Диссертация (1145383), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

– сужение на R функции (также обозначаемой далее как ) анали­тичной на усечённом конусе для любого > 0 и некоторого достаточнобольшого > 0.Тогда спектр оператора (Θ) описывается следующей теоремой [7, 11, 75]:Теорема 1.Пусть (Θ) – семейство операторов (1.30) с потенциалом ,удовлетворяющим условиям из определения 1. Тогда для любого Θ ∈ 0 вы­полнено:1)ess ((Θ)) = { ∈ C | arg = −2 arg(1 + Θ)}.2) Пусть ℛ() – множество резонансов, определённых в теории Агилара­Балслева-Комба, а Θ− – открытая область в C− , ограниченная R+ и ess ((Θ))для Θ ∈ 0 ∩ C+ .

Тогдаd ((Θ)) ∩ Θ− ⊂ ℛ().Таким образом, резонансы в этом секторе зависят только от и не зави­сят от параметра (угла) вращения Θ. Каждое резонансное собственное значе­ние имеет конечную кратность, а единственная возможная предельная точка –нуль. Хотя каждое резонансное собственное значение не зависит от Θ, их общее−количество в области Θзависит от Θ, поскольку сама область зависит от Θ.26Исходный дискретный спектр оператора (0) не меняется при вращениях, иэти собственные значения также являются собственными значениями (Θ).Теорема 1 описывает спектр деформированного гамильтониана двухча­стичной квантовой системы.

Для систем, состоящих из трёх и более частиц,аналогичный результат описывается сложнее. Дело в том, что спектр такой си­стемы включает, как правило, несколько ветвей непрерывного спектра, и каж­дая из них при комплексном вращении поворачивается в комплексную область.Для каждого кластерного разложения = {1 , . . . } обозначим Σ (Θ) ={1 + . . . + : ∈ ( (Θ))}. Положим Σmin = min{ : ∈ Σ(0)}. Об­щее описание спектра трёхчастичного гамильтониана (Θ) даётся следующейтеоремой [11, 75]:Теорема 2.Пусть – трёхчастичный гамильтониан в 2 (R6 ) с парнымипотенциалами, удовлетворяющими условиям в определении 1. Тогда1) ((Θ)) и Σ(Θ) зависят только от ImΘ.2) ((Θ)) = ess (Θ) ∪ d (Θ), где ess (Θ) = { + −2Θ | ∈ Σ(Θ) ∈ [0, ∞)}и где d (Θ) – дискретный спектр (Θ).3) d (Θ) = d (Θ), Σ(Θ) = Σ(Θ).4) Если 0 ≤ ImΘ ≤ min{, /2}, тоΣ(Θ) ⊂ R ∪ {Σmin + | − 2ImΘ < arg < 0}и ∩ Σ(Θ) = Σ(0).

При этом если 0 < Im < ImΘ < /2, то Σ() ⊂ Σ(Θ).Аналогичное свойство выполняется и для дискретного спектра d (Θ).Важно отметить, что ветви (лучи) непрерывного спектра оператора (Θ)могут начинаться в любых точках Σ(Θ), в том числе отвечающих резонансам впарных подсистемах. В двухчастичных кулоновских системах резонансы отсут­ствуют, так что трёхчастичные кулоновские системы не содержат непрерывныхветвей резонансов.

Однако, в системах с другими потенциалами такие ветвимогут присутствовать, смотри параграф 4.4, посвящённый резонансам ядра уг­лерода12C.271.3.2. Представление трёхчастичного гамильтониана с комплекснымвращениемДля того, чтобы найти представление компонент гамильтониана (1.23, 1.24)после применения комплексного вращения, выберем комплексное преобразова­ние координат, в соответствии с (1.30) в виде [32, 92] → ( ) = + ( ), → ( ) = + ( ),(1.31)где = exp(Θ) − 1, а Θ – угол комплексного вращения. Заметим, что пара­метр Θ теперь переопределён по сравнению с разделом 1.3.1, старую роль Θвыполняет теперь .

