Та­ким образом, формулу (2.33) нельзя применять для экстраполяции оптималь­ных, в смысле комплексного вариационного принципа [13],⃒ ⃒⃒=0 иΘ ⃒Θ⃒Γ ⃒⃒= 0,Θ ⃒Θ(4.1)энергий, полученных для каждого значения . Вместо этого, экстраполяцион­ная формула должна применяться для каждого фиксированного угла и разныхстепеней , а затем должно определяться оптимальное значения угла и, следо­вательно, энергии.Приведённые выше соображения проиллюстрированы на рисунке 4.2 напримере энергии 3 (1) состояния. Увеличение точности расчётов ожидаемоприводит к стабилизации зависимости энергии от угла вращения. Использова­ние экстраполяции (2.33) даёт ещё лучший результат, стабилизируя энергию вболее широком диапазоне углов.Приведённые на рисунке 4.2 и в таблицах 4.1-4.3 результаты позволяют144Рис.

4.2. Вещественные (верхние линии) и мнимые (нижние линии) части энергии 3 (1)состояния как функции угла вращения Θ. Линии с длинным пунктиром – энергии 6, линиис коротким пунктиром – 7, сплошные линии – экстраполированные энергии ext.сделать следующий вывод о возможном использовании формулы экстраполя­ции (2.33). В силу отсутствия вариационного принципа для значений энергийрезонансов, она едва ли может быть использована для улучшения точности ре­зультатов. Однако, она может эффективно применяться для контроля достиг­нутой точности.

Кроме того, соотношение (2.33) может быть использовано дляоценки оптимальных значений угла и энергии в ситуации, когда сходимость итребуемая точность ещё не достигнуты.Результаты для некоторых двойных резонансов гелия приведены в табли­цах 4.1-4.3. Можно видеть, что разность между нашими результатами и дру­гими прецизионными вычислениями [229–236] никогда не превышает 10−5 а.е.,составляя, как правило, несколько единиц 10−6 а.е. Нужно отметить, что в раз­работанном подходе абсолютная точность для вещественной и мнимой частей145энергии сопоставимы, так как при вычислениях определяется одно комплексноезначение энергии = − Γ2 . Это приводит к тому, что для узких резонансов(например, 3 (2), 1 (3), 3 (1)) относительная точность определения их ши­рин оказывается невысокой.Таблица 4.1.

Энергии и ширины [а.е.] резонансных -состояний атома гелия.ВычисленныеЭкстраполированныеДругие рез-тыEΓEΓEΓ1 (1) -0.777869 0.004535-0.777869 0.004543-0.7778676 0.0045413 1 (2) -0.621912 0.000213-0.621915 0.000213-0.6219273 0.0002156 1 (1) -0.589897 1.374 × 10−3 -0.589896 1.360 × 10−3 -0.5898947 1.362 × 10−3 1 (2) -0.548083 7.5 × 10−5-0.548084 7.5 × 10−5-0.5480855 7.48 × 10−5 3 (1) -0.602578 6.8 × 10−6-0.602578 7.0 × 10−6-0.6025775 6.65 × 10−6 3 (2) -0.559746 2.4 × 10−7-0.559747 2.8 × 10−7-0.5597466 2.6 × 10−7 1 (1) -0.353541 3.015 × 10−3 -0.353541 3.012 × 10−3 -0.3535385 3.010 × 10−3 1 (2) -0.317459 6.658 × 10−3 -0.317458 6.664 × 10−3 -0.3174578 6.660 × 10−3 1 (3) -0.257364 2.1 × 10−5-0.257364 2.1 × 10−5-0.2573716 2.11 × 10−5 Однородное комплексное вращение в периметрических координатах [230].4.3.

Резонансы ван-дер-Ваальсова комплекса NeIClСистема NeICl, рассматриваемая в данном разделе, является системой наи­более общего положения среди изучаемых в данной главе. Все частицы в нейразличны, так что какие бы ни было симметрии отсутствуют. Сравнение теоре­тических и экспериментальных данных требует учёта вращательных степенейсвободы, а рассмотрение процессов предиссоциации – исследования резонанс­ных состояний. Все эти факторы вместе делают исследование комплекса NeIClнаиболее сложным как с теоретической, так и с вычислительной точек зрения.146Таблица 4.2. Энергии и ширины [а.е.] резонансных -состояний атома гелия.ВычисленныеЭкстраполированныеEΓ-0.710500-0.760491 0.000298-0.693126 0.001370-0.580246-0.567813-0.597073 4.0 × 10−6-0.564082 3.07 × 10−4-0.547091 3.

