Диссертация (1145383), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Для того, чтобы уменьшить вычислительную стоимость и ускорить сходимость, компоненты Ψ ′ (, , )представлялись в виде Ψ ′ (, , ) = ()Ψ̃ ′ (, , ). Функция формы ()выбиралась так, чтобы качественно передать характер поведения волновых85функций на малых и больших расстояниях:(︂)︂¯, eHe++ () = exp − , +1+(3.1)где – произвольный параметр. Этот параметр нелинейно входит в вариационное уравнение, так что его оптимальное значение должно быть найдено отдельно от общей схемы МКЭ-вычислений. Численные эксперименты показалислабую зависимость собственных значений от параметра в области минимумасобственных значений.
Таким образом, значение определялось на некоторойгрубой сетке, и затем использовалось как константа в окончательных расчётах.В качестве базисных функции f () по координате , как описано в разделе 2.3.1,были выбраны сдвинутые на КЭ полиномы Лежандра, умноженные на убывающие экспоненциальные функции. Описанная численная схема приводила кматрицам размерности до 13 000 с шириной ленты до 5000.Оценки погрешности полученных значений проводились методом, основанным на результатах, приведённых в разделе 2.4.1. Если вычисленные прииспользовании полиномов степени уровни энергии ведут согласно формуле (2.34), то верно соотношение˜ 2 .Δ() ≡ +1 − = ℎ(3.2)На рисунке 3.2 показано поведение Δ() для нескольких уровней. Вычисленные значения хорошо согласуются с асимптотическим поведением (2.34) ужедля относительно небольших значений степеней = 3 .
. . 6 как для собственнополиномов, так и для полиномов, умноженных на функцию формы (). Вдальнейшем используются результаты, полученные с функцией формы, из-заих большей точности.Используя формулу (2.33), можно вычислить экстраполированное значение ext и оценить погрешность вычислений как разность между значениямиext и . Погрешность, оценённая таким образом, не превышала 4·10−6 а.е. для =0,1,2, 6·10−6 а.е.
для =3 и 15·10−6 а.е. для =4.861.0e+01.0e-11.0e-11.0e-21.0e-2∆(p)∆(p)1.0e+01.0e-31.0e-31.0e-41.0e-41.0e-51.0e-51.0e-61.0e-62345623p456pРис. 3.2. Зависимость Δ() от максимальной степени полинома для = 36 в ¯ 4He+ , дляразличных колебательных уровней . Сплошная, штриховая, коротко-штриховая, пунктирная и штрих-пунктирная линии соответствуют =0,1,2,3,4. Показаны значения для полиномов (слева) и для полиномов с функцией формы (справа).3.2.3. Нерелятивистские уровни энергии: результатыСвойства антипротонного гелия имеют схожесть как с атомными, так ис молекулярными системами. Таким образом, как молекулярные (, ), так иатомные (, ) квантовые числа могут использоваться для классификации уровней.
Эти два набора связаны соотношениями [157] = + + 1, = .(3.3)Далее будут использоваться молекулярные обозначения. Поскольку состоянияс отрицательной пространственной чётностью быстро распадаются через Ожепереходы [5, 140], в дальнейшем рассматриваются только состояния с положительной чётностью.Вычисления проводились со следующими значениями масс частиц: ¯ =1836.1527e , 3 He2+ = 5495.885e , 4 He2+ = 7294.299e [5, 158, 167]. Длиныволн главных радиационных переходов определялись соотношением((, ) −→ (, − 1)) = (2( − −1 ))−1 ,87(3.4)где = 1.09737315 · 107 м−1 – постоянная Ридберга.Результаты для собственных значений (), иллюстрирующие их сходимость по отношению к числу рассматриваемых уравнений в системе (1.22),представлены в таблице 3.1 для нескольких характерных значений (, ).
Видно, что поправки из-за конечности масс тяжёлых частиц и добавления уравнений для более высоких компонент волновой функции существенно влияют наокончательный результат. Эти поправки становятся больше для меньших значений полного углового момента , что согласуется с условием применимостиприближения Борна-Оппенгеймера [157] (BO). Разница между результатамив BO-приближении и результатами, полученными здесь с одним уравнением,находятся в пределах неопределённости BO-приближения, т.е.
