Диссертация (1145383), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Потенциал взаимодействия системы (X) может включать какпарные потенциалы различного типа, так и трёхчастичные потенциалы. Каж­дый парный потенциал зависит только от значения x /√︀2 .Более подробно вид (X) для разных исследуемых систем будет обсуж­даться ниже.Волновая функция системы Ψ(X) удовлетворяет шестимерному уравне­нию Шредингера:(0 + (X) − ) Ψ(X) = 0.(1.7)В зависимости от типа проблемы, необходимо решать разные задачи для этогоуравнения. Исследование связанных состояний приводит к задаче на собствен­ные значения, а исследование процессов рассеяния – к линейной задаче.

Для18исследования резонансных состояний и построения метода расщепления потен­циала для решения задачи рассеяния, гамильтониан и уравнение (1.7) долж­ны быть модифицированы с помощью метода комплексного вращения, см. 1.3.Для анализа уравнения (1.7), в первую очередь нужно исследовать егосвойства симметрии. Для этого удобно перейти в другое представление дляшестимерного вектора X:X = { , , , Ω },(1.8) = 1, 2, 3.Здесь cos = (x , y )/( ), так что первые три координаты описывают кон­фигурацию системы в плоскости, содержащей все три частицы.

Ориентацияплоскости по отношению к неподвижной системе координат определяется тре­мя углами Эйлера Ω = { , , }.В координатах (1.8) вектора x и y могут быть записаны как⎛⎞0⎜ ⎟⎜ ⎟x = R( , , ) ⎜ 0 ⎟ ,⎝ ⎠1⎛sin ⎜⎜y = R( , , ) ⎜ 0⎝cos ⎞⎟⎟⎟,⎠(1.9)где R – матрица поворота [79]. Координаты (1.8) с различными индексами связа­ны (1.4), что приводит к следующему соотношению между наборами координат{ , , cos } и { , , cos }: = (2 2 + 2 2 + 2 cos )1/2 , = (2 2 + 2 2 − 2 cos )1/2 ,(1.10)cos = ( (2 − 2 ) + (2 − 2 ) cos )/( ).Соответствующие матрицы поворота связаны одним вращением так, чтоR( , , ) = R( , , )R(0, , 0),(1.11)где cot = cot + /( sin ).Уравнения (1.9) позволяют записать трёхчастичные операторы в коорди­натах (1.8). Например, квадрат оператора полного углового момента J2 и его19проекция J на ось неподвижной системы координат могут быть представле­ны в виде:J2J21= −+cot+2 sin2 = −.[︂(︂222−2cos+2 2)︂]︂,(1.12)Свободный гамильтониан 0 в координатах (1.8) принимает вид:222 2 0 = − 2 −− 2 − (︂ )︂ (︂ 2)︂)︀2111 (︀ 21−++cot++J−K.

1.13) (2 22 sin2 22Здесь оператор K описывает кориолисово взаимодействие, возникающее из-завращения трёхчастичной системы как целого [70],[︂]︂√ (︀ +√(︀)︀)︀2−J + J−,K = −2 2 +22 cot J+ − J +(1.14)а циклические компоненты оператора углового момента задаются соотношени­ями]︂[︂ ∓1=√ +∓.(1.15)± cot sin 2Cо свободным гамильтонианом 0 коммутируют три оператора: квадратJ±полного углового момента J2 , его проекция на ось лабораторной системы коор­динат J и оператор полной инверсии координат tot .

Оператор tot определя­ется своим действием на координаты как⎛tot : (X → −X) = ⎝ → → cos → cos → + → − → − ⎞⎠.(1.16)Если потенциал взаимодействия (X) зависит только от расстояний междучастицами, то эти операторы коммутируют и с полным гамильтонианом (1.6).Собственными функциями операторов J2 , J и tot являются симметризованные20-функции Вигнера ′:J2 ′ = ( + 1) ′ ,(1.17)J ′ = − ′ ,tot ′ = ′ , = ±(−1) ,определённые в терминах стандартных -функций [79] соотношением, подоб­ным использованному в работе [73]:′≡ ′ ( , , ))︁(−1) (︁′ =√(−1) ′ + (−1) − ′ .2 + 2 ′ 0(1.18)Нормировка симметризованных функций выбрана так, чтоZ (︁)︁*1 1′ (Ω )1 12 2′ (Ω )Ω2 28 2 ′ ′ .=21 + 1 1 2 1 2 1 2 1 2(1.19)Заметим также, что оператор проекции J на ось ′ вращающейся системы ко­ординат, J ′ = −/ , действует на -функцию как J ′ ′ ( , , ) =− ′ ′ ( , , ).Волновая функция системы Ψ(X) в представлении полного углового мо­мента характеризуется квантовыми числами полного углового момента , егопроекции и полной чётности .

