Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1145383), страница 4

Файл №1145383 Диссертация (Единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел) 4 страницаДиссертация (1145383) страница 42019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Потенциал взаимодействия системы (X) может включать какпарные потенциалы различного типа, так и трёхчастичные потенциалы. Каж­дый парный потенциал зависит только от значения x /√︀2 .Более подробно вид (X) для разных исследуемых систем будет обсуж­даться ниже.Волновая функция системы Ψ(X) удовлетворяет шестимерному уравне­нию Шредингера:(0 + (X) − ) Ψ(X) = 0.(1.7)В зависимости от типа проблемы, необходимо решать разные задачи для этогоуравнения. Исследование связанных состояний приводит к задаче на собствен­ные значения, а исследование процессов рассеяния – к линейной задаче.

Для18исследования резонансных состояний и построения метода расщепления потен­циала для решения задачи рассеяния, гамильтониан и уравнение (1.7) долж­ны быть модифицированы с помощью метода комплексного вращения, см. 1.3.Для анализа уравнения (1.7), в первую очередь нужно исследовать егосвойства симметрии. Для этого удобно перейти в другое представление дляшестимерного вектора X:X = { , , , Ω },(1.8) = 1, 2, 3.Здесь cos = (x , y )/( ), так что первые три координаты описывают кон­фигурацию системы в плоскости, содержащей все три частицы.

Ориентацияплоскости по отношению к неподвижной системе координат определяется тре­мя углами Эйлера Ω = { , , }.В координатах (1.8) вектора x и y могут быть записаны как⎛⎞0⎜ ⎟⎜ ⎟x = R( , , ) ⎜ 0 ⎟ ,⎝ ⎠1⎛sin ⎜⎜y = R( , , ) ⎜ 0⎝cos ⎞⎟⎟⎟,⎠(1.9)где R – матрица поворота [79]. Координаты (1.8) с различными индексами связа­ны (1.4), что приводит к следующему соотношению между наборами координат{ , , cos } и { , , cos }: = (2 2 + 2 2 + 2 cos )1/2 , = (2 2 + 2 2 − 2 cos )1/2 ,(1.10)cos = ( (2 − 2 ) + (2 − 2 ) cos )/( ).Соответствующие матрицы поворота связаны одним вращением так, чтоR( , , ) = R( , , )R(0, , 0),(1.11)где cot = cot + /( sin ).Уравнения (1.9) позволяют записать трёхчастичные операторы в коорди­натах (1.8). Например, квадрат оператора полного углового момента J2 и его19проекция J на ось неподвижной системы координат могут быть представле­ны в виде:J2J21= −+cot+2 sin2 = −.[︂(︂222−2cos+2 2)︂]︂,(1.12)Свободный гамильтониан 0 в координатах (1.8) принимает вид:222 2 0 = − 2 −− 2 − (︂ )︂ (︂ 2)︂)︀2111 (︀ 21−++cot++J−K.

1.13) (2 22 sin2 22Здесь оператор K описывает кориолисово взаимодействие, возникающее из-завращения трёхчастичной системы как целого [70],[︂]︂√ (︀ +√(︀)︀)︀2−J + J−,K = −2 2 +22 cot J+ − J +(1.14)а циклические компоненты оператора углового момента задаются соотношени­ями]︂[︂ ∓1=√ +∓.(1.15)± cot sin 2Cо свободным гамильтонианом 0 коммутируют три оператора: квадратJ±полного углового момента J2 , его проекция на ось лабораторной системы коор­динат J и оператор полной инверсии координат tot .

Оператор tot определя­ется своим действием на координаты как⎛tot : (X → −X) = ⎝ → → cos → cos → + → − → − ⎞⎠.(1.16)Если потенциал взаимодействия (X) зависит только от расстояний междучастицами, то эти операторы коммутируют и с полным гамильтонианом (1.6).Собственными функциями операторов J2 , J и tot являются симметризованные20-функции Вигнера ′:J2 ′ = ( + 1) ′ ,(1.17)J ′ = − ′ ,tot ′ = ′ , = ±(−1) ,определённые в терминах стандартных -функций [79] соотношением, подоб­ным использованному в работе [73]:′≡ ′ ( , , ))︁(−1) (︁′ =√(−1) ′ + (−1) − ′ .2 + 2 ′ 0(1.18)Нормировка симметризованных функций выбрана так, чтоZ (︁)︁*1 1′ (Ω )1 12 2′ (Ω )Ω2 28 2 ′ ′ .=21 + 1 1 2 1 2 1 2 1 2(1.19)Заметим также, что оператор проекции J на ось ′ вращающейся системы ко­ординат, J ′ = −/ , действует на -функцию как J ′ ′ ( , , ) =− ′ ′ ( , , ).Волновая функция системы Ψ(X) в представлении полного углового мо­мента характеризуется квантовыми числами полного углового момента , егопроекции и полной чётности .