порядка величины e /¯. Таким образом, основные поправки к энергии связи получаются засчёт более высоких компонент волновой функции. Из таблицы видно, что этипоправки быстро убывают с увеличением числа компонент + 1, что оправдывает проецирование системы уравнений на подпространство нескольких первых компонент. Величины поправок от четвёртого уравнения системы (1.22), = 3, не превышают значения 10−7 а.е. и выходят за пределы достигнутойздесь точности.
Таким образом, в дальнейших расчётах используются толькотри уравнения системы (1.22). Большее их количество может потребоваться дляаккуратных расчётов с меньшими значениями полного углового момента .Поясним теперь выбор координат Якоби, отличающийся от “стандартного”. Первая причина становится очевидной при сравнении волновых функций вэтих двух системах координат. На рисунке 3.3 приведены два сечения волновойфункции для уровня (0, 36) ¯ 4 He+ в этих системах. Легко видеть, что поведениеволновой функции в выбранной системе координат заметно проще, что позволяет получить более точную численную аппроксимацию. Второе преимуществовыбранной системы координат заключается в меньших поправках от более высоких компонент волновой функции. Например, в работе [5] для уровня (1, 36)¯ 4 He+ была получена поправка (2) − (1) = −0.000432 а.е., в то время как в88Таблица 3.1.
Энергии [а.е.] некоторых уровней системы ¯ 4He+ . Приведены результаты вприближении Борна-Оппенгеймера [158] (BO), и вычисления данной работы с одним ((0)),двумя ((1)) и тремя ((2)) уравнениями.Энергии (, )BO (0) (1) − (0) (2) − (1)Итог(1,39) -2.610523 -2.610298-0.000092< -1 10−9-2.610391(1,36) -2.813061 -2.812883-0.000219-1.0 10−9-2.813102(1,33) -3.104987 -3.104909-0.000461-3.0 10−8-3.105370(1,31) -3.363874 -3.363901-0.000739-5.5 10−7-3.364640приведённых здесь расчётах эта величина равна (2) − (1) = −0.000219 а.е.(см. таблицу 3.1). Таким образом, в выбранных координатах не только отдельная компонента волновой функции оказывается проще, но и связь между компонентами оказывается слабее.Результаты для уровней энергии и длин волн радиационных переходов (3.4) для изотопов антипротонного гелия приведены в приложении А.
Поскольку решение вариационного уравнения для связанных состояний эквивалентно задаче минимизации, а погрешность имеющейся некомформности МКЭзначительно меньше погрешности вычислений, то представленные в таблицах А.1и А.2 результаты являются оценками сверху точных значений энергий. Полученные здесь значения систематически выше, на величины вплоть до 10−5 а.е.,чем наиболее точные доступные на то время энергии [5]. Оба подхода используют те же самые уравнения, но принципиально разные численные методы. Вработе [5] используется глобальный набор функций в сфероидальных координатах. Такое разложение обеспечивает высокую точность для кулоновских квазиадиабатических трёхчастичных систем, в то время как МКЭ подход работаетодинаково успешно для систем с произвольными потенциалами и отношениямимасс.
Разница длин волн главных радиационных переходов, приведённых в таб89|Ψ(x,c)|2|Ψ(x,c)|220201010001.01.00.500.50.012x (a.u.)3450c-0.5-1.00.012x (a.u.)3-0.545c-1.0Рис. 3.3. Квадраты модулей волновых функций [произвольные единицы] для (0, 36) состояния¯ 4 He+ в “стандартных” координатах Якоби (слева) и использованных в работе (справа).2Координата выбрана так, что |Ψ ( = 0, , = cos = 0)| имеет максимум как функция .′лицах А.3 и А.4, отличаются от результатов работы [5] не более чем на 0.005 нмдля большинства уровней.Кулоновские энергии ¯ 3 He+ и ¯ 4 He+ изотопов различны для уровней содинаковыми значениями (, ).
Пусть 3 и 4 обозначают полный угловой момент для систем ¯ 3 He+ и ¯ 4 He+ . В BO-приближении, электрон не возмущаетотносительное движение ¯ и He++ , так что энергия системы ¯ He++ пропорциональна ¯He2+ /( + + 1)2 . Энергии изотопов оказываются сравнимы, когдавыполняется равенство ¯3 He2+ /(3 + + 1)2 ≃ ¯4 He2+ /(4 + + 1)2 . Длятаких квантовых чисел, электрон движется в похожем поле для обоих изотопов,и полная энергия системы примерно одинакова.
В случае ≃ 30 ≫ , примерно выполняется равенство 4 ≃ 3√︁¯4 He2+ /¯3 He2+ ≃ 1.0333 ≃ 3 + 1.Это приблизительное совпадение уровней энергии (а также релятивистских иКЭД поправок, см. ниже) проиллюстрировано в таблице 3.2. Относительная90разность между значениями 3 и 4 не превышает 0.6%. В то же время,относительные поправки от учёта второй компоненты волновой функции могут различаться на 10%. Таким образом, компоненты волновой функции, описывающие возбуждённые состояния электрона, сильно различаются для двухизотопов.Таблица 3.2. Сравнение уровней энергии [а.е.], релятивистских поправок(rel)LΔ [10−6 а.е.], Лэмбовского сдвига Δ[10−6 а.е.] и скоростей распада [106 с−1]между некоторыми уровнями (, 3) и (, 4) для ¯ 3He+ и ¯ 4He+ .Состояние(rel)ΔLΔ(, 3 ) = (0, 31) -3.348825-35.106.4 0.803(, 4 ) = (0, 32) -3.353750-34.766.4 0.750(, 3 ) = (2, 33) -2.897180-54.509.2 0.781(, 4 ) = (2, 34) -2.911166-53.179.1 0.720(, 3 ) = (3, 34) -2.745161-64.4210.6 0.649(, 4 ) = (3, 35) -2.760221-62.7710.4 0.599(, 3 ) = (1, 37) -2.653809-66.9110.9 0.577(, 4 ) = (1, 38) -2.669539-65.5810.8 0.542(, 3 ) = (2, 38) -2.554633-76.4912.2 0.439(, 4 ) = (2, 39) -2.569536-75.0412.1 0.4163.2.4.
Релятивистские и КЭД поправки к уровням энергииВычисленные с помощью предложенного метода значения для длин волнрадиационных переходов систематически меньше, чем экспериментальные данные, примерно на 50 10−6 . Нужно заметить, однако, что погрешность этихвычислений сравнима с релятивистскими эффектами в системе. Действительно, максимальное значение релятивистских поправок к уровням энергии для91электрона, релятивистские поправки для которого максимальны, в гелиеподобном атоме находится на уровне 3 10−4 а.е. [168, 169]. Благодаря высокой степени компенсации релятивистских поправок в обычном атоме гелия, их суммарное значение снижается до 5 10−5 а.е.
на каждый электрон, и ещё больше (вплоть до 3 10−6 а.е.) благодаря релятивистскому межэлектронному взаимодействию. Лэмбовский сдвиг в гелии имеет сравнимую величину (примерно6 10−6 а.е. [168, 169]). Таким образом, релятивистские и квантовоэлектродинамические поправки могут изменить значения уровней энергии антипротонногогелия на величину порядка 10−5 а.е.
и должны быть учтены для прецизионногосравнения теоретических и экспериментальных данных.Прежде всего заметим, что доступная экспериментальная точность [155] намомент первых прецизионных измерений длин волн переходов требовала учестьлишь релятивистские поправки порядка 2 , где – постоянная тонкой структуры, =7.29735·10−3 . В гамильтониане Брейта [3, 170] в этом порядке имеютсяпоправки, возникающие из-за: релятивистской зависимости массы от скорости,дарвиновского слагаемого, спин-орбитального взаимодействия, эффекта отдачии взаимодействия спиновых магнитных дипольных моментов.Для упрощения расчёта этих поправок воспользуемся полученной ранееинформацией о структуре волновой функции антипротонного гелия. Действительно, все компоненты волновой функции малы по сравнению с нулевой компонентой из-за малого фактора e /¯ ≃ 5.4 10−4 в диагональных блоках матричного оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
