Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1145383), страница 7

Файл №1145383 Диссертация (Единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел) 7 страницаДиссертация (1145383) страница 72019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Для такого потенциала взаимодействия переменные в уравнении (1.65)разделяются, и решение может быть найдено явно:Ψ0 (x , y ) = 0 (x ) (y , p0 ).(1.68)Функция (y , p0 ) является решением двухчастичной задачи. Она строитсястандартным образом [55]: разлагается по базису угловых функций ℓ ℓ (^y ), ирешение в каждой парциальной волне строится аналогично (1.46). Окончатель­ное выражение для этой функции задаётся выражением (y , p0 )∞ℓ4 ∑︁ ∑︁ ℓ = ℓ (0 , )ℓ*ℓ (^p0 )ℓ ℓ (^y ), 0 (1.69)ℓ=0 ℓ =−ℓгде⎧⎨ ^ (), ≤ ,ℓ ℓℓ (, ) =⎩ ℓ ℓ (, ) + + (, ), > ,ℓ ℓ(1.70)а коэффициенты ℓ , ℓ определены соотношениями (1.48, 1.49).Подставляя найденное выражение (1.68) в уравнение (1.65), получим неод­нородное уравнение для функции Ψ1:(︀)︀(︀ )︀ 0 + (x ) + (x , y ) − Ψ=−(x,y)−()Ψ0 .140(1.71)Данное уравнение может быть решено применением метода внешних комплекс­ных вращений.

Действительно, его решение Ψ1 содержит асимптотически толь­ко расходящиеся волны, и поэтому может быть повёрнуто в верхнюю комплекс­ную полуплоскость. Правая часть уравнения экспоненциально убывает по из-за наличия в ней двухчастичной волновой функции связанного состояния0 (x ). В области, где функция 0 (x ) не является малой, выполняется(︀ )︀ (x , y ) − ( ) ∼ −2при → ∞.(1.72)Таким образом,⃒ ⃒⃒ (x , y ) − ( )⃒ ≤ const × −2 .(1.73)Потенциал с таким убыванием уже может быть обрезан при некотором ′ > ,и к полученной задаче может быть применено внешнее комплексное вращениес радиусом, большим, чем ′ [25, 97].В силу линейности используемых уравнений, функцию Φ также можноразбить на два слагаемых, Φ = Φ0 + Φ1 , которые находятся из уравнений,получающихся из (1.66):(0 + (x , y ) − ) Φ (x , y ) = − (x , y )Ψ (x , y ), = 0, 1.(1.74)Эти уравнения могут быть решены с помощью метода внешнего комплексноговращения.

Решения Φ содержат асимптотически только расходящиеся волны имогут быть повёрнуты в верхнюю комплексную полуплоскость по координатам.Правая часть экспоненциально убывает по и является финитной по , сле­довательно, допускает применение комплексного вращения с радиусом > .Окончательно, решение уравнения Шредингера записывается в видеΨ = Ψ0 + Φ0 + Ψ1 + Φ1 .(1.75)В соответствии с оценкой (1.73), два последних слагаемых стремятся к нулю,когда неограниченно возрастает. В связи с этим, уравнение (1.74) для Φ041будем называть главным уравнением метода расщепления потенциала, а урав­нения (1.71) и (1.74) для Φ1 – вспомогательными.

Нужно заметить, что дляконечных значений вклад вспомогательных уравнений может не быть прене­брежимо мал. Пример численной оценки соответствующих вкладов будет при­ведён в разделе 5.3.3.1.4.4. Уравнения рассеяния в представлении полного угловогомоментаУравнения (1.71, 1.74) являются шестимерными неоднородными диффе­ренциальными уравнениями. Так же как и для решения уравнения (1.6), для ихрешения используется представление полного углового момента и разложениярешения по симметризованным -функциям Вигнера ′ (1.18).

Волноваяфункция рассеяния Ψ может быть разложена по функциям ′(︀Ψ(x , y ) =∞ ∑︁∑︁ ∑︁∑︁(︀′)︀*)︀*(Ω )Ψ ′ ( , , ).как(1.76)=0 =− ′ =0В силу ортогональности функций с различными значениями чётности и углово­го момента, уравнения для них оказываются независимыми.

Операторы в левыхчастях уравнений (1.71, 1.74) совпадают с оператором в (1.6), так что матрич­ные элементы оператора по функциям ′ совпадают с таковыми в уравне­нии (1.22). Заметим также, что оператор не зависит от индекса . Остаётсялишь найти представление правых частей уравнений в базисе симметризован­ных -функций Вигнера. При использовании расщепления полной волновойфункции на слагаемые в (1.75), каждое слагаемое раскладывается в сумму, ана­логичную (1.76).Рассмотрим правую часть уравнения (1.74) для Φ0 . Если потенциалы вза­имодействия зависят только от расстояний между частицами, то при её проеци­ровании на функции ′ (Ω ) получим следующее представление:Z[︀ ]︀2 + 1− .′ (Ω )Ψ0 (x , y )Ω ≡ − Ψ0′8 242(1.77)Воспользовавшись представлением (1.53) для двухчастичной волновой функ­ции в состоянии 0 и представлением (1.69) для (y , p0 ), найдём в области ≤ :∞∑︁∑︁[︀ ]︀2 + 1 4^*Ψ0 ′ =˜0 ( )p ) ( ) (^28 0 =0 =−Z× x ) (^y )Ω .(1.78) ′ (Ω )ℓ0 0 (^Здесь использовано представление для (y , p0 ) в области ≤ , посколь­ку значение Ψ0[︀]︀′для других неважно из-за умножения на внутреннийпотенциал , обращающийся в нуль для > .Для вычисления интеграла в выражении (1.78), необходимо записать при­сутствующие в нём сферические функции в терминах -функций.

