Диссертация (1145383), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Поэтому функция Ψℓ = 0, Ψℓ (, 0) = 0, а также иметь асимптотическое поведение, аналогичноеповедению (1.38):ℓ +Ψℓ (, ) ∼ ℓ (, ) + ℓ ℓ (, ).(1.43)Амплитуда ℓ связана с фазовым сдвигом соотношением, аналогичным (1.39):ℓ=2 2ℓ −1.2(1.44)Заметим, что асимптотическая формула (1.43), выполняющаяся для больших, имеет смысл только для той части функции Ψℓ (, ), которая определенапри > . В области ≤ внешний потенциал тождественно равен нулю, () = 0. Таким образом, в силу требования регулярности в нуле, функция^Ψℓ (, ) должна быть пропорциональна функции Риккати-Бесселя ℓ [96]:^Ψℓ (, ) = ℓ ℓ () при ≤ .(1.45)На границе этих двух областей, = , функция Ψℓ (, ) должна быть непре­рывна вместе со своей производной.Важно отметить, что расщепление потенциала на внутреннюю и внешнюючасти и переход к уравнениям (1.41,1.42) не вносит в решение задачи никакихприближений.

Если соответствующие уравнения решены точно, получается точ­ное решение уравнения (1.37). Сама по себе такая переформулировка задачи не33имеет большой ценности: точное решение уравнения (1.41) найти не проще, чемисходного уравнения (1.37).Однако, возможно простое приближенное решение уравнения (1.41) длябольших , которое стремится к точному решению при увеличении . Для по­строения такого решения необходимо пренебречь короткодействующей частью () внешнего потенциала .

Это возможно, поскольку он убывает быстрее,чем 1/2 , и решение такой приближённой задачи стремится к решению точнойпри → ∞. Решение же для обрезанного кулоновского потенциала на всейполуоси может быть построено сшивкой явно известных решений: решения длянулевого потенциала для ≤ и решения для кулоновского потенциала для > :⎧⎨ ^ (), ≤ .ℓ ℓΨℓ (, ) =⎩ ℓ ℓ (, ) + + (, ), > .ℓ ℓ(1.46)Условия непрерывности для волновой функции и её производной в точке = завершают построение функции Ψℓ (, ):Ψ− 0) = Ψℓ (, ℓ (, + 0),⃒⃒⃒⃒ ⃒Ψℓ (, )⃒⃒Ψ=(,).ℓ⃒=−0=+0(1.47)Эти условия позволяют вычислить две неизвестные константы ℓ и ℓ в явномвиде:, (ℓ+ (, ), ^ℓ ())exp [2 arg ] − exp [2ℓ ]=.2ℓ =(1.48)ℓ(1.49)Здесь (, ) = () ′ () − () ′ () обозначает определитель Вронского, вы­численный в точке = . В случае отсутствия кулоновского потенциала, = 0,эти константы принимают значения ℓ = 1, ℓ = 0.Подставляя полученное выражение (1.46) в уравнение (1.42) и добавляя34граничные условия, получим следующую краевую задачу:⎧ (︀)︀⎪^⎪ℓ + − 2 Ψ (, ) = −⎪ℓ ℓ (),⎨Ψ (, 0) = 0,⎪⎪⎪⎩ Ψ (, ) ∼ ( − ) + (, ) при → ∞.ℓ(1.50)ℓЭта задача представляют собой окончательную формулировку задачи рассея­ния в терминах неоднородного уравнения Шредингера с расщеплённым потен­циалом, подходящую для применения метода комплексных вращений.Действительно, правая часть в уравнении (1.50) остаётся ограниченнойдля любых при применении внешнего комплексного вращения, оставляюще­го интервал [0, ] во внутренней области.

Поскольку кулоновская функцияℓ+ (, ) ведёт себя асимптотически как [96]ℓ+ (, ) ∼ (−ℓ/2− log 2) ,(1.51)то функция Ψ (, ) ведёт себя на бесконечности как расходящаяся волна, иприменение к граничной задаче комплексного вращения, определённого опера­тором Θ (1.32) для переменной , превращает её в задачу с нулевыми гранич­ными условиями в нуле и на бесконечности. Таким образом, после применениякомплексного вращения Θ (1.32) с радиусом ≥ , краевая задача для функ­ции Θ Ψ (, ) может быть записана в виде⎧(︁)︁(︀)︀ −12⎪^⎪ + − Θ Θ Ψ (, ) = −ℓ Θ ℓ () ,⎪⎨ Θ ℓΘ Ψ (, 0) = 0,⎪⎪⎪⎩ Ψ (, ) → 0 при → ∞.Θ (1.52)Важно отметить, что выбранное комплексное вращение не изменяет функциюΨ (, ) в области < .