Функция () задаёт одномерное, одинаковое для каждойкоординаты, отображение полуоси, варианты её выбора будут описаны ниже.Угловая переменная при выбранном комплексном вращении не изменяется.Определим оператор Θ , осуществляющий замену координат в волновойфункции Ψ ′ ( , , ), какΘ Ψ ′ ( , , ) = ( )( )Ψ ′ (( ), ( ), ),где введено обозначение () =√︀|()/| =(1.32)√︀|1 + ′ ()|. Как было отмеченов работе [25], оказывается удобным записывать уравнения для функции ΨΘ ≡Ψ ′ (( ), ( ), ) без множителей ( )( ).

Это представление обладаеттем преимуществом, что функция ΨΘ , в отличии от ( )( )ΨΘ , являетсянепрерывной даже для “острого” (см. ниже) комплексного вращения.Компоненты повёрнутого гамильтониана (Θ) = Θ Θ−1 , действующего28на функции Ψ ′ (( ), ( ), ), записываются в виде^(︂)︂122′ ( )2= − 4−− ( ) 22 ( )( )5 ( ) (︂)︂122′ ( )2− 4−− ( ) 22 ( )( )5 ( ) ( + 1) − 2 2+ (( ), ( ), )+2 ( )(︂)︂ (︂ 2)︂121−++ cot −2 ( ) 2 ( )2 sin2 (1.33)для диагональных частей (1.23), и± (, ) √︀^^==±1 + 0 ′ 1 + 1 ′ 0 ×′′ ±12 ( )(︂)︂+ (1 ± ∓ ) cot (1.34)для внедиагональных частей (1.24).Таким образом, уравнение (1.22) с компонентами гамильтониана (1.33,1.34) может быть использовано для вычисления резонансов в квантовых трёх­частичных системах.

Так как резонансы системы определяются точками дис­кретного спектра оператора (Θ), граничные условия для волновой функции(в том числе условие (1.25)) остаются такими же, как и в случае поиска связан­ных состояний системы.В заключении этого параграфа, рассмотрим некоторые распространённыеварианты выбора функции (). Выбор () = отвечает ситуации, когда ( ) =exp(Θ) . Такой тип комплексного поворота будет в дальнейшем называтьсяоднородным комплексным вращением. Другой распространённый подход, такназываемое “острое” внешнее комплексное вращение [25, 90, 93, 94], определя­ется формулой() =⎧⎨0,⎩ − , ≤ , > .(1.35)Преобразованная координата () при таком выборе непрерывна, однако её про­изводная имеет разрыв в точке внешнего поворота = .

Таким образом, враще­ние (1.35) не может быть непосредственно использовано в представлении (1.33),29так как в него входит вторая производная (). Однако, если переписать диффе­ренциальное уравнение в виде вариационной задачи, см. главу 2, такая возмож­ность появляется. Альтернативно, для обработки разрыва производной можноиспользовать потенциал нулевого радиуса [93] или специально выбранные гра­ничные условия в точке разрыва [25, 94].В данной работе в основном используется гладкое внешнее комплексноевращение, введённое в работе [32]() =⎧⎨0, ≤ ,(1.36) > ,⎩ ( − )(︀1 − exp(−( − )2 ))︀ ,где – параметр кривизны. Этот параметр не имеет явного физического смыс­ла, и выбирается, как правило, в процессе численного исследования задачи.Необходимо заметить, что результаты не должны зависеть от выбранного зна­чения . Как сама функция (), так и её производная непрерывны на всей оси,включая точку вращения .

Предельный случай → ∞ описывает “острое”внешнее комплексное вращение, а значения параметров = 0 и = ∞ отвеча­ют однородному комплексному вращению. Схематическое поведение различныхтипов комплексного вращения проиллюстрировано на рисунке 1.1.ImxImxΘImxΘR e xQΘR e xQR e xРис. 1.1. Три типа комплексного вращения (слева направо): однородное, “острое” внешнее игладкое внешнее комплексное вращение.301.4. Задача рассеяния для трёх частиц1.4.1. Задача рассеяния для двух кулоновских частиц: методрасщепления потенциалаАсимптотические граничные условия для задачи рассеяния в координат­ном пространстве традиционно формулируются в виде суперпозиции падаю­щей и рассеянной волн. Для двухчастичной задачи, уравнение Шредингера спомощью парциального анализа сводится к системе одномерных дифференци­альных уравнений, и асимптотические граничные условия могут быть простодобавлены к этой системе.

Для систем большего числа частиц асимптотическиеграничные условия весьма сложны [16], а их использование в расчётах без техили иных приближений часто оказывается проблематичным. Таким образом,как было указано во введении к этой главе, требуется подход, позволяющийсвести задачу рассеяния заряженных частиц к задаче с нулевыми граничнымиусловиями.В данном разделе будет коротко описана идея метода расщепления потен­циала на простейшем примере одноканального двухчастичного рассеяния.

Вэтом описании будут введены обозначения, которые также потребуются в трёх­частичном случае. Доказательства в данном изложении не приводятся, они мо­гут быть найдены в работах [45, 50].Рассматривается задача рассеяния для системы из двух частиц с взаимо­действием между частицами, зависящим только от расстояния между ними.Такая задача эквивалентна задаче рассеяния одной частицы в поле централь­ного потенциала, центр которого совпадает с центром масс исходных частиц.Трёхмерное уравнение Шредингера в атомных единицах для частиц с энергией сводится стандартным образом [76, 95] к системе уравнений для парциаль­√ных волн Ψℓ (, ) с определённым угловым моментом ℓ и импульсом = .31Полная волновая функция Ψ(, ) представляется в виде∞1 ∑︁ ℓ (2ℓ + 1)Ψℓ (, )ℓ (cos ),Ψ(, ) ==0где – угол между направлениями рассеяния и радиус-вектором, соединяю­^ .

Функция Ψℓ (, ) является решением парциальногощим частицы, cos = (^, )уравнения Шрёдингера(︀)︀ℓ + − 2 Ψℓ = 0(1.37)с гамильтонианом ℓ = −2 /2 +ℓ(ℓ+1)/2 и взаимодействием () = 2/+ (), где – параметр Зоммерфельда. Здесь предполагается, что потенциал на больших расстояниях убывает быстрее, чем 1/2 , и в дальнейшем он будетназываться короткодействующим потенциалом.Решение уравнения (1.37), описывающее процесс рассеяния, должно удо­влетворять граничному условию в нуле, Ψℓ (, 0) = 0, и вести себя асимптотиче­ски какΨℓ (, ) ∼ ℓ ℓ (, ) + ℓ ℓ+ (, )(1.38)при → ∞. Здесь ℓ± = ∓ℓ (ℓ ± ℓ ), где через ℓ (ℓ ) обозначена регулярная(иррегулярная) кулоновская волновая функция [96], а ℓ = arg Γ(1 + ℓ + )обозначает кулоновский фазовый сдвиг.

Амплитуда рассеяния2ℓ ℓ = 2ℓ−12(1.39)определяется фазовым сдвигом ℓ , который появляется из-за наличия потенци­ала .Переформулируем задачу в терминах неоднородного уравнения Шрёдин­гера. Представим для этого потенциал в виде суммы = + ,где внутренний потенциал определён уравнением (1.1), а внешний потенциал = − . Будем искать полную волновую функцию в виде суммыΨℓ = Ψ + Ψℓ ,32(1.40)где искажённая падающая волна Ψопределяется лишь внешним потенциа­ℓлом:(ℓ + − 2 )Ψ= 0.ℓ(1.41)Теперь для функции Ψ получаем неоднородное уравнение(ℓ + − 2 )Ψ = − Ψℓ .(1.42)Решение уравнения (1.41) строится таким образом, что оно включает в себядолжна быть регулярной припадающую волну ℓ ℓ .

Характеристики

Список файлов диссертации