Диссертация (1145383), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Для такого потенциала взаимодействия переменные в уравнении (1.65)разделяются, и решение может быть найдено явно:Ψ0 (x , y ) = 0 (x ) (y , p0 ).(1.68)Функция (y , p0 ) является решением двухчастичной задачи. Она строитсястандартным образом [55]: разлагается по базису угловых функций ℓ ℓ (^y ), ирешение в каждой парциальной волне строится аналогично (1.46). Окончательное выражение для этой функции задаётся выражением (y , p0 )∞ℓ4 ∑︁ ∑︁ ℓ = ℓ (0 , )ℓ*ℓ (^p0 )ℓ ℓ (^y ), 0 (1.69)ℓ=0 ℓ =−ℓгде⎧⎨ ^ (), ≤ ,ℓ ℓℓ (, ) =⎩ ℓ ℓ (, ) + + (, ), > ,ℓ ℓ(1.70)а коэффициенты ℓ , ℓ определены соотношениями (1.48, 1.49).Подставляя найденное выражение (1.68) в уравнение (1.65), получим неоднородное уравнение для функции Ψ1:(︀)︀(︀ )︀ 0 + (x ) + (x , y ) − Ψ=−(x,y)−()Ψ0 .140(1.71)Данное уравнение может быть решено применением метода внешних комплексных вращений.
Действительно, его решение Ψ1 содержит асимптотически только расходящиеся волны, и поэтому может быть повёрнуто в верхнюю комплексную полуплоскость. Правая часть уравнения экспоненциально убывает по из-за наличия в ней двухчастичной волновой функции связанного состояния0 (x ). В области, где функция 0 (x ) не является малой, выполняется(︀ )︀ (x , y ) − ( ) ∼ −2при → ∞.(1.72)Таким образом,⃒ ⃒⃒ (x , y ) − ( )⃒ ≤ const × −2 .(1.73)Потенциал с таким убыванием уже может быть обрезан при некотором ′ > ,и к полученной задаче может быть применено внешнее комплексное вращениес радиусом, большим, чем ′ [25, 97].В силу линейности используемых уравнений, функцию Φ также можноразбить на два слагаемых, Φ = Φ0 + Φ1 , которые находятся из уравнений,получающихся из (1.66):(0 + (x , y ) − ) Φ (x , y ) = − (x , y )Ψ (x , y ), = 0, 1.(1.74)Эти уравнения могут быть решены с помощью метода внешнего комплексноговращения.
Решения Φ содержат асимптотически только расходящиеся волны имогут быть повёрнуты в верхнюю комплексную полуплоскость по координатам.Правая часть экспоненциально убывает по и является финитной по , следовательно, допускает применение комплексного вращения с радиусом > .Окончательно, решение уравнения Шредингера записывается в видеΨ = Ψ0 + Φ0 + Ψ1 + Φ1 .(1.75)В соответствии с оценкой (1.73), два последних слагаемых стремятся к нулю,когда неограниченно возрастает. В связи с этим, уравнение (1.74) для Φ041будем называть главным уравнением метода расщепления потенциала, а уравнения (1.71) и (1.74) для Φ1 – вспомогательными.
Нужно заметить, что дляконечных значений вклад вспомогательных уравнений может не быть пренебрежимо мал. Пример численной оценки соответствующих вкладов будет приведён в разделе 5.3.3.1.4.4. Уравнения рассеяния в представлении полного угловогомоментаУравнения (1.71, 1.74) являются шестимерными неоднородными дифференциальными уравнениями. Так же как и для решения уравнения (1.6), для ихрешения используется представление полного углового момента и разложениярешения по симметризованным -функциям Вигнера ′ (1.18).
Волноваяфункция рассеяния Ψ может быть разложена по функциям ′(︀Ψ(x , y ) =∞ ∑︁∑︁ ∑︁∑︁(︀′)︀*)︀*(Ω )Ψ ′ ( , , ).как(1.76)=0 =− ′ =0В силу ортогональности функций с различными значениями чётности и углового момента, уравнения для них оказываются независимыми.
Операторы в левыхчастях уравнений (1.71, 1.74) совпадают с оператором в (1.6), так что матричные элементы оператора по функциям ′ совпадают с таковыми в уравнении (1.22). Заметим также, что оператор не зависит от индекса . Остаётсялишь найти представление правых частей уравнений в базисе симметризованных -функций Вигнера. При использовании расщепления полной волновойфункции на слагаемые в (1.75), каждое слагаемое раскладывается в сумму, аналогичную (1.76).Рассмотрим правую часть уравнения (1.74) для Φ0 . Если потенциалы взаимодействия зависят только от расстояний между частицами, то при её проецировании на функции ′ (Ω ) получим следующее представление:Z[︀ ]︀2 + 1− .′ (Ω )Ψ0 (x , y )Ω ≡ − Ψ0′8 242(1.77)Воспользовавшись представлением (1.53) для двухчастичной волновой функции в состоянии 0 и представлением (1.69) для (y , p0 ), найдём в области ≤ :∞∑︁∑︁[︀ ]︀2 + 1 4^*Ψ0 ′ =˜0 ( )p ) ( ) (^28 0 =0 =−Z× x ) (^y )Ω .(1.78) ′ (Ω )ℓ0 0 (^Здесь использовано представление для (y , p0 ) в области ≤ , поскольку значение Ψ0[︀]︀′для других неважно из-за умножения на внутреннийпотенциал , обращающийся в нуль для > .Для вычисления интеграла в выражении (1.78), необходимо записать присутствующие в нём сферические функции в терминах -функций.
Функция̂︀Вигнера ′ (Ω ) определяет поворот из неподвижной системы координат*во вращающуюся, а сопряжённая ′ (Ω ) – обратный поворот. Полярная осьво вращающейся системе направлена вдоль вектора y , а вектор x лежит вплоскости этой системы. Тогда сферические функции от угловой части координат Якоби могут быть явно выражены [73, 79]:⎧)︁*∑︀ (︁ ℓ0⎪x ) =0 ′ (Ω ) ℓ0 ′ ( , 0),⎪⎨ ℓ0 0 (^′)︀*∑︀ (︀ ⎪⎪y ) = ′′ (Ω ) ′′ (0, 0) =⎩ (^′′√︂)︀*2 + 1 (︀ 0 (Ω ) .4(1.79)C использованием (1.79), выражение (1.78) может быть записано в виде√︂∞∑︁∑︁[︀ ]︀2 + 12 + 1 4 ^*˜()Ψ0 ′ =()(^p)08 2 0 4=0 =−Z∑︁ℓ0 **×ℓ0 ′ ( , 0) (1.80) ′ (Ω )0 ′ (Ω ) 0 (Ω )Ω .′Интеграл от произведения трёх -функций может быть явно вычислен [79]:Z*ℓ0 ′ (Ω )0 ′ (Ω ) 0 (Ω )Ω =438 2 ′ℓ.′ℓ2 + 1 0 0 0 0(1.81)Здесь коэффициенты Клебша-Гордана определены в соответствии с [79],1 1 2 2т.е.
они являются вещественными. Поскольку коэффициенты Клебша-Гордана обращаются в нуль при 1 + 2 ̸= , выполняется соотношение1 1 2 2′′. Тогда, используя определение функции = ′ ′ ℓℓ′′ ′ (1.18), ин0 00 0теграл в равенстве (1.80) можно записать в видеZ**ℓ0 ′ (Ω )0 ′ (Ω ) 0 (Ω )Ω =)︁8 2(−1) (︁′′ℓ0 +√=(−1) + (−1)ℓℓ.′0 0 0 02 + 1 2 + 2 ′ 0(1.82)Подставляя это выражение в равенство (1.80), получим:4(−1)′√˜ ( )ℓ0 ( , 0) 0 02 + 2 ′ 0√︂∞)︁∑︁2 + 1 (︁′′ℓ0 + ^(−1) + (−1)ℓ× ( )′0 04[︀ ]︀Ψ0 ′ =×=0∑︁* (^p )ℓ.0 0 (1.83) =−Сумма по в этом выражении фактически является конечной из-за треугольного условия для коэффициентов Клебша-Гордана: |ℓ0 − | ≤ ≤ ℓ0 + .
Ономожет быть записано как | − ℓ0 | ≤ ≤ + ℓ0 .Если выбрать направление оси совпадающим с направлением вектораp , то√︂* (^p ) = * (0, 0) = 02 + 1,4и выражение (1.83) можно привести к виду:+ℓ∑︁0[︀ ]︀˜0 ( )(−1)^Ψ0 ′ = 0ℓ0 ′ ( , 0) √ ( ) 0 2 + 2 ′ 0 =|−ℓ |0(︁)︁′′0× (2 + 1) (−1) + (−1)ℓ0 + ℓℓ.(1.84)′0 00 0 0Из-за наличия 0 , в сумме (1.76) остаётся только одно слагаемое по индексу , определяемое начальным состоянием мишени 0 .44Представление (1.84) существенно упрощается в двух важных случаях.Во-первых, если полный угловой момент системы = 0, то^ℓ0 ( )[︀ ]︀0+Ψ0 00 = ℓ0 ˜0 ( )ℓ0 0 ( , 0).ℓ0 0 (1.85)Ещё один простой случай отвечает ситуации, когда мишень до столкновениянаходится в -состоянии, т.е.
ℓ0 = 0 и 0 = 0. При этом единственное ненулевоеслагаемое в сумме из представления (1.84) есть = , и^[︀ ]︀2 + 1 ( )′√ ˜0 ( ).Ψ0 ′ = + 0 0 0 4(1.86)Как и следовало ожидать, единственная компонента, для которой правая частьне равна нулю, отвечает нулевому значению проекции ′ = 0 и, тем самым,только состояниям с положительной пространственной чётностью.Правая часть уравнения (1.71) для Ψ1 имеет структуру, совершенно аналогичную правой части только что рассмотренного уравнения. Отличие состоитв потенциале: вместо внутреннего потенциала используется обрезанный потенциал(︀)︀ℎ(′ − ) (x , y ) − ( ) ,′ > .(1.87)Этот потенциал тоже является финитным, но поскольку ′ > , то функция (y , p0 ) требуется и в области > , так что необходимо пользоватьсяобоими представлениями в разложении (1.69).
Фактически, отличие состоит в^замене функции ( ) в уравнении (1.84) на другую явно заданную функцию на интервале [, ′ ]. Что касается правой части уравнения (1.74) для Φ1 , тоона не требует дополнительного анализа, так как в правой части стоит функцияΨ1 , которая определена как решение уравнения (1.71) и, тем самым, изначальнозадана в виде коэффициентов разложения по -функциям.Теперь, когда имеются представления в базисе симметризованных -функций ′ для гамильтониана системы (1.22) и правых частей в уравнениях (1.74, 1.71), для которых выполнены условия применимости внешнего комплексного вращения, можно применить преобразование Θ (1.32) по коорди45натам , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
