Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1145383), страница 3

Файл №1145383 Диссертация (Единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел) 3 страницаДиссертация (1145383) страница 32019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Приме­няемые же дополнительные аппроксимации делали преимущество конечностиразложения не столь очевидным. В современных условиях, доступность вычис­лительных ресурсов позволяет удобно работать с получаемой конечной систе­мой уравнений. Использование разложения исходного уравнения по -функциямВигнера позволяет аккуратно сформулировать и решить задачу на поиск свя­занных состояний трёхчастичных систем.Однако, изучение свойств квантовых систем нескольких частиц не ограни­чивается изучением связанных состояний. Ещё один тип состояний, наблюда­ющийся в природе и эксперименте – резонансные состояния.

Такие состояниявозникают практически во всех областях квантовой физики: в атомной, моле­кулярной и ядерной физике, в физике элементарных частиц и физике твёрдоготела. Резонансные состояния подобны связанным состояниям, но имеют конеч­ное время жизни, как правило, превосходящее характерные времена процессов,происходящих в рассматриваемой системе. Эти состояния обычно ассоцииру­ются с полюсами аналитического продолжения -матрицы или матричных эле­ментов резольвенты. Физически мотивированная формула Брейта-Вигнера [74]связывает резонансное состояние с энергией с пиком в сечении рассеяния притой же энергии , однако дать корректное математическое описание резонансана этом пути чрезвычайно сложно.Необходимо подчеркнуть, что резонансы системы, описываемой гамиль­тонианом , не соответствуют непосредственно никаким спектральным свой­ствам самосопряжённого оператора . Однако известно [7, 75], что полюсааналитического продолжения матричных элементов резольвенты совпадают ссобственными значениями некоторого несамосопряжённого оператора, получен­ного из , см.

1.3.1.Подробный обзор разнообразных методов определения и исследования ре­13зонансов можно найти в работах [7–9]. Само количество этих подходов и ме­тодов говорит о том, что проблема ещё не имеет своего окончательного, обще­принятого решения. Однако, для отдельных типов задач, есть методы, которыене только обоснованы математически, но и эффективны с прикладной точкизрения.

Именно таким методом является метод комплексных масштабных пре­образований (вращений).Разработка теории масштабных преобразований, математически описыва­ющей резонансы в квантовых системах, была начата в работах Агилара и Ком­ба [10] и Балслева и Комба [11]. В этих работах метод комплексных масштаб­ных преобразований был применён для доказательства отсутствия сингулярно­го спектра соответственно для двух- и -частичного операторов Шредингера. Вработе Саймона [12] этот подход был использован при определении квантовыхрезонансов.

Современное состояние теории комплексных вращений позволяетне только получить строгие математические результаты о положении резонанс­ных состояний квантовой системы для достаточно произвольных отображенийкоординат в комплексную область, но и конструктивно использовать развитуютеорию для осуществления вычислений. Кроме того, метод комплексных вра­щений может использоваться и для решения задачи рассеяния.Собственно задача рассеяния является наиболее сложной, но одновременнои важной, задачей в нерелятивистской квантовой механике нескольких частиц.Разнообразие возможных процессов позволяют изучить взаимодействие частицна разных расстояниях (энергиях) и в различных состояниях, предоставляя мно­жество экспериментальных данных.

Оборотная сторона такого разнообразия –сложность теоретического описания и численного моделирования соответству­ющих процессов. Особенно ярко все плюсы и минусы проявляются при наличиикулоновского взаимодействия, являющегося определяющим в атомных и моле­кулярных системах, и очень важным – в ядерных.Методы решения задачи рассеяния для системы двух частиц, в том числес кулоновскими взаимодействиями, хорошо разработаны [76].

Однако, попытки14перенесения таких методов на системы трёх и большего числа частиц не все­гда приводят к успеху. Впервые математически корректная постановка задачирассеяния для трёх частиц с короткодействующими взаимодействиями былаполучена в работах Л. Д. Фаддеева [14, 15], открывших новое направление втеоретической и математической физике. Переформулировка уравнений Фад­деева из интегральных в дифференциальные уравнения в конфигурационномпространстве позволила С. П. Меркурьеву описать задачу рассеяния, включаякорректные граничные условия для компонент Фаддеева, и для системы заря­женных частиц [16, 18–20].

Знание асимптотического поведения для компонентпозволяет найти и существенно более сложное асимптотическое поведение дляполной волновой функции системы.Несмотря на корректную математическую постановку, главной проблемойпри решении трёхчастичных уравнений является именно сложное асимптотиче­ское поведение волновой функции в координатном пространстве [16]. По этойпричине в последнее время возрос интерес к методам, в которых решение зада­чи рассеяния может быть получено с помощью решения уравнения Шредингерас упрощёнными граничными условиями (в идеале – тривиальными). Один изподобных подходов основан на отмеченном выше методе комплексных враще­ний [24, 25, 45], см.

раздел 1.3. Это преобразование превращает расходящуюсяволну в экспоненциально убывающую функцию. Тем самым, если задача рассе­яния переформулирована таким образом, что асимптотическое граничное усло­вие описывается расходящейся волной, то применение к ней преобразованиякомплексного вращения превратит эту задачу в задачу с нулевыми граничны­ми условиями.Впервые такой способ решения задачи рассеяния был предложен в рабо­те [24]. Волновая функция представлялась в виде суммы падающей и рассе­янной волн, и уравнение Шредингера переписывалось в виде неоднородногоуравнения для рассеянной волны.

После применения простейшего однородно­го комплексного вращения, () = exp(Θ), была получена граничная задача15с нулевыми условиями. Такой подход весьма прост, однако имеет серьёзныйнедостаток: он применим только к задачам с экспоненциально убывающимипотенциалами. Дело в том, что только для таких потенциалов правая частьнеоднородного уравнения остаётся ограниченной функцией после применениякомплексного вращения.Модификация этого подхода для расширения класса используемых потен­циалов была предложена в работе [25].

Использовалось то же неоднородноеуравнение Шредингера, однако потенциал () в гамильтониане заменялся насконструированный финитный потенциал ():⎧⎨ (), ≤ , () =⎩ 0, > .(1.1)Для такого потенциала правая часть в неоднородном уравнении Шредингераостаётся ограниченной при применении комплексного вращения.

Более того,известно, что если потенциал () убывает быстрее чем 1/2 при → ∞, то ре­шение задачи рассеяния с потенциалом () стремится при → ∞ к решениюзадачи рассеяния с потенциалом ().Однако, потенциал () имеет скачок и не является аналитической функ­цией, так что простейший метод однородного комплексного вращения приме­нён быть не может. Авторы [25] предложили в этой ситуации использоватьметод внешних комплексных вращений (1.35) с точкой вращения ≥ . Вэтом случае метод внешних комплексных вращений может быть применён длярешения граничной задачи с обрезанным потенциалом (), и открывается воз­можность получить решение задачи рассеяние с заданной точностью, выбираяподходящее значение радиуса обрезания .Необходимо отметить, что рассмотренный подход в его исходной формули­ровке не может быть применён для кулоновской задачи рассеяния, посколькуобрезание кулоновского потенциала при любом приводит к искажению асимп­тотического поведения решения на бесконечности.

В двухчастичной задаче рас­16сеяния возможна модификация рассмотренного метода, когда кулоновский по­тенциал включается в свободный гамильтониан, а потенциал () описываетлишь короткодействующую часть полного взаимодействия. Поскольку решениезадачи рассеяния с кулоновским потенциалом известно явно, такой метод успеш­но используется в вычислениях в атомной [77] и ядерной физике [78]. Однакоэтот подход не может быть использован в системах трёх и большего числа ча­стиц, так как явное решение соответствующих кулоновских задач неизвестно.Для преодоления указанной трудности, в данной работе развит метод рас­щепления потенциала.

Неоднородное уравнение Шредингера формулируется врамках этого метода таким образом, что внешнее комплексное вращение при­менимо к этому уравнению даже в случае кулоновского взаимодействия междучастицами.Результаты, приведённые в данной главе, опубликованы в работах [45, 49,50, 55, 56, 59–61, 64, 66].1.2. Представление полного углового момента для трёхчастицРассмотрим квантовую систему трёх частиц в трёхмерном пространствеR3 . Будем нумеровать частицы греческими буквами, например, = 1, 2, 3, исчитать тройку (, , ) перестановкой чисел 1, 2, 3.

Будем обозначать приве­дённые координаты Якоби [16] двумя трёхмерными векторами {x , y }. Этивектора могут быть объединены в шестимерный вектор X = {x , y }. Приве­дённые координаты Якоби определяются в терминах векторов позиций частицr :y√︀2 (r − r ),(︂)︂√︀ r + r=2, r −, + x =17(1.2)где – массы частиц, = 1 + 2 + 3 – полная масса системы, а приве­дённые массы определены соотношениями = , + , = ( + ).(1.3)Приведённые координаты Якоби с различными индексами связаны ортогональ­ным преобразованием:⎛⎝xy⎞⎛⎠=⎝− ⎞⎛⎠⎝xy⎞⎠,2 + 2 = 1,(1.4)коэффициенты которого выражаются через массы частиц: = −( /( − )( − ))1/2 , = (−1)− sign( − )(1 − 2 )1/2 .(1.5)Гамильтониан системы с отделенным движением центра масс определя­ется выражением = 0 + (X),0 = −ΔX = −Δx − Δy .(1.6)Свободный гамильтониан 0 инвариантен относительно выбора пары коорди­нат Якоби .

Характеристики

Список файлов диссертации

Единый аналитический и вычислительный подход к решению квантовой задачи трёх тел
Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6369
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее