Диссертация (1145383), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Некоторые релятивистские поправки даже в нулевой компоненте содержат тот же множитель e /¯, поскольку в их выражения входят обратные приведённые массы частиц. Таким образом, если рассматривать толькоe 0) , то можно пренебречь спин-орбитальным взаимодейпоправки порядка 2 ( ¯ствием, эффектом отдачи и взаимодействием спиновых магнитных дипольныхмоментов, и необходимо вычислить только дарвиновские слагаемые для взаимодействия электрона с ядром гелия и антипротоном, а также релятивистскиепоправки к массе.92Дарвиновские слагаемыеВыражение для дарвиновских слагаемых имеет вид [170]: Dar2=2(︃ (︃211+2e 2He++)︃(︂⟨(r23 )⟩ −11+2¯ 2e)︃)︂⟨(r12 )⟩2≈(2⟨(r23 )⟩ − ⟨(r12 )⟩) .22e(3.5)Слагаемое, аналогичное выписанным и отвечающее взаимодействию антипротона и ядра гелия, здесь отброшено, так как оно имеет порядок малости помассам (e /¯)2 .
Средние значения -функций в использованных координатахЯкоби имеют вид:1⟨(r23 )⟩ = ⟨()⟩ =4⟨(r12 )⟩ =24∞Z0∞ZZ⃒⃒2⃒ , 2 sin ⃒Ψ(,=0,)00(3.6)0⃒⃒2(︂)︂⃒⃒e⃒ . 2 ⃒⃒Ψ(,=1+,=0)0⃒He++(3.7)Релятивистские поправки к массеРелятивистские поправки к массе (РПМ) выражаются в терминах среднихзначений оператора четвёртой степени импульса p4 [170]. Выразим эти значения в терминах координат Якоби. Перепишем уравнение (1.22) для нулевойкомпоненты Ψ+0 полной волновой функции в виде(︂)︂11+−Δ −Δ + tot Ψ+0 = Ψ0 ,22321,23где = cos и−Δ−Δ tot1 21 = − − 2 (1 − 2 ) ,2 1 21 2 = −−(1−) , 2 2 1( + 1)= coul (, , ) +.2¯,eHe++293(3.8)Так как p4 =(−Δ)2 , РПМ могут быть выражены в терминах −Δ и −Δ ,(RMC)=+ 4+2 ⟨Ψ0 |p |Ψ0 ⟩−83=++2 ⟨ΔΨ0 |ΔΨ0 ⟩−83(3.9)для обеих координат и с соответствующими приведёнными массами eHe++и ¯,eHe++ .Поправка (RMC) для координаты не может быть аккуратно вычисленанепосредственно по формуле (3.9) из-за искусственной расходимости ∼ 1/4 внуле.
В то же время, вычисление поправки для координаты возможно благодаря быстрому убыванию волновой функции системы при → 0. Вычислениепоправки для координаты осуществляется с использованием метода, предложенного в работе [2]. Возведём уравнение (3.8) в квадрат и выразим слагаемое⟨Δ Ψ0 |Δ Ψ0 ⟩:+++⟨Δ Ψ+⟨Δ Ψ+⟨Δ Ψ+0 |Δ Ψ0 ⟩0 |Δ Ψ0 ⟩0 |Δ Ψ0 ⟩tot+ 2= |( − )Ψ0 | −.−(2eHe++ )22¯,eHe++ eHe++(2¯,eHe++ )2(3.10)Правая часть этого уравнения не содержит никаких расходимостей, так какформальная особенность во втором слагаемом компенсируется якобианом 2 2 .Следовательно, данное представление может быть использовано для точноговычисления РПМ для координаты .Выпишем для удобства обозначений окончательное выражение для релятиe 0вистских поправок порядка 2 ( ) к уровням энергии в антипротонном гелии:¯(rel)Δ = 2⟨⃒ 4⃒⟩⃒⃒p⃒Ψ++ (2(r23 ) − (r12 ))⃒⃒ Ψ+,0 ⃒−082(3.11)где масса электрона снова положена равной единице, а отдельные слагаемыевычисляются по формулам, приведённым выше.Значения релятивистских поправок к уровням энергии(rel)На рисунке 3.4 отдельно показан вклад релятивистских поправок в Δв зависимости от значения полного углового момента .
Легко проследить94сильный компенсационный эффект: итоговая релятивистская поправка примерно в 5 раз меньше, чем каждое слагаемое по отдельности. Для длин волнрадиационных переходов эффект оказывается ещё сильнее, так как разность(rel)(rel)Δ − Δ−1 примерно в 10 раз меньше, чем поправка для каждого уровня. Интересно также отметить, что итоговый компенсирующий эффект в антипротонном гелии оказывается в несколько раз меньше, чем в обычном атомегелия [3], так что в этом смысле релятивистские эффекты в антипротонномгелии проявляются сильнее.Рис. 3.4. Релятивистские и КЭД поправки [10−6 а.е.] для (2, ) состояний ¯ 4He+ . Линии показывают: дарвиновские слагаемые (штриховая), релятивистскую поправку к массе (короткоштриховая), полную поправку Δ2(rel) (пунктирная). Штрих-пунктирная линия показываетлэмбовский сдвиг Δ2L , а сплошная – полную поправку.(rel)Вычисленные значения релятивистских поправок Δприведены дляобоих изотопов антипротонного гелия в таблицах А.5, А.6 приложения А.
