Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1145383), страница 10

Файл №1145383 Диссертация (Единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел) 10 страницаДиссертация (1145383) страница 102019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Таким образом, в даль­нейшем решение уравнения (2.1) ищется в функциональном пространстве век­тор-функций с компонентами из H1 .Оператор в левой части уравнения (2.1) является симметричным в слу­чае поиска связанных состояний квантовых систем, т.е. при отсутствии ком­плексного вращения. При этом в соответствии с уравнением (1.31) ( ) = ,( ) = , а ( ) = ( ) = 1. Для такого оператора, собственные энергиитакже могли бы быть получены минимизацией функционала^^(Ψ,Ψ)/(Ψ,Ψ).В применениях с использованием комплексного вращения (поиск резонансов ирешение задачи рассеяния) оператор не симметричен, так что задача минимиза­ции решения не имеет.

Вариационное уравнение (2.1), заданное в гильбертовомпространстве H1 ( × × ), однако, обладает решением в соответствии слеммой Лакса-Мильграма [112].2.3. Метод конечных элементов (МКЭ)Опишем коротко МКЭ, использованный в данной работе. Построение МКЭсостоит из следующих шагов:1. Формулировка решаемых уравнений в виде вариационного уравнения (вданном случае уравнения (2.1)).2. Разбиение области решения Ω на конечное число непересекающихся внут­ренностями конечных элементов (КЭ), объединение которых совпадает сисходной областью.3.

Построение базисных функций, принадлежащих пространству Соболева 1 (Ω) (для дифференциального уравнения второго порядка). Функциистроятся так, что их сужение на каждый КЭ является полиномом или59функцией, в каком-то смысле близкой к полиному. Чем меньшим коли­чеством ненулевых проекций на КЭ обладают базисные функции, темменьше ненулевых элементов содержит глобальная матрица МКЭ, и темэффективнее и быстрее решается соответствующая система линейных ал­гебраических уравнений (СЛАУ).4. Использование метода Галёркина: разложение решения по построеннымбазисным функциям, проецирование приближенного решения на базисныефункции и решение полученной СЛАУ для коэффициентов разложения.Восстановление, при необходимости, решения по коэффициентам во всейобласти или в некоторой подобласти.Рассмотрим подробнее перечисленные шаги.2.3.1.

Одномерный МКЭДля описания конструкций, использованных в трёхмерном МКЭ, понадо­бятся понятия и обозначения, которые удобно ввести, рассматривая одномер­ный МКЭ. Пусть вариационное уравнение задано на отрезке [ − , + ]. В даль­нейшем предполагается, что длина этого отрезка конечна, | + − − | < ∞. Водномерном случае область может быть разделена на конечных элементов+−+ = [− , ], = 1... , так, что +1 = .

Границы области совпадают с++соответствующими границами первого и последнего КЭ: − = −1 , = .Минимальный набор базисных функций, принадлежащих пространству(0) 1 ([ − , + ]), содержит функции двух типов: функции (), привязанные к(1)точкам − – границам КЭ, и функции (), привязанные к самим конечнымэлементам. Требования непрерывности и минимальности ненулевых проекцийвыполняются, например, при следующем выборе значений этих функций:(0)(0)+ (− ) = (−1 ) = 1,(1)(1)+ (− ) = ( ) = 0,(0) ∈ , ̸= , − 1,(1) ∈ , ̸= . () = 0, () = 0,60(2.7)Для упрощения обозначений, к точке + не привязывается никакая базиснаяфункция. Такое упрощение возможно в связи с используемыми нулевыми гра­ничными условиями на больших расстояниях как в задаче на связанные состо­яния, так и в методе, использованном для решения задачи рассеяния. Значение(0) (− ) может быть произвольным ненулевым, но выбранное значение являетсянаиболее удобным.Условиям (2.7) могут удовлетворять как Лагранжевы, так и Эрмитовы ко­(0)(1)нечные элементы [109].

Часто построение функций () и () проводится вявном виде, и в их качестве выбираются кусочно-полиномиальные функции. Врассматриваемых в данной работе приложениях, однако, оказывается удобнееиспользовать функции более общего вида: например, убывающие на большихрасстояниях волновые функции хорошо аппроксимируются произведениями по­линомов на убывающую экспоненциальную функцию. Опишем подход, позво­ляющий численно построить набор функций, удовлетворяющих условию (2.7),из произвольного набора линейно-независимых функций.Пусть на элементе строится набор проекций базисных функций на этот(0)(0)(1)(1)элемент g () = {,1 (), +1,2 (), ,3 () .

. . , −2 ()}, где – количество ба­зисных функций с ненулевой проекцией на элемент , ≥ 2. В соответствиис условиями (2.7), их значения на концах элемента равны g− = g (− ) ={1, 0, 0 . . . 0} и g+ = g (+ ) = {0, 1, 0 . . . 0}. Пусть имеется линейно-неза­висимых функций f () = {,1 (), ,2 () . . . , ()}. Их значения на концах±±±элемента образуют два вектора: f± = f (± ) = {,1 ( ), ,2 ( ) .

. . , ( )}.Необходимо построить × матрицу , линейно отображающую 2 × мат­рицу {f− , f+ } в матрицу {g− , g+ }. Конечно, в случае ≥ 3 такая матрица неединственна, однако достаточно существования хотя бы одного решения, жела­тельно простого и удобного для вычислений. Запишем матрицу {f− , f+ } в виде{f− , f+ } = (, ), где матрица содержит два первых столбца, а 2 × ( − 2)матрица – оставшиеся. Выберем функции ,1 (), ,2 () так, чтобы 2 × 2матрица имела обратную (линейной независимости этих двух функций на61отрезке может быть недостаточно, здесь важны именно значения на его грани­цах).

Тогда матрица , записанная в виде⎛ =⎝−1−0−1 −2⎞⎠,(2.8)осуществляет требуемое преобразование:{g− , g+ } = {f− , f+ }.(2.9)Таким образом, базисные функции g () на каждом элементе линейно выража­ются через функции f ():g () = f ().(2.10)Индекс у матрицы подчёркивает, что она может зависеть от номера ко­нечного элемента, если на разных элементах выбраны разные наборы функцийf (). Если функции , () содержат полиномы степеней, возрастающих вместес индексом , вектор функций g () представляет собой иерархический конеч­ноэлементный базис.2.3.2.

Трёхмерный МКЭПереход от одномерного к многомерному (в частности, трёхмерному) МКЭпредставляет собой достаточно сложную проблему. Прежде всего, существенноусложняется разбиение геометрической области решения задачи на конечныеэлементы. В одномерном случае, единственно возможный КЭ – отрезок, кото­рый всегда имеет не более двух соседей.

В многомерном МКЭ, возможно разби­ение области на различные элементарные КЭ, а количество соседей у каждогоконечного элемента, вообще говоря, не ограничено. В технических приложени­ях МКЭ часто используют разбиение на тетраэдры [111], позволяющее работатьс областями со сложной границей. В рассматриваемых в данной работе зада­чах квантовой механики конфигурационное пространство является очень про­стым, в силу чего далее будет использоваться разбиение на параллелепипеды.62Каждый параллелепипед , = 1 . . .

, образован как прямое произведениеотрезков по трём координатам =, , :()()() = × × ,()+ = [− , ],(2.11)где для одномерных отрезков приняты обозначения и соглашения, описанныевыше.Количество типов базисных функций в трёхмерном случае равно четырём.Соответствующие функции привязаны к следующим геометрическим элемен­там КЭ с номером :∙Вершинам.Базисные функции определены как(0)(0)() (, , ) = (0)()()(0)()()().(2.12)К каждой вершине привязана одна такая функция.

Количество функцийс ненулевой проекцией на выбранный элемент равно 8. Каждая функциятакого типа имеет ненулевые проекции на 8 элементов.∙Рёбрам.Базисные функции определены как(1)(0)() (, , ) = (0)()()(1)()()(),(2.13)где значения , , образованы перестановкой значений координат , , .Пусть – общее количество функций g на данном элементе по каждойиз координат . Тогда к каждому ребру привязано − 2 таких функций.Количество функций с ненулевой проекцией на выбранный элемент равно4[( − 2) + ( − 2) + ( − 2)]. Каждая функция такого типа имеетненулевые проекции на 4 элемента.∙Граням.Базисные функции определены как(2)(0)() (, , ) = 63(1)()()(1)()()().(2.14)К каждой грани привязано ( − 2)( − 2) таких функций. Количествофункций с ненулевой проекцией на выбранный элемент равно 2[( −2)( − 2) + ( − 2)( − 2) + ( − 2)( − 2)].

Каждая функциятакого типа имеет ненулевые проекции на 2 элемента.∙Элементам.Базисные функции определены как(3)(1)() (, , ) = (1)()()(1)()()().(2.15)Количество функций, привязанных к элементу равно ( −2)( −2)( −2), это же значение задаёт количество функций с ненулевой проекцией наэлемент. Каждая функция такого типа имеет ненулевую проекцию толькона один элемент .Таким образом, общее количество базисных функций с ненулевой проекцией навыбранный КЭ общего положения (не находящийся на границе области) равно:[︀]︀8 + 4 ( − 2) + ( − 2) + ( − 2) +[︀]︀+2 ( − 2)( − 2) + ( − 2)( − 2) + ( − 2)( − 2) ++( − 2)( − 2)( − 2).(2.16)Важно отметить, что проекции всех введённых базисных функций на каждыйКЭ представляются в факторизованном по трём координатам виде:⃒⃒() (, , )⃒()(,,)∈()()= ℎ ()ℎ ()ℎ (), = 0, 1, 2, 3,(2.17)()с некоторыми явно определёнными, зависящими от и , функциями ℎ (), = , , .

Такое представление базисных функций существенно упрощаетвычисление некоторых матричных элементов в представлениях (2.2–2.4).Введём единую глобальную нумерацию для всех типов базисных функций (, , ), = 1 . . . , где – общее число базисных функций, привязанных квершинам, рёбрам, граням и элементам. Такая нумерация может быть введена,например, следующим образом. Рассмотрим сумму = + + номеров64отрезков по каждой из координат, = 1 .

. . . Сумма принимает значения = 3 . . . + + . Для каждого значения , расположим тройки ( , , ) впорядке наиболее быстрого изменения первых индексов. Функциям для каждойтройки ( , , ) присваиваются номера в следующем порядке:∙ Функция, привязанная к вершине ( , , ).∙ Функции, привязанные к рёбрам ([ , + 1], , ), ( , [ , + 1], ),( , , [ , + 1]).∙ Функции, привязанные к граням ([ , + 1], [ , + 1], ),([ , + 1], , [ , + 1]), ( , [ , + 1], [ , + 1]).∙ Функции, привязанные к элементу ([ , + 1], [ , + 1], [ , + 1]).В зависимости от номера, функции (, , ) могут иметь ненулевые про­екции на разное количество КЭ. Каждая такая проекция на элемент записы­вается в виде⃒⃒ (, , )⃒()(,,)∈()()(2.18)= ℎ, ()ℎ, ()ℎ, ().2.3.3. Метод Галёркина.

Характеристики

Список файлов диссертации

Единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее