Диссертация (1145383), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Для координат внутри плоскости. определённой положениемтрёх частиц, эти формулы задаются соотношениями (1.10), для удобства пере52писанными здесь с необходимой нумерацией: = (2 2 + 2 2 + 2 cos )1/2 , = (2 2 + 2 2 − 2 cos )1/2 ,cos = [ (2 − 2 ) + (2 − 2 ) cos ]/( ).(1.107)Для канала с индексом , формулы (1.97, 1.98, 1.99) дают соответствующиеуглы, но с индексом .
Для того, чтобы найти углы Эйлера с индексом ,используется вращение, обратное вращению (1.11):ℛ( , , ) = ℛ( , , )ℛ(0, , 0),(1.108)где cot = cot + /( sin ), а ℛ – матрица вращения [79]. Явнымобразом углы записываются какsin ,sin = cos cos − sin sin cos ,sin = cos cot + cot .sin cot ( − ) = cos cot + cot cos cot (1.109)Представление амплитуды для каналов перестройки в случае нулевого полного углового момента имеет ту же структуру, что и для прямого канала (1.100):2ZZZ10 (^y , ) = √ 2 ˜ ( ) sin ℓ*′ ′ (^x )Φ0+00 ( , , ).2 ( , )000(1.110)Единственное, но важное отличие находится в аргументах функции Φ0+00 : онизаданы в начальном канале , отличающемся от конечного , и даются соотношениями (1.107).
Таким образом, вычисление амплитуд в каналах перестройкиболее трудоёмко, хотя и остаётся формально тем же трёхкратным интегралом.1.5. Выводы к первой главеВ первой главе представлены аналитические методы, используемые далеедля реализации вычислительных методов и анализа конкретных физических53систем. Представление полного углового момента для трёхчастичного уравнения Шредингера сводит исходное шестимерное уравнение к конечной системетрёхмерных дифференциальных уравнений в частных производных. Использование в этом представлении симметризованных -функций Вигнера позволяетучесть все неспецифические симметрии, имеющиеся в системе. Симметрии, возникающие из-за возможной тождественности частиц, обсуждаются при анализесистем, обладающих этими симметриями.
Метод внешнего комплексного вращения позволяет модифицировать оператор уравнения Шредингера таким образом, что собственные значения этого модифицированного оператора совпадаютс положением резонансных состояний системы, позволяя вычислять их корректно и эффективно. Модифицированный оператор при этом больше не являетсясимметричным, что несколько ограничивает в дальнейшем выбор методов егоспектрального анализа.На основе внешнего комплексного вращения оказывается возможной разработка подхода и для решения задачи рассеяния. Для случая наличия асимптотического кулоновского взаимодействия, в данной работе развит метод расщепления потенциала, позволивший применить комплексное вращение и к таким системам. Получены полные уравнения метода расщепления потенциала инайдены выражения для них в представлении полного углового момента.
Полная формулировка метода расщепления позволяет провести анализ погрешности при отбрасывании вспомогательного уравнения и расчёта только с главнымуравнением. С помощью сравнения с тестовыми функциями, получены общиепредставления для амплитуд рассеяния. Проведён их подробный анализ длянекоторых простых случаев.В данной работе не рассматривается (за исключением некоторых результатов в модели Темкина-Поэта, Глава 5) вычисление сечений ионизации. Ихвычисление с использованием тестовых функций возможно, однако требует решения задачи в большой пространственной области для достижения высокойточности.
Кроме того, высокой оказывается погрешность в двухчастичных обла54стях, где преобладают медленно убывающие трёхмерные сферические волны. Вработах [97, 99, 100] был предложен подход, использующий параметризацию Петеркопа [17] для функции двухэлектронного континуума. Однако результаты,полученные подобным образом, содержат фазовый множитель, стремящийся кбесконечности при увеличении области решения задачи. Хотя он не влияет нафизические наблюдаемые, подобная ситуация вряд ли может рассматриватьсяудовлетворительной с теоретической, а не только вычислительной, точки зрения. Дополнительное обсуждение вопросов, связанных с вычислением сеченийионизации, можно найти в работах [97, 101, 102] и приведённых в них ссылках.55Глава 2Вычислительные методы2.1.
ВведениеДля решения задач на собственные значения (1.22) и поиска решений систем линейных уравнений (1.88) могут применяться разнообразные численныеметоды. Среди методов, применяемых для решения подобных уравнений и задач, наиболее распространены конечно-разностные схемы [102–105], различныеметоды разложения по базисам [4, 5, 106] и сплайн-аппроксимации [77, 107, 108].Вычислительный подход, разработанный в данной работе для решенияуравнения (2.1), основан на методе конечных элементов (МКЭ) [109–111].
МКЭвозник в начале 50-х годов в инженерных приложениях теории упругости, см.обзор в [111]. Вскоре был развит и математический аппарат МКЭ [109, 110, 112].Огромная распространённость и успешность МКЭ в технических приложенияхобусловлена простотой, в сравнении с конечно-разностными методами, описания двух- и трёхмерных областей со сложными границами. В квантовомеханических (особенно атомных и молекулярных) приложениях область решениязадачи, как правило, достаточно проста, и это преимущество МКЭ не являетсястоль важным.
Однако, хорошо разработанная теория, возможность простоговыбора и изменения порядка аппроксимации, степени гладкости решения, аккуратная оценка погрешности решения позволили успешно применять МКЭ дляисследования задач квантовой физики. Можно отметить применения к проблемам физики твёрдого тела [113], для расчётов связанных состояний [114–117],резонансов [68, 94] и изучения процессов рассеяния [25, 118–120]. МКЭ является весьма гибким, что позволило, например, в работах [121–123] использоватьметод дискретных переменных на каждом отдельном конечном элементе и построить эффективный комбинированный метод, использованный для расчёта56рассеяния электрона на атоме водорода.Изложение, приведённое в данной главе, основано на результатах работ [52,57, 62, 124, 125].2.2.
Вариационное уравнениеДля использования МКЭ, перепишем в первую очередь уравнения (1.22,1.88) в слабой форме (в форме интегральных тождеств). Нужно заметить, чтооператоры в уравнениях (1.22, 1.88) после применения комплексного вращенияне являются даже симметричными, поэтому соответствующие задачи не могутбыть переписаны в виде задач минимизации функционалов.В обоих рассматриваемых уравнениях (1.22, 1.88) используется один и тотже оператор. Запишем линейное уравнение с этим оператором, определённымвыражениями (1.33, 1.34), в слабой форме. Будем искать решение исходногошестимерного уравнения среди функций из пространства L2 (R6 ).
После отделения углов Якоби, компоненты решения Ψ ′ ≡ Ψ ′ (( ), ( ), ) должныпринадлежать пространству функций L2 ( × × ). Мера x y в исходномшестимерном пространстве индуцирует меру 2 2 sin в пространстве каждой из компонент решения. Следовательно, вариационная задача дляфункции Ψ, состоящей из компонент Ψ ′ , записывается следующим образом:найти Ψ ∈ L2 ( × × ) такую, что для любой Ψ̃ ∈ L2 ( × × ) выполняется равенство:^^(Ψ,Ψ̃) − (Ψ,Ψ̃) = ^ (Ψ̃).(2.1)^^Билинейные формы (Ψ,Ψ̃) и (Ψ,Ψ̃) являются матрицами по индексам компонент.
Большинство их матричных элементов равны нулю из-за свойств ортогональности функций (1.19). Все ненулевые матричные элементы задаются57выражениями:Z(︃1 Ψ1 Ψ Ψ̃ Ψ̃+2 ( ) 2 ( ) [︂]︂2(+1)−2+ Ψ+ (( ), ( ), ) Ψ̃2 ( )]︃)︃]︂ [︃ [︂21Ψ Ψ̃1 + 2+ Ψ+, (2.2) Ψ̃2 ( ) ( ) sin2 ^ (Ψ, Ψ̃) =Z√︀^ ±1 (Ψ, Ψ̃) = ± ± (, ) 1 + 0 ′ 1 + 1 ′ 0 ×2 ( )(︂ )︂Ψ+ (1 ± ∓ ) cot Ψ Ψ̃ ±1 ,Z^ (Ψ, Ψ̃) = Ψ Ψ̃ .(2.3)(2.4)Линейная форма ^ (Ψ) является вектором по индексам компонент,Z^ (Ψ) = Ψ ,(2.5)где определено в правой части уравнения (1.88). Мера в приведённыхвыше интегралах задаётся как = 2 ( )2 ( )2 ( )2 ( ) sin ,а интегрирование ведётся по областиR∞0R∞0R0(2.6) .
Для задачи рассеяния энергия в уравнении (2.1) задана, и требуется решить вариационноеуравнение. Для задач поиска связанных состояний и резонансов правая частьв (2.1) равна нулю, ^ (Ψ) = 0, и требуется решить обобщённую задачу на собственные значения.Уравнение (2.1) сформулировано для функций из пространства L2 . Еслипотенциалы взаимодействия являются достаточно гладкими, то решения уравнения Шредингера также обладают повышенной гладкостью, в частности, принадлежат пространству Соболева H1 с квадратично интегрируемой первой про^ ′ также коризводной [112]. Матричные элементы квадратичной формы 58ректно определены для функций из пространства H1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
