Диссертация (1145311), страница 14
Текст из файла (страница 14)
. .Найдем вещественные корни этого полинома:−0.1499188727, 0.1499322627, −129.4774989(2), −16.21040738(2),−3.086961918(2), −0.5588095759(2), −0.1503755067(2),−0.1455559135(2), 0.1456629189(2), 0.1511842678(2), 0.4497061873(2),2.847095917(2), 107.1584687(2), −0.1470871014(4), 0.1470871014(4)103(числа в скобках обозначают кратности соответствующих корней).Для каждого корня найдем соответствующие значения t и v. Получается,что только две тройки (x, t, v) удовлетворяют данным условиям:(−3.086961918; 102.583443; 13.788301) и(−0.5588095759; 550.8358931; 13.63890513).Для t = 102.583443, v = 13.788301 получаем полином семейства (1.81),который имеет корень z = −3.08696 + 15.41657i.
Этот корень лежит на левойветви гиперболы, поскольку3.086962 15.416572−− 1 = −0.0001413776 ≈ 0.0.1520.752Более того, для t = 102.583443, v = 13.799909 получаем полином семейства (1.81), который имеет корень z = −3.080564179+15.42012870i. Этот кореньрасположен справа от левой ветви гиперболы, поскольку3.0805641792 15.420128702−− 1 = −1.9484045 < 0.0.1520.752Для t = 550.8358931, v = 13.63890513 получаем полином семейства (1.81),который имеет корень z = −0.5588095759 + 2.691505815i.
Этот корень такжележит на левой ветви гиперболы.1.6. ЗаключениеЗадачи устойчивости и D-устойчивости семейства полиномов имеют алгебраическое решение. В диссертации предлагается алгоритм, позволяющий определить, является ли данное семейство полиномов с коэффициентами, полиномиально зависящими от вещественных параметров, D-устойчивым. Предложенный алгоритм является наиболее общим из известных ранее и приведенных впараграфе 1.1.104Глава 2Собственные числа матрицВ задачах анализа сложных систем важную роль играют методы, позволяющие отделить собственные числа матриц с комплексными или вещественнымиэлементами.
В данной главе мы рассматриваем матрицы, элементы которых полиномиально зависят от параметра. Предложенные алгоритмы позволяют вычислить число обусловленности Гёльдера, с помощью которого можно получитьоценку изменений кратных собственных чисел такой матрицы, определить, прикаких значениях параметра матрица будет иметь кратные собственные числа,и найти общие собственные числа двух матриц.Задача локализации собственных чисел матрицы с элементами, зависящими от параметра, является обобщением задачи о локализации корней полинома.Она возникает в тех случаях, когда построение характеристического полиномаявляется вычислительно затратным. И хотя у матрицы общего вида кратныхсобственных чисел нет, они появляются в том случае, когда рассматривается семейство матриц, зависящее от параметра.
Тогда жорданова нормальная формаи приводящее к ней преобразование матрицы, будут, вообще говоря, разрывнозависеть от параметра. В работах [60, 67, 114, 118, 138, 166] рассматриваются малые возмущения параметров. В них с помощью числа обусловленностиГёльдера дается оценка изменению кратных собственных чисел матрицы. Приэтом предполагается, что известна нормальная форма Жордана матрицы. Вдиссертации предлагается метод, который позволяет упростить вычисление числа обусловленности Гёльдера, поскольку нахождение жордановой нормальнойформы не требуется. В статьях [103, 131, 140] рассматриваются произвольныезначения параметра и предлагаются методы нахождения значений параметра,при которых матрицы имеют кратные собственные числа.
В работе [103] предложен итеративный метод, для которого важно выбрать достаточно хорошее105начальное приближение к решению. В работе [131] рассматриваются кратныесобственные числа матрицы с одним блоком Жордана, т. е. собственные числа матрицы, имеющие геометрическую кратность 1. Алгоритм, предлагаемыйв статье [140], позволяет найти все значения параметра, которым соответствуют кратные собственные числа, однако этот алгоритм дает довольно большуюпогрешность в связи с тем, что он основан на нахождении численного рангаматрицы, поэтому он применим лишь для матриц малых размерностей.
В диссертации предлагается метод, позволяющий построить полином, корни которогоявляются искомыми значениями параметра. При этом не требуется находить начальное приближение, геометрическая кратность собственных чисел матрицыможет быть произвольной и отсутствуют ограничения на порядок матрицы.При исследовании семейств матриц, зависящих от параметра, возникаетвопрос о существовании общих собственных чисел двух матриц, который былуспешно решен ранее [128].
Однако алгоритма нахождения этих общих собственных чисел, насколько известно автору, ранее не предлагалось. Такой алгоритм,позволяющий построить полином, корнями которого являются искомые собственные значения, приводится в диссертации.2.1. Вспомогательные результатыРассмотрим матрицу M (λ), элементы которой полиномиально зависят отпараметра λ, или λ-матрицу. Пусть ее ранг равен r. Обозначим через Dj (λ)(j = 1, 2, . . .
, r) наибольший общий делитель всех миноров порядка j матрицыM (λ).Справедлива следующая теорема [7].Теорема 38. В рядуD0 (λ) ≡ 1, D1 (λ), . . . , Dr−1 (λ), Dr (λ)каждый многочлен делится без остатка на предыдущий.106Обозначим полученные в результате этого деления частные через E1M (λ),E2M (λ), . . ., ErM (λ):E1M (λ) =D1 (λ)D2 (λ)= D1 (λ), E2M (λ) =,...,D0 (λ)D1 (λ)ErM (λ) =Dr (λ).Dr−1 (λ)(2.1)Далее нам понадобится следующее определение [7]:Определение 17. Многочлены E1M (λ), E2M (λ), .
. . , ErM (λ), определяемые формулами (2.1), называются инвариантными множителями матрицы M (λ).Рассмотрим две квадратные матрицы A = [aij ]ni,j=1 и B = [bij ]mi,j=1 с комплексными элементами. В дальнейшем важную роль будет играть определениекронекеровского произведения двух квадратных матриц An×n и Bm×m .Определение 18. Кронекеровским произведением матриц A и B называетсяматрица[A ⊗ B]nm×nma B a12 B .
. . a1n B 11 a21 B a22 B . . . a2n B .= ...an1 B an2 B . . . ann BНам понадобится следующие свойства кронекеровского произведения матриц [104]:Sp (A ⊗ B) = Sp A · Sp B(A ⊗ B)(C ⊗ D) = (AC) ⊗ (BD).Обозначим через CAB следующую квадратную матрицу порядка mn:CAB = A ⊗ Em×m − En×n ⊗ B.(2.2)(2.3)107Здесь Em×m и En×n — единичные матрицы порядков m и n соответственно. Вслучае, когда B = A, получаем матрицу CACA = A ⊗ E − E ⊗ A.(2.4)Здесь E — единичная матрица того же порядка, что и матрица A (размерностиn × n).Известны следующие теоремы [128], связывающие собственные числа матриц A и B и нулевые собственные числа матрицы CAB :Теорема 39. Матрицы A и B имеют хотя бы одно общее собственное числотогда и только тогда, когда det CAB = 0.Теорема 40. Собственные числа матрицы CAB равны λj −µk , где j = 1, 2, .
. . , n,k = 1, 2, . . . , m.Следствие. Собственные числа матрицы CA равны λi − λj , где i, j =1, 2, . . . , n.Следствие. Матрица A имеет кратные собственные числа тогда и толькотогда, когда кратность собственного числа 0 больше, чем n. Матрица A неимеет кратных собственных чисел тогда и только тогда, когда кратность еесобственного числа 0 равна n.Далее мы будем предполагать, что матрицы A и B имеют по крайней мереодно общее собственное число. Рассмотрим собственные векторы матрицы CAB ,соответствующие собственному числу 0.
Каждый из этих векторов имеет mnкомпонент. Если его координаты разбить на m частей, в каждой из которыхn компонент, и последовательно поставить по столбцам, то получится матрицаX размерности n × m, удовлетворяющая уравнению AX = XB.Данное уравнение было исследовано Ф. Чечиони [65] и Ф.Г. Фробениусом [88]. Известны следующие теоремы [128]:Теорема 41. Уравнение AX = XB имеет ненулевое решение тогда и толькотогда, когда матрицы A и B имеют хотя бы одно общее собственное число.108Теорема 42. Число линейно независимых решений уравнения AX = XB равPноejk , где ejk — степень наибольшего общего делителя инвариантного множителя EjA (λ) матрицы A − λE и инвариантного множителя EkB (λ) матрицы B − λE.Замечание 13. Сумма берется по всем парам инвариантных множителейEjA (λ) и EkB (λ) (j = 1, 2, .
. . , n, k = 1, 2, . . . , m).Теперь наряду с матрицей A рассмотрим возмущенную матрицу A + εB,где B — произвольная матрица, а ε — число, достаточно близкое к нулю. Известно [138], что каждое собственное число и каждый собственный вектор возмущенной матрицы допускают разложение по дробным степеням параметра ε, вкотором коэффициент при ε в нулевой степени есть соответственно собственноечисло или собственный вектор невозмущенной матрицы A.Важную роль в исследовании спектра возмущенных матриц играют теоремы, опубликованные В. Б. Лидским в 1966 г. [23]. В статье [138] приведены точные формулы для старших членов в разложении собственных чисел и собственных векторов возмущенной матрицы по степеням параметра ε.
Для анализасобственных чисел возмущенной матрицы используется число обусловленностиГёльдера [66, 138].Определение 19. Числом обусловленности Гёльдера для собственного числаλ матрицы A называется упорядоченная пара чиселcond(λ) = (nmax , α),где nmax — порядок наибольшей клетки Жордана, соответствующей собственному числу λ, аα = max spr(YBX ).||B||≤1Здесь spr обозначает спектральный радиус, а столбцы матрицы X (и строкиматрицы Y) являются линейно независимыми правыми (левыми) собственными109векторами, соответствующими собственному числу λ, каждый из которых принадлежит цепочке Жордана максимальной длины, отвечающей данному собственному числу.Для собственных чисел λ0 возмущенной матрицы A + εB, стремящихся кλ при ε → +0, выполняется неравенство [138]|λ0 − λ| < cα1/nmax ε1/nmax(2.5)для любых положительных c > 1 и достаточно малых положительных ε. Этаоценка точная в том смысле, что для достаточно малых ε для любого c < 1найдется некоторое значение λ0 , для которого неравенство (2.5) выполнятьсяне будет.2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