Функция̂︀Вигнера ′ (Ω ) определяет поворот из неподвижной системы координат*во вращающуюся, а сопряжённая ′ (Ω ) – обратный поворот. Полярная осьво вращающейся системе направлена вдоль вектора y , а вектор x лежит вплоскости этой системы. Тогда сферические функции от угловой части ко­ординат Якоби могут быть явно выражены [73, 79]:⎧)︁*∑︀ (︁ ℓ0⎪x ) =0 ′ (Ω ) ℓ0 ′ ( , 0),⎪⎨ ℓ0 0 (^′)︀*∑︀ (︀ ⎪⎪y ) = ′′ (Ω ) ′′ (0, 0) =⎩ (^′′√︂)︀*2 + 1 (︀ 0 (Ω ) .4(1.79)C использованием (1.79), выражение (1.78) может быть записано в виде√︂∞∑︁∑︁[︀ ]︀2 + 12 + 1 4 ^*˜()Ψ0 ′ =()(^p)08 2 0 4=0 =−Z∑︁ℓ0 **×ℓ0 ′ ( , 0) (1.80) ′ (Ω )0 ′ (Ω ) 0 (Ω )Ω .′Интеграл от произведения трёх -функций может быть явно вычислен [79]:Z*ℓ0 ′ (Ω )0 ′ (Ω ) 0 (Ω )Ω =438 2 ′ℓ.′ℓ2 + 1 0 0 0 0(1.81)Здесь коэффициенты Клебша-Гордана определены в соответствии с [79],1 1 2 2т.е.

они являются вещественными. Поскольку коэффициенты Клебша-Горда­на обращаются в нуль при 1 + 2 ̸= , выполняется соотношение1 1 2 2′′. Тогда, используя определение функции = ′ ′ ℓℓ′′ ′ (1.18), ин­0 00 0теграл в равенстве (1.80) можно записать в видеZ**ℓ0 ′ (Ω )0 ′ (Ω ) 0 (Ω )Ω =)︁8 2(−1) (︁′′ℓ0 +√=(−1) + (−1)ℓℓ.′0 0 0 02 + 1 2 + 2 ′ 0(1.82)Подставляя это выражение в равенство (1.80), получим:4(−1)′√˜ ( )ℓ0 ( , 0) 0 02 + 2 ′ 0√︂∞)︁∑︁2 + 1 (︁′′ℓ0 + ^(−1) + (−1)ℓ× ( )′0 04[︀ ]︀Ψ0 ′ =×=0∑︁* (^p )ℓ.0 0 (1.83) =−Сумма по в этом выражении фактически является конечной из-за треуголь­ного условия для коэффициентов Клебша-Гордана: |ℓ0 − | ≤ ≤ ℓ0 + .

Ономожет быть записано как | − ℓ0 | ≤ ≤ + ℓ0 .Если выбрать направление оси совпадающим с направлением вектораp , то√︂* (^p ) = * (0, 0) = 02 + 1,4и выражение (1.83) можно привести к виду:+ℓ∑︁0[︀ ]︀˜0 ( )(−1)^Ψ0 ′ = 0ℓ0 ′ ( , 0) √ ( ) 0 2 + 2 ′ 0 =|−ℓ |0(︁)︁′′0× (2 + 1) (−1) + (−1)ℓ0 + ℓℓ.(1.84)′0 00 0 0Из-за наличия 0 , в сумме (1.76) остаётся только одно слагаемое по индексу , определяемое начальным состоянием мишени 0 .44Представление (1.84) существенно упрощается в двух важных случаях.Во-первых, если полный угловой момент системы = 0, то^ℓ0 ( )[︀ ]︀0+Ψ0 00 = ℓ0 ˜0 ( )ℓ0 0 ( , 0).ℓ0 0 (1.85)Ещё один простой случай отвечает ситуации, когда мишень до столкновениянаходится в -состоянии, т.е.

ℓ0 = 0 и 0 = 0. При этом единственное ненулевоеслагаемое в сумме из представления (1.84) есть = , и^[︀ ]︀2 + 1 ( )′√ ˜0 ( ).Ψ0 ′ = + 0 0 0 4(1.86)Как и следовало ожидать, единственная компонента, для которой правая частьне равна нулю, отвечает нулевому значению проекции ′ = 0 и, тем самым,только состояниям с положительной пространственной чётностью.Правая часть уравнения (1.71) для Ψ1 имеет структуру, совершенно анало­гичную правой части только что рассмотренного уравнения. Отличие состоитв потенциале: вместо внутреннего потенциала используется обрезанный по­тенциал(︀)︀ℎ(′ − ) (x , y ) − ( ) ,′ > .(1.87)Этот потенциал тоже является финитным, но поскольку ′ > , то функция (y , p0 ) требуется и в области > , так что необходимо пользоватьсяобоими представлениями в разложении (1.69).

Фактически, отличие состоит в^замене функции ( ) в уравнении (1.84) на другую явно заданную функ­цию на интервале [, ′ ]. Что касается правой части уравнения (1.74) для Φ1 , тоона не требует дополнительного анализа, так как в правой части стоит функцияΨ1 , которая определена как решение уравнения (1.71) и, тем самым, изначальнозадана в виде коэффициентов разложения по -функциям.Теперь, когда имеются представления в базисе симметризованных -функций ′ для гамильтониана системы (1.22) и правых частей в уравнени­ях (1.74, 1.71), для которых выполнены условия применимости внешнего ком­плексного вращения, можно применить преобразование Θ (1.32) по коорди­45натам , .

Характеристики

Список файлов диссертации

Единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел
Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее