Диссертация (1145383), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Таким образом, в дальнейшем решение уравнения (2.1) ищется в функциональном пространстве вектор-функций с компонентами из H1 .Оператор в левой части уравнения (2.1) является симметричным в случае поиска связанных состояний квантовых систем, т.е. при отсутствии комплексного вращения. При этом в соответствии с уравнением (1.31) ( ) = ,( ) = , а ( ) = ( ) = 1. Для такого оператора, собственные энергиитакже могли бы быть получены минимизацией функционала^^(Ψ,Ψ)/(Ψ,Ψ).В применениях с использованием комплексного вращения (поиск резонансов ирешение задачи рассеяния) оператор не симметричен, так что задача минимизации решения не имеет.
Вариационное уравнение (2.1), заданное в гильбертовомпространстве H1 ( × × ), однако, обладает решением в соответствии слеммой Лакса-Мильграма [112].2.3. Метод конечных элементов (МКЭ)Опишем коротко МКЭ, использованный в данной работе. Построение МКЭсостоит из следующих шагов:1. Формулировка решаемых уравнений в виде вариационного уравнения (вданном случае уравнения (2.1)).2. Разбиение области решения Ω на конечное число непересекающихся внутренностями конечных элементов (КЭ), объединение которых совпадает сисходной областью.3.
Построение базисных функций, принадлежащих пространству Соболева 1 (Ω) (для дифференциального уравнения второго порядка). Функциистроятся так, что их сужение на каждый КЭ является полиномом или59функцией, в каком-то смысле близкой к полиному. Чем меньшим количеством ненулевых проекций на КЭ обладают базисные функции, темменьше ненулевых элементов содержит глобальная матрица МКЭ, и темэффективнее и быстрее решается соответствующая система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).4. Использование метода Галёркина: разложение решения по построеннымбазисным функциям, проецирование приближенного решения на базисныефункции и решение полученной СЛАУ для коэффициентов разложения.Восстановление, при необходимости, решения по коэффициентам во всейобласти или в некоторой подобласти.Рассмотрим подробнее перечисленные шаги.2.3.1.
Одномерный МКЭДля описания конструкций, использованных в трёхмерном МКЭ, понадобятся понятия и обозначения, которые удобно ввести, рассматривая одномерный МКЭ. Пусть вариационное уравнение задано на отрезке [ − , + ]. В дальнейшем предполагается, что длина этого отрезка конечна, | + − − | < ∞. Водномерном случае область может быть разделена на конечных элементов+−+ = [− , ], = 1... , так, что +1 = .
Границы области совпадают с++соответствующими границами первого и последнего КЭ: − = −1 , = .Минимальный набор базисных функций, принадлежащих пространству(0) 1 ([ − , + ]), содержит функции двух типов: функции (), привязанные к(1)точкам − – границам КЭ, и функции (), привязанные к самим конечнымэлементам. Требования непрерывности и минимальности ненулевых проекцийвыполняются, например, при следующем выборе значений этих функций:(0)(0)+ (− ) = (−1 ) = 1,(1)(1)+ (− ) = ( ) = 0,(0) ∈ , ̸= , − 1,(1) ∈ , ̸= . () = 0, () = 0,60(2.7)Для упрощения обозначений, к точке + не привязывается никакая базиснаяфункция. Такое упрощение возможно в связи с используемыми нулевыми граничными условиями на больших расстояниях как в задаче на связанные состояния, так и в методе, использованном для решения задачи рассеяния. Значение(0) (− ) может быть произвольным ненулевым, но выбранное значение являетсянаиболее удобным.Условиям (2.7) могут удовлетворять как Лагранжевы, так и Эрмитовы ко(0)(1)нечные элементы [109].
Часто построение функций () и () проводится вявном виде, и в их качестве выбираются кусочно-полиномиальные функции. Врассматриваемых в данной работе приложениях, однако, оказывается удобнееиспользовать функции более общего вида: например, убывающие на большихрасстояниях волновые функции хорошо аппроксимируются произведениями полиномов на убывающую экспоненциальную функцию. Опишем подход, позволяющий численно построить набор функций, удовлетворяющих условию (2.7),из произвольного набора линейно-независимых функций.Пусть на элементе строится набор проекций базисных функций на этот(0)(0)(1)(1)элемент g () = {,1 (), +1,2 (), ,3 () .
. . , −2 ()}, где – количество базисных функций с ненулевой проекцией на элемент , ≥ 2. В соответствиис условиями (2.7), их значения на концах элемента равны g− = g (− ) ={1, 0, 0 . . . 0} и g+ = g (+ ) = {0, 1, 0 . . . 0}. Пусть имеется линейно-независимых функций f () = {,1 (), ,2 () . . . , ()}. Их значения на концах±±±элемента образуют два вектора: f± = f (± ) = {,1 ( ), ,2 ( ) .
. . , ( )}.Необходимо построить × матрицу , линейно отображающую 2 × матрицу {f− , f+ } в матрицу {g− , g+ }. Конечно, в случае ≥ 3 такая матрица неединственна, однако достаточно существования хотя бы одного решения, желательно простого и удобного для вычислений. Запишем матрицу {f− , f+ } в виде{f− , f+ } = (, ), где матрица содержит два первых столбца, а 2 × ( − 2)матрица – оставшиеся. Выберем функции ,1 (), ,2 () так, чтобы 2 × 2матрица имела обратную (линейной независимости этих двух функций на61отрезке может быть недостаточно, здесь важны именно значения на его границах).