Задача (1.52) не содержит никаких неизвестныхобъектов (например, амплитуд) и может быть решена без привлечения допол­нительных соображений.После получения функции Ψ (, ) на интервале [0, ] можно воспользо­ваться её асимптотическим представлением в задаче (1.50) и найти амплитуду35( − ℓ ) по значению функции Ψ (, ).

Поскольку амплитуда ℓ известнаявно (1.49), можно определить и полное значение амплитуды рассеяния .Поскольку полный и аккуратный анализ двухчастичной задачи не являет­ся целью данной работы, в данном разделе опущены многие детали. Они могутбыть найдены в соответствующих работах: анализ интегральных уравнений,интегральные представления амплитуд рассеяния в [45, 50, 55], анализ много­канального случая с кулоновским потенциалом в [56, 58].1.4.2.

Граничная задача для трёхчастичного рассеянияВ этом разделе будет сформулирована граничная задача для рассеяниятрёх частиц, взаимодействующих потенциалами, являющимися асимптотическикулоновскими. Эта задача должна допускать применение комплексного враще­ния, так чтобы модифицированная задача после вращения обладала нулевымиграничными условиями. Для её построения также будет применяться метод рас­щепления потенциала.

Решение переформулированной задачи, так же как и вдвухчастичном случае, распадается на два независимых шага: на первом эта­пе вычисляется волновая функция, а на втором по уже вычисленной волновойфункции восстанавливаются амплитуды.Перейдём к формулировке граничной задачи рассеяния для уравнения (1.7).Будем рассматривать процессы рассеяния 2 → 3, то есть процессы, в которыходна частица рассеивается на связанном состоянии двух других частиц. Обо­значим (x ) и − волновую функцию связанного состояния двухчастичногогамильтониана и энергию связи этого состояния.

Для того, чтобы полностью за­дать двухчастичное связанное состояние, введём мультииндекс , включающийв себя индекс пары , радиальное , азимутальное и магнитное квантовыечисла, так что = {; , , }. Таким образом, волновая функция (x ) за­писывается в виде (x ) = ˜ ( ) (^x ),36^ = x / ,x(1.53)где ˜ ( ) – радиальная волновая функция.Пусть p – импульс налетающей частицы, так что полная энергия системыравна = 2 − 0 , 0 где отвечает начальному состоянию мишени. Тогда пол­ная волновая функция системы имеет следующее асимптотическое поведениена больших расстояниях [16]Ψ(X)∼→∞0 (X; p )+∑︁^ p )0 (, ).

(x )0 (^y , ) ( , )+00 (X;(1.54)Здесь – гиперрадиус, = (2 + 2 )1/2 , а мультииндекс = {; ′ , ′ , ′ }определяет связанное состояние в паре . В данном выражении этот индекспробегает по всем возможным связанным состояниям во всех трёх парах коор­динат Якоби. Эта сумма может быть как конечной, так и бесконечной. Функция0 задаёт приходящую кулоновскую волну,0 (X; p ) = 0 (x ) exp{(p , y )}−0 /2 Γ(1+0 )Φ(−0 , 1, −(p , y )),(1.55)где Φ(, , ) – конфлюэнтная гипергеометрическая функция [96]. Парные потен­циалы состоят из кулоновской и короткодействующей частей, (x ) = / + (x ), и параметры Зоммерфельда и эффективные заряды определены в тер­минах зарядов частиц: = √,2 + =∑︁(1.56) /| |.̸=Искажённые сферические волны ( , ) и 0 (, ) определены в терминахкулоновских фаз и 0 как ( , ) = exp {√︀ + + }−1 ,√0 (, ) = exp { + 0 }−5/2 ,√︀ = − ln 2 + ,0 = − √2 ∑︁ √ln 2 .(1.57)(1.58)Амплитуды 0 (^y , ), ̸= 0 , описывают процессы возбуждения и пере­^ p ) – процессы трёхчастичного развала (иониза­стройки, а амплитуда 00 (X;37ции).