Поскольку значения релятивистских поправок весьма малы, их достаточно вычислить с меньшей относительной точностью по сравнению с кулоновскими энерги95ями. С другой стороны, известно [116, 171, 172], что, при одинаковой точностисобственных значений, погрешность вычисляемых матричных элементов волновой функции в рамках МКЭ выше, чем при использовании разложений поглобальным базисным функциям. Основываясь на этом, точность релятивистских поправок оценивается в данных расчётах как 10−7 а.е.Лэмбовский сдвигИз-за присутствия сильного компенсационного эффекта, существенные поправки к уровням энергии могут возникнуть благодаря слагаемым, следующимпо порядку постоянной тонкой структуры .
Основная такая поправка возникает из-за лэмбовского сдвига порядка 3 log 1 [3]. В предположении независимости взаимодействия электрона с электростатическими полями, создаваемымиHe++ и ¯, полный лэмбовский сдвиг можно оценить как сумму двух слагаемых)︃⃒⃒⟩(︃⃒⃒191016⃒⃒ +Ψ++ log− logRy −=0 ⃒(r23 )⃒Ψ02330(2)4Ry)︃⃒⃒⟨⟩(︃⃒⃒831910⃒⃒ +Ψ+−+ log 2 − logRy,(3.12)0 ⃒(r12 )⃒Ψ0330Ry3LΔ⟨где, по аналогии с обычным атомом гелия [3], принято 0 / 2 =19.77 Ry. Точное значение может отличаться из-за отталкивания в ¯-e подсистеме, однакоотличие оценено не более чем в 5% [3]. Это неопределённость дополнительноуменьшается за счёт того, что вычисления показывают ⟨(r12 )⟩ ≤110 ⟨(r23 )⟩для всех уровней антипротонного гелия.LВычисленные значения поправок Δдля обоих изотопов антипротонного гелия приведены в таблице А.7 приложения А, а поправки для (2, ) со(rel)Lстояний ¯ 4 He+ изображены также на рисунке 3.4.
Сравнение Δи Δ(rel)Lпоказывает, что для всех уровней Δ≈ 61 Δ . Таким образом, с учётом достигнутой на момент исследования экспериментальной точности, рассмотрениеобеих этих поправок стало необходимо для прецизионного сравнения теоретических и экспериментальных значений.96Полученные значения релятивистских и КЭД поправок дают дополнительную возможность сравнить волновые функции двух изотопов.
Известно [157],что интеграл перекрытия между волновыми функциями (, 3 ) и (, 4 ) состояний примерно равен единице. Однако, значения, определённые в (3.11) и (3.12)содержат более чувствительные матричные элементы, тестирующие структуруволновой функции лучше, чем просто интеграл по всему конфигурационномупространству. В таблице 3.2 можно видеть, что релятивистские и КЭД поправки хорошо согласуются для двух изотопов с соответствующими значениями 3и 4 .
Несмотря на большой компенсационный эффект, итоговые значения различаются не более чем на 1-2%.Длины волн радиационных переходовВ таблице 3.3 некоторые экспериментально известные длины волн главныхрадиационных переходов (, ) → (, − 1), а также полученные здесь теоретические результаты и результаты других авторов. Приведены как кулоновскиезначения, так и значения с учётом релятивистских поправок. Кулоновские значения отличаются от экспериментальных на 0.02–0.03 нм, что делает релятивистские эффекты хорошо видимыми. В силу требуемой точности, в дальнейшем для сравнения релятивистских эффектов с экспериментальными даннымииспользованы результаты для кулоновских значений из работы [5], как обладающие более высокой точностью.
Добавление релятивистских поправок (3.11) (инекоторых других, не изменяющих результат в пределах показанной точности)к уровням энергии в работе [173] существенно улучшило согласованность теориии эксперимента, хотя и не устранило её полностью. Нужно, однако, отметить,что часть экспериментальных результатов, цитированных в [174], получена приненулевом давлении гелиевого газа в мишени. Как было впервые отмечено вработе [154], наблюдается зависимость длин волн от давления газа мишени:529.621 нм при 1.0 бар и 529.623 нм при 1.3 бар. Другие экспериментальные значения [147, 150, 155]) также подвержены этому эффекту, так что измеренные97длины волн должны быть приведены к нулевому значению давления для сравнения с расчётами.
Позднее точность некоторых измерений была существенноповышена [156], и разница между ними и расчётами с релятивистскими поправками оказалась идентифицируемой. Вычисленные здесь значения, в которыхучтены релятивистские (3.11) и КЭД (3.12) поправки, совпадают с этими высокоточными измерениями в пределах единицы младшего разряда. На моментпредставления, эти значения длин волн были наиболее близки к правильнымэкспериментальным длинам. Дальнейшее уточнение теоретических расчётов потребовало систематического учёта следующих слагаемых гамильтониана Брейта [3, 175] и КЭД поправок, как было проделано, например, в работе [6].
Такоеисследование находится вне рамок данной работы.3.2.5. Вероятности радиационных переходовНайдём представление для времён радиационных переходов в трёхчастичной системе. Время жизни состояния, описываемого мультииндексом , с энергией с учётом всех возможных радиационных переходов в состояния сменьшими энергиями определяется как⎞−1⎛ = ⎝∑︁ ⎠.(3.13) : <Предполагается, что вероятность радиационного перехода низка, так что возможно ограничиться рассмотрением только электрических дипольных переходов [175, 176]. Коэффициент Эйнштейна определяется в терминах матричного элемента полного дипольного момента системы d :41 = 3 ( − )3 |d |2 ,3(3.14)где – постоянная тонкой структуры, а – статистический вес уровня.
Матричные элементы d записываются как⃒⃒2⃒∑︁⃒⃒2+ ′+ ⃒|d | = ′ ,±1 > ⃒ ⟨Ψ |(, , )|Ψ ⟩⃒ ,⃒⃒=098(3.15)Таблица 3.3. Сравнение теоретических и экспериментальных длин волн основных радиационных переходов (, ) → (, − 1) [нм] для антипротонного гелия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