Тогда матрица , записанная в виде⎛ =⎝−1−0−1 −2⎞⎠,(2.8)осуществляет требуемое преобразование:{g− , g+ } = {f− , f+ }.(2.9)Таким образом, базисные функции g () на каждом элементе линейно выражаются через функции f ():g () = f ().(2.10)Индекс у матрицы подчёркивает, что она может зависеть от номера конечного элемента, если на разных элементах выбраны разные наборы функцийf (). Если функции , () содержат полиномы степеней, возрастающих вместес индексом , вектор функций g () представляет собой иерархический конечноэлементный базис.2.3.2.
Трёхмерный МКЭПереход от одномерного к многомерному (в частности, трёхмерному) МКЭпредставляет собой достаточно сложную проблему. Прежде всего, существенноусложняется разбиение геометрической области решения задачи на конечныеэлементы. В одномерном случае, единственно возможный КЭ – отрезок, который всегда имеет не более двух соседей.
В многомерном МКЭ, возможно разбиение области на различные элементарные КЭ, а количество соседей у каждогоконечного элемента, вообще говоря, не ограничено. В технических приложениях МКЭ часто используют разбиение на тетраэдры [111], позволяющее работатьс областями со сложной границей. В рассматриваемых в данной работе задачах квантовой механики конфигурационное пространство является очень простым, в силу чего далее будет использоваться разбиение на параллелепипеды.62Каждый параллелепипед , = 1 . . .
, образован как прямое произведениеотрезков по трём координатам =, , :()()() = × × ,()+ = [− , ],(2.11)где для одномерных отрезков приняты обозначения и соглашения, описанныевыше.Количество типов базисных функций в трёхмерном случае равно четырём.Соответствующие функции привязаны к следующим геометрическим элементам КЭ с номером :∙Вершинам.Базисные функции определены как(0)(0)() (, , ) = (0)()()(0)()()().(2.12)К каждой вершине привязана одна такая функция.
Количество функцийс ненулевой проекцией на выбранный элемент равно 8. Каждая функциятакого типа имеет ненулевые проекции на 8 элементов.∙Рёбрам.Базисные функции определены как(1)(0)() (, , ) = (0)()()(1)()()(),(2.13)где значения , , образованы перестановкой значений координат , , .Пусть – общее количество функций g на данном элементе по каждойиз координат . Тогда к каждому ребру привязано − 2 таких функций.Количество функций с ненулевой проекцией на выбранный элемент равно4[( − 2) + ( − 2) + ( − 2)]. Каждая функция такого типа имеетненулевые проекции на 4 элемента.∙Граням.Базисные функции определены как(2)(0)() (, , ) = 63(1)()()(1)()()().(2.14)К каждой грани привязано ( − 2)( − 2) таких функций. Количествофункций с ненулевой проекцией на выбранный элемент равно 2[( −2)( − 2) + ( − 2)( − 2) + ( − 2)( − 2)].
Каждая функциятакого типа имеет ненулевые проекции на 2 элемента.∙Элементам.Базисные функции определены как(3)(1)() (, , ) = (1)()()(1)()()().(2.15)Количество функций, привязанных к элементу равно ( −2)( −2)( −2), это же значение задаёт количество функций с ненулевой проекцией наэлемент. Каждая функция такого типа имеет ненулевую проекцию толькона один элемент .Таким образом, общее количество базисных функций с ненулевой проекцией навыбранный КЭ общего положения (не находящийся на границе области) равно:[︀]︀8 + 4 ( − 2) + ( − 2) + ( − 2) +[︀]︀+2 ( − 2)( − 2) + ( − 2)( − 2) + ( − 2)( − 2) ++( − 2)( − 2)( − 2).(2.16)Важно отметить, что проекции всех введённых базисных функций на каждыйКЭ представляются в факторизованном по трём координатам виде:⃒⃒() (, , )⃒()(,,)∈()()= ℎ ()ℎ ()ℎ (), = 0, 1, 2, 3,(2.17)()с некоторыми явно определёнными, зависящими от и , функциями ℎ (), = , , .
Такое представление базисных функций существенно упрощаетвычисление некоторых матричных элементов в представлениях (2.2–2.4).Введём единую глобальную нумерацию для всех типов базисных функций (, , ), = 1 . . . , где – общее число базисных функций, привязанных квершинам, рёбрам, граням и элементам. Такая нумерация может быть введена,например, следующим образом. Рассмотрим сумму = + + номеров64отрезков по каждой из координат, = 1 .
. . . Сумма принимает значения = 3 . . . + + . Для каждого значения , расположим тройки ( , , ) впорядке наиболее быстрого изменения первых индексов. Функциям для каждойтройки ( , , ) присваиваются номера в следующем порядке:∙ Функция, привязанная к вершине ( , , ).∙ Функции, привязанные к рёбрам ([ , + 1], , ), ( , [ , + 1], ),( , , [ , + 1]).∙ Функции, привязанные к граням ([ , + 1], [ , + 1], ),([ , + 1], , [ , + 1]), ( , [ , + 1], [ , + 1]).∙ Функции, привязанные к элементу ([ , + 1], [ , + 1], [ , + 1]).В зависимости от номера, функции (, , ) могут иметь ненулевые проекции на разное количество КЭ. Каждая такая проекция на элемент записывается в виде⃒⃒ (, , )⃒()(,,)∈()()(2.18)= ℎ, ()ℎ, ()ℎ, ().2.3.3. Метод Галёркина.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