Полная амплитуда упругого рассеяния определяется суммой кулоновской,порождённой приходящей кулоновской волной (1.55), и гладкой частей:˜0 0 Γ(1 + 0 )=− 02 Γ(1 − 0 )(︃˜2 sin2)︃−1−0+ 0 0 ,(1.59)^ ).где cos ˜ = (^y , pНеобходимо пояснить, что формула (1.54) записана несколько формаль­но. Фактически, каждое её слагаемое (помимо приходящей волны) описываетасимптотическое поведение в той области конфигурационного пространства,где оно убывает наиболее медленно, и не вносит вклад в других областях. Такимобразом, в общем случае выделяются три различные области. Первая область,0 < const, 0 → ∞, содержит слагаемые, описывающие упругое рассеяние ипроцессы возбуждения мишени. Вторая область, < const, → ∞, ̸= 0 ,содержит слагаемые, описывающие процессы перестройки.

Наконец, область, → ∞ содержит слагаемые, отвечающие трёхчастичному развалу. Для ка­кой-то конкретной физической системы и определённого значения её энергии,некоторые из этих слагаемых могут отсутствовать (соответствующие каналырассеяния будут закрыты). Однако, всегда будет присутствовать канал упруго­го рассеяния, = 0 .Для решения уравнения Шредингера (1.7), можно искать волновую функ­цию в видеΨ(x , y ) = (X; p ) + Φ(x , y ).(1.60)Тогда функция Φ(x , y ) удовлетворяет неоднородному уравнению:(0 + (X) − ) Φ(x , y ) = −∑︁ ( ) (X; p ).(1.61)̸=Как показывают представления (1.57,1.58), во всех асимптотических областяхфункция Φ(x , y ) ведёт себя как расходящаяся волна. Таким образом, к урав­нению (1.61) может быть применено комплексное вращение (1.32) при условии,что правая часть этого уравнения остаётся при таком вращении ограниченной38функцией.

Содержащаяся в правой части кулоновская волна содержит как рас­ходящиеся, так и сходящиеся волны. Следовательно, ограниченность правойчасти может достигаться только за счёт потенциала. Она возможна, если по­тенциалы быстро (экспоненциально) убывают, или же они искусственно “обре­заны” в случае, когда эта срезка не искажает асимптотическое поведение вол­новой функции. Для кулоновских потенциалов такая срезка, в общем случае,невозможна. Таким образом, для применения комплексного вращения к урав­нению (1.61) его необходимо модифицировать. Один из возможных методовмодификации – использование метода расщепления потенциала, к описаниюкоторого в трехчастичном случае мы и переходим.1.4.3. Метод расщепления потенциалаВведём потенциал канала реакции (x , y ), то есть потенциал, действу­ющий между налетающей частицей и парой, как (x , y ) = (x , y ) − (x ) =∑︁ (x ).(1.62)̸=Разделим этот потенциал на два, внутренний и внешний так, что (x , y ) = (x , y ) + (x , y ).(1.63)Внутренний потенциал определяется следующим образом:⎧⎨ , =⎩ 0, ≤ , > ,(1.64)а внешний = − .

Радиус расщепления может быть выбран произ­вольным. Определим возмущённую падающую волну Ψ (x , y ) как решениезадачи рассеяния для суммы парного (x ) и внешнего (x , y ) потенциа­лов:(︀)︀0 + (x ) + (x , y ) − Ψ (x , y ) = 0.39(1.65)Определим функцию Φ(x , y ) как разность Φ = Ψ − Ψ . Она удовлетворяетнеоднородному уравнению Шредингера(0 + (x , y ) − ) Φ(x , y ) = − (x , y )Ψ (x , y ).(1.66)Перейдём к построению функции Ψ . В отличии от двухчастичного слу­чая (1.46), эта функция не может быть построена точно даже для нулевогокороткодействующего потенциала (x ). В связи с этим, разобьём её на дваслагаемых,Ψ = Ψ0 + Ψ1 .(1.67)Первое слагаемое, Ψ0 (x , y ), является решением уравнения (1.65), в которомвнешний потенциал заменён на старший член его асимптотики по 1/ , (x , y ) → ( ) = ℎ( −) / , где ℎ() – ступенчатая функция Хэ­висайда.

Характеристики

Список файлов диссертации