Диссертация (1145383), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Применяемые же дополнительные аппроксимации делали преимущество конечностиразложения не столь очевидным. В современных условиях, доступность вычислительных ресурсов позволяет удобно работать с получаемой конечной системой уравнений. Использование разложения исходного уравнения по -функциямВигнера позволяет аккуратно сформулировать и решить задачу на поиск связанных состояний трёхчастичных систем.Однако, изучение свойств квантовых систем нескольких частиц не ограничивается изучением связанных состояний. Ещё один тип состояний, наблюдающийся в природе и эксперименте – резонансные состояния.
Такие состояниявозникают практически во всех областях квантовой физики: в атомной, молекулярной и ядерной физике, в физике элементарных частиц и физике твёрдоготела. Резонансные состояния подобны связанным состояниям, но имеют конечное время жизни, как правило, превосходящее характерные времена процессов,происходящих в рассматриваемой системе. Эти состояния обычно ассоциируются с полюсами аналитического продолжения -матрицы или матричных элементов резольвенты. Физически мотивированная формула Брейта-Вигнера [74]связывает резонансное состояние с энергией с пиком в сечении рассеяния притой же энергии , однако дать корректное математическое описание резонансана этом пути чрезвычайно сложно.Необходимо подчеркнуть, что резонансы системы, описываемой гамильтонианом , не соответствуют непосредственно никаким спектральным свойствам самосопряжённого оператора . Однако известно [7, 75], что полюсааналитического продолжения матричных элементов резольвенты совпадают ссобственными значениями некоторого несамосопряжённого оператора, полученного из , см.
1.3.1.Подробный обзор разнообразных методов определения и исследования ре13зонансов можно найти в работах [7–9]. Само количество этих подходов и методов говорит о том, что проблема ещё не имеет своего окончательного, общепринятого решения. Однако, для отдельных типов задач, есть методы, которыене только обоснованы математически, но и эффективны с прикладной точкизрения.
Именно таким методом является метод комплексных масштабных преобразований (вращений).Разработка теории масштабных преобразований, математически описывающей резонансы в квантовых системах, была начата в работах Агилара и Комба [10] и Балслева и Комба [11]. В этих работах метод комплексных масштабных преобразований был применён для доказательства отсутствия сингулярного спектра соответственно для двух- и -частичного операторов Шредингера. Вработе Саймона [12] этот подход был использован при определении квантовыхрезонансов.
Современное состояние теории комплексных вращений позволяетне только получить строгие математические результаты о положении резонансных состояний квантовой системы для достаточно произвольных отображенийкоординат в комплексную область, но и конструктивно использовать развитуютеорию для осуществления вычислений. Кроме того, метод комплексных вращений может использоваться и для решения задачи рассеяния.Собственно задача рассеяния является наиболее сложной, но одновременнои важной, задачей в нерелятивистской квантовой механике нескольких частиц.Разнообразие возможных процессов позволяют изучить взаимодействие частицна разных расстояниях (энергиях) и в различных состояниях, предоставляя множество экспериментальных данных.
Оборотная сторона такого разнообразия –сложность теоретического описания и численного моделирования соответствующих процессов. Особенно ярко все плюсы и минусы проявляются при наличиикулоновского взаимодействия, являющегося определяющим в атомных и молекулярных системах, и очень важным – в ядерных.Методы решения задачи рассеяния для системы двух частиц, в том числес кулоновскими взаимодействиями, хорошо разработаны [76].
Однако, попытки14перенесения таких методов на системы трёх и большего числа частиц не всегда приводят к успеху. Впервые математически корректная постановка задачирассеяния для трёх частиц с короткодействующими взаимодействиями былаполучена в работах Л. Д. Фаддеева [14, 15], открывших новое направление втеоретической и математической физике. Переформулировка уравнений Фаддеева из интегральных в дифференциальные уравнения в конфигурационномпространстве позволила С. П. Меркурьеву описать задачу рассеяния, включаякорректные граничные условия для компонент Фаддеева, и для системы заряженных частиц [16, 18–20].
Знание асимптотического поведения для компонентпозволяет найти и существенно более сложное асимптотическое поведение дляполной волновой функции системы.Несмотря на корректную математическую постановку, главной проблемойпри решении трёхчастичных уравнений является именно сложное асимптотическое поведение волновой функции в координатном пространстве [16]. По этойпричине в последнее время возрос интерес к методам, в которых решение задачи рассеяния может быть получено с помощью решения уравнения Шредингерас упрощёнными граничными условиями (в идеале – тривиальными). Один изподобных подходов основан на отмеченном выше методе комплексных вращений [24, 25, 45], см.
раздел 1.3. Это преобразование превращает расходящуюсяволну в экспоненциально убывающую функцию. Тем самым, если задача рассеяния переформулирована таким образом, что асимптотическое граничное условие описывается расходящейся волной, то применение к ней преобразованиякомплексного вращения превратит эту задачу в задачу с нулевыми граничными условиями.Впервые такой способ решения задачи рассеяния был предложен в работе [24]. Волновая функция представлялась в виде суммы падающей и рассеянной волн, и уравнение Шредингера переписывалось в виде неоднородногоуравнения для рассеянной волны.
После применения простейшего однородного комплексного вращения, () = exp(Θ), была получена граничная задача15с нулевыми условиями. Такой подход весьма прост, однако имеет серьёзныйнедостаток: он применим только к задачам с экспоненциально убывающимипотенциалами. Дело в том, что только для таких потенциалов правая частьнеоднородного уравнения остаётся ограниченной функцией после применениякомплексного вращения.Модификация этого подхода для расширения класса используемых потенциалов была предложена в работе [25].
Использовалось то же неоднородноеуравнение Шредингера, однако потенциал () в гамильтониане заменялся насконструированный финитный потенциал ():⎧⎨ (), ≤ , () =⎩ 0, > .(1.1)Для такого потенциала правая часть в неоднородном уравнении Шредингераостаётся ограниченной при применении комплексного вращения.
Более того,известно, что если потенциал () убывает быстрее чем 1/2 при → ∞, то решение задачи рассеяния с потенциалом () стремится при → ∞ к решениюзадачи рассеяния с потенциалом ().Однако, потенциал () имеет скачок и не является аналитической функцией, так что простейший метод однородного комплексного вращения применён быть не может. Авторы [25] предложили в этой ситуации использоватьметод внешних комплексных вращений (1.35) с точкой вращения ≥ . Вэтом случае метод внешних комплексных вращений может быть применён длярешения граничной задачи с обрезанным потенциалом (), и открывается возможность получить решение задачи рассеяние с заданной точностью, выбираяподходящее значение радиуса обрезания .Необходимо отметить, что рассмотренный подход в его исходной формулировке не может быть применён для кулоновской задачи рассеяния, посколькуобрезание кулоновского потенциала при любом приводит к искажению асимптотического поведения решения на бесконечности.
В двухчастичной задаче рас16сеяния возможна модификация рассмотренного метода, когда кулоновский потенциал включается в свободный гамильтониан, а потенциал () описываетлишь короткодействующую часть полного взаимодействия. Поскольку решениезадачи рассеяния с кулоновским потенциалом известно явно, такой метод успешно используется в вычислениях в атомной [77] и ядерной физике [78]. Однакоэтот подход не может быть использован в системах трёх и большего числа частиц, так как явное решение соответствующих кулоновских задач неизвестно.Для преодоления указанной трудности, в данной работе развит метод расщепления потенциала.
Неоднородное уравнение Шредингера формулируется врамках этого метода таким образом, что внешнее комплексное вращение применимо к этому уравнению даже в случае кулоновского взаимодействия междучастицами.Результаты, приведённые в данной главе, опубликованы в работах [45, 49,50, 55, 56, 59–61, 64, 66].1.2. Представление полного углового момента для трёхчастицРассмотрим квантовую систему трёх частиц в трёхмерном пространствеR3 . Будем нумеровать частицы греческими буквами, например, = 1, 2, 3, исчитать тройку (, , ) перестановкой чисел 1, 2, 3.
Будем обозначать приведённые координаты Якоби [16] двумя трёхмерными векторами {x , y }. Этивектора могут быть объединены в шестимерный вектор X = {x , y }. Приведённые координаты Якоби определяются в терминах векторов позиций частицr :y√︀2 (r − r ),(︂)︂√︀ r + r=2, r −, + x =17(1.2)где – массы частиц, = 1 + 2 + 3 – полная масса системы, а приведённые массы определены соотношениями = , + , = ( + ).(1.3)Приведённые координаты Якоби с различными индексами связаны ортогональным преобразованием:⎛⎝xy⎞⎛⎠=⎝− ⎞⎛⎠⎝xy⎞⎠,2 + 2 = 1,(1.4)коэффициенты которого выражаются через массы частиц: = −( /( − )( − ))1/2 , = (−1)− sign( − )(1 − 2 )1/2 .(1.5)Гамильтониан системы с отделенным движением центра масс определяется выражением = 0 + (X),0 = −ΔX = −Δx − Δy .(1.6)Свободный гамильтониан 0 инвариантен относительно выбора пары координат Якоби .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