Для представления волновой функции в даль­нейшем будут использоваться комплексно-сопряжённые -функции, ′(︀)︀*=−− ′ :Ψ (X)=∑︁(︀′)︀*( , , ) Ψ ′ ( , , ).(1.20) ′ =0−Поскольку 0 ≡ 0, то для отрицательной чётности суммирование в (1.20)фактически происходит начиная с ′ = 1. Для сопряжённых -функций вы­полняются соотношения(︀ )︀*(︀ )︀* ′ ,J =′(︀ )︀*(︀ − )︀*′ ′ .J ′ =′(1.21)Следует заметить, что второй оператор меняет чётность симметризованнойфункции.21Подстановка представления (1.20) в уравнение Шредингера (1.7) и проеци­рование на функции (1.18) приводит к системе уравнений [4, 70–73]∑︁(︀)︀ ′ Ψ−′ ′ ( , , ) = 0, = 0, .

. . , .(1.22) ′ =0Здесь диагональные компоненты матричного оператора задаются форму­^ лами = 1 + (1/2) ( (−1) − 1) 0 , где(︀)︀1 21 2( + 1) − 2 2^ = − − ++ ( , , ) 2 22)︂(︂)︂ (︂ 2121.(1.23)−++ cot −2 22 sin2 Внедиагональные компоненты порождаются оператором кориолисова взаимо­действия K и отличны от нуля, только когда ′ = ± 1. Эти компоненты мо­^ гут быть представлены в виде ′ = 1 + (1/2) ( (−1) − 1)( 0 + ′ 0 ) ′ ,(︀)︀где± (, ) √︀^^==±1 + 0 ′ 1 + 1 ′ 0 ×′′ ±12(︂)︂(1.24)+ (1 ± ∓ ) cot ,√︀и ± (, ) = ( + 1) − ( ± 1).

Множители, стоящие перед компонента­^ ′ , обеспечивают нулевые значения этих компонент для = 0 и ′ = 0ми в случае отрицательной чётности.Уравнение (1.22) представляет собой две несвязанные системы трёхмер­ных дифференциальных уравнений для двух значений чётности. Система дляположительной чётности состоит из уравнений, а система для отрицательной– из ( − 1) уравнений. Матрицы обеих систем являются блочно-трёхдиаго­нальными. Связанные состояния квантовой системы отвечают точкам дискрет­ного спектра уравнения (1.22). Это уравнение также будет использовано (посленекоторых модификаций, смотри параграф 1.3) для определения резонансныхсостояний системы.22Для корректной формулировки уравнения (1.22) и его последующего ре­шения, уравнение нужно дополнить граничными условиями. В силу ограничен­ности полной волновой функции квантовой системы, функции Ψ ′ ( , , )должны быть ограничены при = 0, = 0.

Для связанных состояний, в силуквадратичной интегрируемости решения, нужно наложить условие убыванияна бесконечности:Ψ ′ ( , , ) = 0 при → ∞ или → ∞.(1.25)Граничное условие по переменной формулируется следующим образом: функ­ция′(1.26)Ψ ′ ( , , )/ sin должна быть ограничена.В приложениях часто бывает удобно пользоваться не приведёнными коор­динатами Якоби (1.2), а обычными координатами Якоби {x̃ , ỹ }. Они отлича­ются от координат (1.2) отсутствием массовых множителей,x =√︀2 x̃ ,y =√︀2, ỹ .(1.27)Расстояния r = r − r между частицами проще выражаются именно в этихкоординатах:r = x̃ ,r = ỹ +x̃ , + r = ỹ −x̃ . + (1.28)Структура уравнений при этом не изменяется, а выражения для операторов^ ′ принимают вид^^′[︂]︂211 2( + 1) − 2 2˜ −˜ ++ (˜ , ˜ , )= −2 ˜ ˜22, ˜ ˜2˜2(︂)︂ (︂ 2)︂112−++ cot −,(1.29)2 ˜2 2, ˜22 sin2 (︂)︂± (, ) √︀= ±1 + 0 ′ 1 + 1 ′ 0+ (1 ± ) cot ,2, ˜21для ′ = ± 1.231.3.

Резонансные состояния и метод комплексноговращенияКак уже говорилось, резонансные состояния системы, описываемой га­мильтонианом , не соответствуют непосредственно никаким спектральнымсвойствам самосопряжённого оператора . Поскольку энергии резонансов ком­плексны, квадратично интегрируемые собственные функции оператора приэтих энергиях не существуют. Тем самым, для того, чтобы соотнести резонансыи собственные значения оператора, необходимо преобразовать исходный опера­тор в некоторый другой, несамосопряжённый оператор.Таким образом, резонансные состояния не могут быть аккуратно описаныв рамках эрмитовой квантовой механики. Такое описание возможно в неэрми­товых теориях [80], которые также допускают корректное математическое опи­сание в терминах оснащённых гильбертовых пространств [81] (гельфандовскихтриплетов).

Подход оснащённых гильбертовых пространств оказался успешнымпри рассмотрении некоторых классов динамических систем [82], однако его эф­фективная применимость к задачам квантовой механики не была продемон­стрирована. Основная проблема этого подхода – слишком большой произвол ввыборе пространства оснащения и зависимость положения резонансов от это­го выбора [83]. В некоторых случаях, однако, удаётся связать формулировкиодной и той же задачи в терминах оснащённых гильбертовых пространств ив терминах комплексного вращения (см.

далее). Таким образом удаётся найтиименно те оснащения пространства, резонансы в которых совпадают с полюса­ми аналитического продолжения матричных элементов резольвенты исходногогамильтониана [36].Математическая теория резонансов была изначально разработана для од­номерных и сферически симметричных систем. В этих случаях, вопрос о суще­ствовании резонансов сводится к вопросу о наличии комплексных нулей опре­делителя Фредгольма. Подробное обсуждение этих вопросов и физики соответ­24ствующих состояний может быть найдено, например, в работах [84, 85].

Воз­никает естественный вопрос, как связаны резонансы, определённые в теорииАгилара-Балслева-Комба, с особенностями сечения рассеяния, обычно возника­ющими при рассмотрении физических резонансов. Этот вопрос, а также связьрезонансов с формулой Брейта-Вигнера рассматривалась в работах [48, 86–88].В данной работе рассматривается и используется метод комплексных мас­штабных преобразований (вращений). Описание теории потенциалов, аналити­ческих относительно масштабных преобразований, может быть найдено, напри­мер, в [75]. Эта теория хорошо применима для атомов, так как одноцентровыйкулоновский потенциал обладает необходимыми свойствами аналитичности.

Од­нако, в приложениях часто встречаются ситуации, когда аналитичность во всёмпространстве отсутствует: двух- и многоцентровые кулоновские потенциалы вмолекулах, потенциалы с особенностями на конечных расстояниях. Для иссле­дования подобных проблем был предложен метод внешнего комплексного вра­щения [89, 90]. Комплексное вращение в этом подходе производится только нанекотором расстоянии от начала координат, так что лишь аналитичность по­тенциала на бесконечности оказывается существенной.1.3.1. Внешнее комплексное вращение и теоремы о спектреОпишем способ введения внешнего комплексного вращения, следуя иде­ям работ [7, 91]. Введём усечённый конус как { ∈ C : ||Im|| ≤ (1 −√)||Re|| и ||Re|| > } и диск 0 ≡ {Θ ∈ C : |Θ| < 1/ 2}. Элементы Θ√семейства спектральных деформаций ≡ {Θ : |Θ| < 1/ 2} действуют наоператор системы как(Θ) = Θ Θ−1 = Θ (−Δ)Θ−1 + Θ Θ−1 = Θ (−Δ)Θ−1 + Θ ,где(Θ )() = ( + Θ()) ()25(1.30)для допустимой ∈ 2 (R ).

Норма гладкого отображения : R → R недолжна расти быстрее, чем норма при больших [7]: далее всегда предпола­гается, что∃ > 0 и 1 ≥ 0 такие, что ||()|| ≤ |||| + 1 ∀ ∈ R с нормой |||| > .Оператор Θ (−Δ)Θ−1 также может быть вычислен явно [7], мы сделаем этониже. ДадимОпределение 1.Вещественнозначная функция , заданная на R , называет­ся допустимой для семейства спектральных деформаций , если1. – относительно −Δ-компактна;2.

Характеристики

Список файлов диссертации

Единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел
Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее