Диссертация (1145383), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Для ускорения сходимости дискретного решения к точному былоиспользовано спектральное разложение по угловой переменной. В рамках разработанного метода исследована возможность оценки погрешности и эффективность построения адаптивных схем решения на основе МКЭ-свойства сверхсходимости. С использованием разработанного вычислительного подхода былареализована универсальная программа для вычислений свойств связанных состояний, резонансов и процессов рассеяния. Все ресурсоёмкие части программыреализованы с использованием параллельных алгоритмов, обеспечивающих эффективное использование современных высокопроизводительных вычислительных систем. Разработанная программа использовалась для всех вычислений,результаты которых представлены в последующих главах работы.80Глава 3Дискретный спектр некоторых трёхчастичныхсистем3.1. ВведениеИсследование связанных состояний систем трёх тел началось уже на раннем этапе развития квантовой теории, причём первой подробно исследованнойсистемой стал атом гелия.
Начиная с работ Хиллераса (см. обзор в работе [1]),точность вычисления спектра атома гелия быстро росла, и через некоторое время стало возможно прецизионное сравнение теоретических и экспериментальных результатов для релятивистских и квантово-механических поправок [2, 3].Современные вариационные методы позволяют добиться высочайшей точностипри расчётах спектра кулоновских систем [4–6].
Хотя для произвольных потенциалов точность расчётов оказывается ниже, она обычно достаточна, таккак сами взаимодействия между частицами (например, ядрами или атомами)известны с некоторой погрешность. Таким образом, расчёты “обычных” связанных состояний не представляют особых сложностей в современных условиях.Однако, в некоторых специальных случаях исследование спектра трёхчастичной системы всё же является непростой задачей. Некоторые из таких примеров собраны в этой главе. Антипротонный гелий, т.е.
атом гелия, в которомодин из электронов заменён на антипротон, является кулоновской системой. Однако очень высокий полный угловой момент затруднял вначале прецизионныерасчёты его спектра. Кроме того, относительно высокая точность расчёта именно волновой функции в рамках МКЭ позволила получить аккуратные значениярелятивистских и КЭД поправок в рамках принятых предположений.
Рассмотренный далее тример гелия обладает только одним или двумя связанными состояниями, однако они обладают огромной пространственной протяжённостью,81что сильно усложняет их исследование. Наконец, тример аргона (и в меньшейстепени - неона) обладает большим количеством связанных состояний, сосредоточенных в области ангармоничности потенциала, что делает сложным ихклассификацию, зато позволяет ставить вопрос о статистическом распределении этих состояний.Изложение, приведённое в данной главе, основано на результатах работ [28–31, 37, 41, 44, 51, 53].3.2.
Метастабильные состояния антипротонного гелияЭкзотические атомы, то есть атомы, включающие тяжёлую отрицательнозаряженную частицу, изучаются уже достаточно давно. Самые первые исследования были исключительно теоретическими и были посвящены сравнению спектральных и других свойств таких атомов со свойствами обычных атомов [140–144].
Вычислительные методы были основаны на аппроксимации Борна-Оппенгеймера.Ситуация существенно изменилась после обнаружения задержанной аннигиляции антипротонов в жидком гелии [145] в 1991 году. С тех пор, антипротонный гелий ¯ He+ стал популярным объектом исследований. Оба изотопа ¯ 3 He+и ¯ 4 He+ были детально исследованы в экспериментальных работах [145–155].Появились прецизионные измерения длин волн внутренних радиационных переходов как для ¯ 4 He+ [147, 150, 154, 155], так и для ¯ 3 He+ [151].
Использованные экспериментальные методы, основанные на стимулированных лазернымизлучением переходах в видимой области, позволили достичь относительнойточности 4 10−6 . Такая точность уже представляла собой вызов для теоретических расчётов этих систем, требуя учёта разнообразных физических эффектов.Позднее точность некоторых измерений была ещё существенно повышена [156],и сравнение прецизионных экспериментальных и теоретических значений потребовало систематического рассмотрения релятивистских и КЭД поправок.82Таким образом, ¯ He+ система стала новым тестовым полигоном для вычислительной трёхчастичной теории.Основные теоретические работы посвящены вычислению уровней энергии¯ He+ [5, 157–162].
Несмотря на наличие экспериментальных данных о скоростяхраспада, образования и вынужденного столкновениями распада антипротонного гелия, меньшее количество исследований посвящено изучению Оже процессов [161, 163] и процессов образования и распада [159, 164–166].3.2.1.
Кулоновские уровни энергииАнтипротонный гелий, рассматриваемый как система только с кулоновским взаимодействием, имеет очень глубоколежащие связанные состояния. Вслучае полного углового момента , энергия самого нижнего уровня равна примерно −2¯ He++ − 1/2( + 1)2 , а энергия самого нижнего двухчастичного порога равна −2¯ He++ . Конечно, антипротон и ядро гелия в подобных состоянияхнемедленно аннигилируют. Все кулоновские состояния выше нижнего порога лежат на непрерывном спектре системы и, следовательно, являются нестабильными. Однако, их времена жизни могут быть очень большими, бо́льшими, чем времена жизни относительно радиационного распада с излучением фотона.
Именнотакие метастабильные состояния являются экспериментально наблюдаемыми,а их исследование – целью данного раздела.Поскольку прямое решение уравнения (1.22) для таких метастабильныхневозможно, необходимо регуляризовать его каким-либо способом. Одна очевидная возможность – использовать метод комплексных вращений, описанныйв разделе 1.3.
При таком подходе, однако, возникают трудности техническогохарактера. Дело в том, что полный угловой момент метастабильных состоянийвесьма велик, = 30 − 40, что приводит к такому же количеству компонентволновой функции. При этом, как было указано выше, относительная точностьрасчётов должна быть лучше, чем 10−5 . Совместно эти два фактора приводили бы к формированию системы линейных уравнений огромной размерности,83решение которой было практически невозможно. С другой стороны, как будетпоказано ниже, разные компоненты волновой функции вносят существенно разный вклад в энергию состояния. Таким образом, естественный и простой способрегуляризации уравнения (1.22) для антипротонного гелия – его проецированиена подпространство, состоящее из нескольких первых компонент решения Ψ′, ′ = 0, .
. . , . Самый глубокий двухчастичный порог, отвечающий обрезаннойтаким образом системе уравнений, равен −2¯ He++ /( − + 1). Таким образом, уровни энергии, лежащие ниже этого порога, будут истинно связаннымисостояниями системы, описываемой проецированным уравнением. Если энергия связанного состояния задана, то при увеличении количества компонент,оно попадёт на непрерывный спектр при некотором значении . Вопрос о том,достаточно ли точной будет вычисленная энергия при меньшем количестве рассматриваемых компонент, зависит от изучаемой системы. Как будет показанониже, энергия антипротонного гелия быстро сходится при увеличении числарассматриваемых компонент . Причиной этого является большая приведённая масса ¯, eHe++ в (1.29), что приводит к малости внедиагональных блоковсистемы уравнений (1.22).3.2.2.
Численное решениеПри рассмотрении антипротонного гелия, выбор подходящей пары координат Якоби не однозначен. В наиболее распространённом, “стандартном” варианте [5, 157, 158, 162], вектор x соединяет две тяжёлые частицы (антипротон иядро гелия), а вектор y – электрон и центр масс пары ¯He++ , см. рисунок 3.1a.Основная причина такого выбора – возможность отделить движение электронав приближении бесконечных масс тяжёлых частиц. В данной работе координаты выбраны иначе. Именно, пусть частицы 1, 2 и 3 нумеруют антипротон,электрон и ядро гелия. Тогда вектор x соединяет частицы 2 и 3 (электрон иядро гелия), а вектор y – антипротон и центр масс He+ , см.
рисунок 3.1b. Мотивация такого выбора – более простая структура волновой функции в таких84координатах, как будет показано ниже.pe1111110000000000001111110000001111110000001111110000001111110000011111000000111111000001111100000011111100000111110000001111110000011111000000111111000001111100000011111100000111110000001111110000011111000000111111x0000011111000000111111000001111100000011111100000111110000001111110000011111000000yc111111000001111100000011111100000111110000001111110000011111000000111111000001111100000011111100000111110000001111110000011111000000111111000001111100000011111100000111110000011111++0000011111Heepxyc(a)He++(b)Рис. 3.1.
Два варианта координат Якоби. “Стандартный” набор координат (a), и набор, использованный в данной работе (b). Угловая координата = cos = (^x, y^ ).Для численного решения уравнения (2.1) использовалось МКЭ-разбиение,образованное прямым произведением разбиений по координатам и .
Для координаты использовалось 6 КЭ на отрезке [0,10] а.е., а для координаты – 8КЭ на отрезке [0,2] а.е. Матричные элементы потенциалов по угловой переменной вычислялись аналитически с помощью формул (2.31). Численное интегрирование по координатам и проводилось с использованием 30-точечной Гауссовой квадратурной формулы для элементов, содержащих кулоновскую сингулярность, и 20-точечной формулы – для остальных. Количество функций поугловой переменной было выбрано равным 19, поскольку его дальнейшее увеличение не изменяло результат в пределах полученной точности.Поскольку волновые функции рассматриваемых состояний очень сильнолокализованы, особенно по координате , их описание с помощью только полиномов требует использования их большого количества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
