Диссертация (1145383), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Аналогичное перемежающееся поведение чётности функций возникает и для случая нечётных функций в представлении нулевой компоненты.Описанное разделение имеет два важных достоинства. Во-первых, оно сокращает в два раза размер матрицы системы линейных уравнений. Во-вторых,оно существенно упрощает классификацию уровней в случае их большого количества, предоставляя симметричные и антисимметричные состояния как результаты независимых расчётов.Прежде чем переходить к детальному обсуждению отдельных систем, приведём таблицу 3.4, в которой собраны некоторые их характеристики, полученные в данной работе с указанными в таблице потенциалами.104Таблица 3.4.
Вычисленные характеристики спектра димеров и тримеров гелия, неона и аргона.АтомПотенциалгелий 4 He[206, 207][208]неон Neаргон Ar[188][209][188][210]2368ДимерКол-во уровней11Осн. состояние, см−1 -0.91 10−3 -1.17 10−3 -16.51 -16.99 -83.93-84.75ТримерКол-во уровней221925484596Осн. состояние, см−1 -87.3 10−3 -91.9 10−3 -50.10 -51.50 -252.44 -254.893.3.1. Связанные состояния тримеров гелияХотя формально тример гелия является одним из тримеров благородныхгазов, он обладает свойствами, радикально отличающимися от других тримеров. Энергия связи тример гелия очень мала, а связанные состояния с ненулевым угловым моментом отсутствуют [211].
Размер волновой функции этих тримеров чрезвычайно велик, он существенно больше, чем область межчастичноговзаимодействия. Тример гелия считается первым примером реальной физической системы, обладающей эффектом Ефимова [180–182, 212].Для физики низких температур, кластеры 4 He и 3 He представляют большой интерес, так как они являются строительными блоками для бо́льших бозонных систем, таких как сверхтекучий гелий и Бозе-Эйнштейн конденсат [213,214]. Для изучения этих систем существенной оказывается информация о межатомных взаимодействиях, которую можно получить при исследовании малыхкластеров, в особенности димера и тримера.С вычислительной точки зрения, исследование тримеров гелия осложняется двумя основными проблемами.
Первая из них – большая протяжённость105волновой функции, существенно превышающая область взаимодействия. Вторая – поведение потенциала на малых расстояниях, подобное жёсткому кору.Такое поведение создаёт проблемы при применении некоторых численных методов и может приводить в существенной погрешности в расчётах.Литература, посвящённая вычислениям свойств тримеров гелия, достаточно обширна. В работах [186, 215], с использованием уравнений Фаддееваи модели граничных условий, были вычислены энергии связанных состоянийтримеров и длина рассеяния. Уравнения Фаддеева, однако уже без использования модели граничных условий, решались в работах [187, 204].
Расчеты проводились также с уравнением Шредингера в адиабатическом гиперсферическомпредставлении [185], хотя достигнутая точность оказалась ниже. Квантовый метод Монте-Карло [189, 200] также успешно использовался для изучения малыхкластеров атомов гелия.В данном разделе приведены результаты расчётов симметричного 4 He3и асимметричного 4 He2 -3 He тримеров гелия для различных потенциалов межатомного взаимодействия [206–208]. Потенциалы используются в своём исходном виде, без наложения дополнительных граничных условий на конечном расстоянии.Оба тримера гелия, симметричный и асимметричный, обладают симметрией 2 , что позволяет учесть её при проведении расчётов. В случае тримеровгелия этот учёт означает, фактически, использование только чётных полиномовЛежандра при разложении волновой функции.
Антисимметричные и вырожденные уровни в данных тримерах отсутствуют.Для описания систем использовались три различные потенциала межатомного взаимодействия: LM2M2 [206], HFD-B [208] и TTY [207]. Известно, что потенциалы LM2M2 и TTY, несмотря на их различное происхождение, дают оченьпохожие результаты для физических наблюдаемых. Оба HFD-B и LM2M2 потенциала основаны на ab-initio результатах, хотя более ранний HFD-B потенциали приводит к завышенной энергии связи тримера. Массы атомов, использован106ные при расчетах, составляли 7296.3 а.е.
для 4 He и 5497.8 а.е. для 3 He. Значенияэнергии связи димеров гелия 4 He оказались равными −1.3083 mK для LM2M2,−1.6902 mK для HFD-B и −1.3186 mK для TTY. Волновая функция димера заметно отличается от нуля до расстояний вплоть до 1000 а.е. Другие комбинацииизотопов не обладают связанными состояниями из-за меньшей массы 3 He.Для вычислений свойств тримеров использовалось одно и то же конечноэлементное разбиение для всех потенциалов. Для симметричного тримера 4 He3 ,задача решалась на интервале [0, 88] а.е. Отрезки для координат и былиразбиты на 13 и 25 конечных элементов. Максимальная степень используемыхполиномов была равна 8 для пространственных координат, и 44 для угловой координаты.
При вычислении матричных элементов потенциала использовалиськвадратурные формулы Гаусса 35 порядка для координат и , и формулыпорядка 135 для угловой переменной. Размерность линейной системы для расчётов с такими параметрами получилась равной 121700.Для асимметричного тримера 4 He2 -3 He использовались немного другие параметры. Эта система имеет меньшую энергию связи и больший размер, так чтоинтервалы для пространственных координат должны быть увеличены.
Именно, для координат и были использованы 13 и 26 элементов на интервале[0, 600] а.е. Максимальная степень полиномов для угловой переменной былаувеличена до 48. Размерность линейной системы была равна 127114.Нужно отметить, что чем больше пространственный размер изучаемой системы, тем больше узлов требуется в квадратурной формуле Гаусса для аккуратного учёта парных корреляций атомов в системе. Угловой размер областейподдержки потенциалов в парах частиц, отвечающих двум наборам координатЯкоби, не совпадающим с выбранным для записи уравнения, также уменьшается с ростом размера системы. Следовательно, для аккуратного интегрирования матричных элементов была использована составная квадратурная формулаГаусса.
Интервал [−1, 1] косинуса угловой переменной делился на три интервала: [−1, −1 + 1/ ], [−1 + 1/, 1 − 1/ ] и [1 − 1/, 1], на каждом из которых107использовалась квадратурная формула с узлами.Расчёты со всеми тремя используемыми потенциалами приводят к схожимхарактеристикам тримеров. Асимметричный тример 4 He2 -3 He имеет энергиюсвязи, в 10 раз меньшую чем симметричный 4 He3 , а его волновая функция имеетв два раза больший размер. Другие комбинации изотопов (3 He3 , 4 He-3 He2 ) неимеют связанных состояний.В таблице 3.5 представлены вычисленные и экстраполированные характеристики основного состояния симметричного тримера гелия с LM2M2 потенциалом [206]. В таблице 3.6 приведены результаты и их экстраполяция для основных состояний обоих тримеров и их сравнение с другими расчётами.
Вычисленные здесь значения хорошо согласуются с результатами, доступными в литературе [185–187, 199, 200, 204].Таблица 3.5. Энергии [мК] и среднеквадратичные радиусы [Å] основного состояния симмет(1)ричного тримера гелия с LM2M2 потенциалом [206]. extвычислена экстраполяцией по (2.33),(2)ext – по (2.36).(1)Вычисленные(2)ext5678336505662585975121700(5,6,7)(6,7,8)ext(5,6,7)(6,7,8)Энергия -121.36 -124.41 -125.16 -125.54 -125.41 -125.93 -125.58 -126.21Радиус6.1606.1796.2006.2165.7136.308–6.3033.3.2.
Связанные состояния тримера неонаВ данном разделе представлены результаты вычислений связанных состояний и структурных свойств тримера неона Ne3 с потенциалом Морзе и с abinitio потенциалом.108Таблица 3.6. Энергии [мК] и среднеквадратичные радиусы [Å] для 42He3 (3, 3) и 42He2-32He(1)(2)вычислена экстраполяцией по (2.33), ext(3, 3) основного состояния тримеров гелия.
ext– по (2.36).(1)Пот.HFD-BЗдесь ext[215, 216] [204]-132.2 -132.5 -132.8 -133.0 -132.536.146.236.24-15.9-16.012.412.4[189]12.43-125.5 -125.9 -126.2 -126.4 -125.9-125.2 -125.536.226.246.316.30-13.2-13.313.213.26.32-13.84313.23-125.6 -126.0 -126.2 -126.4 -125.836.223 -13.0313.26.336.32-13.2-13.213.213.2[200]6.2333 -13.0TTY[187]33 -15.8LM2M2(2)ext6.27-13.6613.8-126.46.33-13.78Нулевой полный угловой момент-14.16 =0Для вычислений с нулевым моментом была использована одна и та жесетка для всех симметрий и колебательных состояний. Для обеих координат и использовалось 11 конечных элементов на интервале [0, 18] а.е. В качествебазисных функций использовались полиномы Лежандра до 6-й степени, умноженные на экспоненциально убывающую функцию.
Для угловой переменнойиспользовалось разложение по полиномам Лежандра косинуса угла степени 26для чётной и 27 для нечётной компонент. Матричные элементы потенциала были вычислены с использованием 25 гауссовых квадратурных узлов для координат и , и 45 узлов для угловой координаты. Размер матрицы для выбранных109численных параметров составил 17182.Обсудим вначале результаты для потенциала Морзе.
Полученные ранеерезультаты [188, 191, 195] не вполне согласовывались друг с другом, так чтонеобходимо проанализировать причину этих расхождений.Полный потенциал взаимодействия в системе задаётся суммой парных потенциалов Морзе [188], =∑︁(3.17)Morse ( ),<где(︁−2(− )Morse () = −(− )− 2)︁,(3.18)а межатомные расстояния выражаются в терминах обычных координат Якоби (1.27) как23 = ˜,(︀)︀1/212 = ˜2 + ˜˜ cos + ˜2 /4,(︀)︀1/213 = ˜2 − ˜˜ cos + ˜2 /4.(3.19)Параметры потенциала = 29.36 см−1 , = 2.088 Å−1 , и = 3.091 Å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