Для представления волновой функции в даль­нейшем будут использоваться комплексно-сопряжённые -функции, ′(︀)︀*=−− ′ :Ψ (X)=∑︁(︀′)︀*( , , ) Ψ ′ ( , , ).(1.20) ′ =0−Поскольку 0 ≡ 0, то для отрицательной чётности суммирование в (1.20)фактически происходит начиная с ′ = 1. Для сопряжённых -функций вы­полняются соотношения(︀ )︀*(︀ )︀* ′ ,J =′(︀ )︀*(︀ − )︀*′ ′ .J ′ =′(1.21)Следует заметить, что второй оператор меняет чётность симметризованнойфункции.21Подстановка представления (1.20) в уравнение Шредингера (1.7) и проеци­рование на функции (1.18) приводит к системе уравнений [4, 70–73]∑︁(︀)︀ ′ Ψ−′ ′ ( , , ) = 0, = 0, .

. . , .(1.22) ′ =0Здесь диагональные компоненты матричного оператора задаются форму­^ лами = 1 + (1/2) ( (−1) − 1) 0 , где(︀)︀1 21 2( + 1) − 2 2^ = − − ++ ( , , ) 2 22)︂(︂)︂ (︂ 2121.(1.23)−++ cot −2 22 sin2 Внедиагональные компоненты порождаются оператором кориолисова взаимо­действия K и отличны от нуля, только когда ′ = ± 1. Эти компоненты мо­^ гут быть представлены в виде ′ = 1 + (1/2) ( (−1) − 1)( 0 + ′ 0 ) ′ ,(︀)︀где± (, ) √︀^^==±1 + 0 ′ 1 + 1 ′ 0 ×′′ ±12(︂)︂(1.24)+ (1 ± ∓ ) cot ,√︀и ± (, ) = ( + 1) − ( ± 1).

Множители, стоящие перед компонента­^ ′ , обеспечивают нулевые значения этих компонент для = 0 и ′ = 0ми в случае отрицательной чётности.Уравнение (1.22) представляет собой две несвязанные системы трёхмер­ных дифференциальных уравнений для двух значений чётности. Система дляположительной чётности состоит из уравнений, а система для отрицательной– из ( − 1) уравнений. Матрицы обеих систем являются блочно-трёхдиаго­нальными. Связанные состояния квантовой системы отвечают точкам дискрет­ного спектра уравнения (1.22). Это уравнение также будет использовано (посленекоторых модификаций, смотри параграф 1.3) для определения резонансныхсостояний системы.22Для корректной формулировки уравнения (1.22) и его последующего ре­шения, уравнение нужно дополнить граничными условиями. В силу ограничен­ности полной волновой функции квантовой системы, функции Ψ ′ ( , , )должны быть ограничены при = 0, = 0.

Для связанных состояний, в силуквадратичной интегрируемости решения, нужно наложить условие убыванияна бесконечности:Ψ ′ ( , , ) = 0 при → ∞ или → ∞.(1.25)Граничное условие по переменной формулируется следующим образом: функ­ция′(1.26)Ψ ′ ( , , )/ sin должна быть ограничена.В приложениях часто бывает удобно пользоваться не приведёнными коор­динатами Якоби (1.2), а обычными координатами Якоби {x̃ , ỹ }. Они отлича­ются от координат (1.2) отсутствием массовых множителей,x =√︀2 x̃ ,y =√︀2, ỹ .(1.27)Расстояния r = r − r между частицами проще выражаются именно в этихкоординатах:r = x̃ ,r = ỹ +x̃ , + r = ỹ −x̃ . + (1.28)Структура уравнений при этом не изменяется, а выражения для операторов^ ′ принимают вид^^′[︂]︂211 2( + 1) − 2 2˜ −˜ ++ (˜ , ˜ , )= −2 ˜ ˜22, ˜ ˜2˜2(︂)︂ (︂ 2)︂112−++ cot −,(1.29)2 ˜2 2, ˜22 sin2 (︂)︂± (, ) √︀= ±1 + 0 ′ 1 + 1 ′ 0+ (1 ± ) cot ,2, ˜21для ′ = ± 1.231.3.

Резонансные состояния и метод комплексноговращенияКак уже говорилось, резонансные состояния системы, описываемой га­мильтонианом , не соответствуют непосредственно никаким спектральнымсвойствам самосопряжённого оператора . Поскольку энергии резонансов ком­плексны, квадратично интегрируемые собственные функции оператора приэтих энергиях не существуют. Тем самым, для того, чтобы соотнести резонансыи собственные значения оператора, необходимо преобразовать исходный опера­тор в некоторый другой, несамосопряжённый оператор.Таким образом, резонансные состояния не могут быть аккуратно описаныв рамках эрмитовой квантовой механики. Такое описание возможно в неэрми­товых теориях [80], которые также допускают корректное математическое опи­сание в терминах оснащённых гильбертовых пространств [81] (гельфандовскихтриплетов).

Подход оснащённых гильбертовых пространств оказался успешнымпри рассмотрении некоторых классов динамических систем [82], однако его эф­фективная применимость к задачам квантовой механики не была продемон­стрирована. Основная проблема этого подхода – слишком большой произвол ввыборе пространства оснащения и зависимость положения резонансов от это­го выбора [83]. В некоторых случаях, однако, удаётся связать формулировкиодной и той же задачи в терминах оснащённых гильбертовых пространств ив терминах комплексного вращения (см.

далее). Таким образом удаётся найтиименно те оснащения пространства, резонансы в которых совпадают с полюса­ми аналитического продолжения матричных элементов резольвенты исходногогамильтониана [36].Математическая теория резонансов была изначально разработана для од­номерных и сферически симметричных систем. В этих случаях, вопрос о суще­ствовании резонансов сводится к вопросу о наличии комплексных нулей опре­делителя Фредгольма. Подробное обсуждение этих вопросов и физики соответ­24ствующих состояний может быть найдено, например, в работах [84, 85].

Воз­никает естественный вопрос, как связаны резонансы, определённые в теорииАгилара-Балслева-Комба, с особенностями сечения рассеяния, обычно возника­ющими при рассмотрении физических резонансов. Этот вопрос, а также связьрезонансов с формулой Брейта-Вигнера рассматривалась в работах [48, 86–88].В данной работе рассматривается и используется метод комплексных мас­штабных преобразований (вращений). Описание теории потенциалов, аналити­ческих относительно масштабных преобразований, может быть найдено, напри­мер, в [75]. Эта теория хорошо применима для атомов, так как одноцентровыйкулоновский потенциал обладает необходимыми свойствами аналитичности.

Од­нако, в приложениях часто встречаются ситуации, когда аналитичность во всёмпространстве отсутствует: двух- и многоцентровые кулоновские потенциалы вмолекулах, потенциалы с особенностями на конечных расстояниях. Для иссле­дования подобных проблем был предложен метод внешнего комплексного вра­щения [89, 90]. Комплексное вращение в этом подходе производится только нанекотором расстоянии от начала координат, так что лишь аналитичность по­тенциала на бесконечности оказывается существенной.1.3.1. Внешнее комплексное вращение и теоремы о спектреОпишем способ введения внешнего комплексного вращения, следуя иде­ям работ [7, 91]. Введём усечённый конус как { ∈ C : ||Im|| ≤ (1 −√)||Re|| и ||Re|| > } и диск 0 ≡ {Θ ∈ C : |Θ| < 1/ 2}. Элементы Θ√семейства спектральных деформаций ≡ {Θ : |Θ| < 1/ 2} действуют наоператор системы как(Θ) = Θ Θ−1 = Θ (−Δ)Θ−1 + Θ Θ−1 = Θ (−Δ)Θ−1 + Θ ,где(Θ )() = ( + Θ()) ()25(1.30)для допустимой ∈ 2 (R ).

Норма гладкого отображения : R → R недолжна расти быстрее, чем норма при больших [7]: далее всегда предпола­гается, что∃ > 0 и 1 ≥ 0 такие, что ||()|| ≤ |||| + 1 ∀ ∈ R с нормой |||| > .Оператор Θ (−Δ)Θ−1 также может быть вычислен явно [7], мы сделаем этониже. ДадимОпределение 1.Вещественнозначная функция , заданная на R , называет­ся допустимой для семейства спектральных деформаций , если1. – относительно −Δ-компактна;2.

Характеристики

Список файлов диссертации