× 10−8-0.584672 8.68 × 10−5-0.579031 2.1 × 10−6-0.548844 8. × 10−8-0.336089 4.490 × 10−3-0.291157 7.4 × 10−5-0.335628 7.027 × 10−3-0.282826 1.463 × 10−3-0.350374 2.991 × 10−3-0.309381 1.119 × 10−3Другие рез-тыEΓ-0.7105002 -0.7604924 0.0002989 -0.6931349 0.0013732 -0.58025 -0.56781 -0.5970738 3.85 × 10−6 -0.5640852 3.012 × 10−4 -0.5470927 1.05 × 10−8 -0.5846723 8.225 × 10−5 -0.5790310 1.89 × 10−6 -0.5488444 1.27 × 10−8 -0.3360879 4.489 × 10−3 -0.2911582 7.40 × 10−5 -0.3356259 7.023 × 10−3 -0.2828290 1.462 × 10−3 -0.3503777 2.987 × 10−3 -0.3093800 1.118 × 10−3 EΓ3 -0.7104993 -0.760492 0.0002981 -0.693128 0.0013731 -0.5802463 -0.5678131 (1) -0.597074 4.1 × 10−61 (2) -0.564084 3.04 × 10−41 (3) -0.547091 4.

× 10−83 (1) -0.584672 8.38 × 10−53 (2) -0.579031 2.1 × 10−63 (3) -0.548844 6. × 10−83 (1) -0.336089 4.49 × 10−33 (2) -0.291157 7.4 × 10−51 (1) -0.335628 7.027 × 10−31 (2) -0.282826 1.463 × 10−33 (1) -0.350379 2.989 × 10−33 (2) -0.309380 1.118 × 10−3Работа [231].Хиллераасовские волновые функции с однородным комплексным вращением [232].Однородное комплексное вращение в периметрических координатах [233].Однородное комплексное вращение [229].Хиллераасовские волновые функции с однородным комплексным вращением [234].Хиллераасовские волновые функции с однородным комплексным вращением [235].147Таблица 4.3.

Энергии и ширины [а.е.] резонансных -состояний атома гелия.ВычисленныеЭкстраполированныеДругие рез-тыEΓEΓEΓ1 (3) -0.701935 0.002359-0.701935 0.002359-0.7019457 0.0023622 1 (1) -0.569219 5.55 × 10−4-0.569220 5.54 × 10−4 -0.569221 5.55 × 10−4 1 (2) -0.556429 2.1 × 10−5-0.556429 2.0 × 10−5-0.5564303 2.01 × 10−5 3 (1) -0.583784 2. × 10−8-0.583784 2.

× 10−8-0.5837843 2.86 × 10−8 3 (2) -0.560686 9. × 10−6-0.560686 7.4 × 10−6-0.560687 7.5 × 10−6 1 -0.563800-0.563800-0.56380 3 -0.559328-0.559328-0.55933 1 (1) -0.343174 5.157 × 10−3-0.343175 5.157 × 10−3 -0.343173 5.155 × 10−3 1 (2) -0.315533 4.293 × 10−3-0.315533 4.291 × 10−3 -0.315534.305 × 10−3 1 (3) -0.290083 1.263 × 10−3-0.290083 1.263 × 10−3 -0.290092 1.261 × 10−3 3 -0.325331 7.25 × 10−4 -0.325329 7.25 × 10−4 -0.325331 7.25 × 10−4 1 -0.328233 3.21 × 10−4 -0.328232 3.22 × 10−4 -0.328233.21 × 10−4 3 -0.315575 2.087 × 10−3 -0.315575 2.088 × 10−3 -0.315582.09 × 10−3 Хиллераасовские волновые функции с однородным комплексным вращением [236].Однородное комплексное вращение [229].148Таблица 4.4.

Параметры двухчастичных потенциалов Морзе. Массы частиц равныNe =20.18 а.е.м., I =126.9 а.е.м. и Cl =34.97 а.е.м.. (см−1 ) (Å−1 ) (Å)Ne–I26.01.805.40Ne–Cl34.71.903.6091270.413.962.66I–ClИмеется несколько работ [196, 237–240], в которых исследовался спектрданной системы для нулевого углового момента.

Характеристики

Список файлов диссертации