Диссертация (1145311), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Предположим, что все полиномы семейства (1.1)D-устойчивы. Очевидно, что тогда условие (i) выполняется.Если у системы уравнений (1.78) есть решение (z ∗ , ν1∗ , . . . , νk∗ ) такое, чтоz ∗ ∈ R, (ν1∗ , . . . , νk∗ ) ∈ B, то полином семейства (1.1)p∗ (z) = f (z, ν1∗ , . . . , νk∗ )имеет вещественный корень z ∗ такой, что G(z ∗ , 0) = 0, что противоречит D-устойчивости всех полиномов семейства.Аналогично, если у системы уравнений (1.79) есть решение (x∗ , Y ∗ , ν1∗ , .

. . , νk∗ )такое, что {x∗ , Y ∗ } ⊂ R, Y ∗ > 0, (ν1∗ , . . . , νk∗ ) ∈ B, то найдется полином семейства (1.1), имеющий комплексный корень z ∗ = x∗ + iy ∗ (Y ∗ = (y ∗ )2 ) такой, чтоG(x∗ , Y ∗ ) = 0.94Следовательно, мы доказали, что все условия (i), (ii), и (iii) выполнены.Обратно, предположим, что выполнены условия (i), (ii), и (iii). Предположим, что по крайней мере один полином семейства (1.1) не является D-устойчивым. Ясно, что этот полином не может принадлежать граничным семействамполиномов. Следовательно, существуют D-устойчивые полиномы, для которыхпараметры ν1 , .

. ., νk лежат внутри параллелепипеда B.Предположим, что в семействе найдется полином с корнем z = x + iyтаким, что G(x, Y ) < 0 и (ν1 , . . . , νk ) ∈ B. Тогда должен существовать также иполином с корнем z ∗ : G(x∗ , Y ∗ ) = 0 при (ν1∗ , . . . , νk∗ ) ∈ B (в нашем случае корниполиномов непрерывно зависят от параметров). Имеются две возможности: этоткорень может быть вещественным (Y ∗ = 0) или комплексным (Y ∗ > 0).Предположим, что хотя бы у одного полинома семейства (1.1) есть вещественный корень z ∗ такой, что G(z ∗ , 0) = 0. Подставим корень z ∗ в уравнение семейства.

Тогда получим новое семейство полиномов f (z ∗ , ν1 , . . . , νk ).При этом в данном семействе существует полином, обращающийся в нуль при(ν1∗ , . . . , νk∗ ) ∈ B. Согласно теореме 35, система уравненийf (z, ν1 , . . . , νk ) = 0,∂f∂f(z, ν1 , . . . , νk ) = 0, . . . ,(z, ν1 , . . . , νk ) = 0∂ν2∂νk(1.80)должна иметь решения при ν j ≤ νj ≤ ν j , (j = 1, 2, . . .

, k) для z ∗ ∈ R, являющегося корнем уравнения G(z ∗ , 0) = 0. Следовательно, система уравнений (1.78)должна иметь по крайней мере одно решение такое, что z ∈ R и ν j ≤ νj ≤ ν j ,(j = 1, 2, . . . , k). Это противоречит условию (ii) теоремы.Теперь предположим, что хотя бы у одного полинома семейства (1.1) естькомплексный корень z ∗ = x∗ + iy ∗ такой, чтоG(x∗ , Y ∗ ) = 0 (Y ∗ = (y ∗ )2 , Y ∗ > 0).Так как x∗ и Y ∗ связаны условием G(x∗ , Y ∗ ) = 0, мы можем считать переменную Y ∗ функцией переменной x∗ : Y ∗ = Y ∗ (x∗ ).

Следовательно, cистему95уравненийG(x, Y ) = 0, Ψ(x, Y, ν1 , . . . , νk ) = 0, M(x, Y, ν2 , . . . , νk ) = 0можно считать системой уравнений относительно переменных x, ν1 , . . . , νk . Таким образом, нас интересует третье уравнение системы, поскольку первые двадают только связь между Y и x и позволяют найти выражение для ν1 .

Известно, что данная система имеет по крайней мере одно решение такое, что{x, Y } ⊂ R, Y > 0 и ν j ≤ νj ≤ ν j , (j = 1, 2, . . . , k).Согласно теореме 35, система уравнений (1.79) имеет по крайней мере однорешение такое, что {x, Y } ⊂ R, Y > 0 и ν j ≤ νj ≤ ν j , (j = 1, 2, . .

. , k).Это противоречие завершает доказательство теоремы.Теперь рассмотрим численный пример.Пример 3. В [44] утверждается, что все корни семейства полиномов (сохраняя обозначения из [44] и полагая t = mv)f (z, t, v) = q8 z 8 + q7 z 7 + q6 z 6 + q5 z 5 + q4 z 4 + q3 z 3 + q2 z 2 + q1 z + q0 ,(1.81)гдеq0 = 453 · 106 v 2 , q1 = 528 · 106 v 2 + 3640 · 106 v,q2 = 5.72 · 106 tv + 113 · 106 v 2 + 4250 · 106 v,q3 = 6.93 · 106 tv + 911 · 106 v + 4220 · 106 ,q4 = 1.45 · 106 tv + 16.8 · 106 t + 338 · 106 ,q5 = 15.6 · 103 t2 + 840tv + 1.35 · 106 t + 13.5 · 106 ,q6 = 1.25 · 103 t2 + 16.8tv + 53.9 · 103 t + 270 · 103 ,q7 = 50t2 + 1080t, q8 = t2при ограничениях 1.3 ≤ v ≤ 36, 12.935 ≤ t ≤ 1152, лежат слева от левой ветвигиперболыx2Y−=10.152 0.75296на комплексной плоскости, т. е. они удовлетворяют условиям2 x − Y − 1 > 0,0.152 0.752 x < 0.Однако мы покажем, что данное утверждение неверно.Построим систему (1.77):Φ1 (x, Y, t, v) = 0, Φ2 (x, Y, t, v) = 0,(1.82)гдеΦ1 = −4050000x4 Y − 4250000000vY − 135000000x3 Y + 67500000xY 2− 808500tx4 Y + 50t2 x7 + 1080tx7 + 453000000v 2 + 338000000Y 284+ 4220000000x3 + 338000000x4 + 270000x6 + 70t2 x4 Y 2 + tvx652 662 52 3 2+ 1250t x + 53900tx + 15600t x + 1750t x Y + 16800000tx4+ 911000000vx3 + 113000000v 2 x2 + 4250000000vx2 + 528000000v 2 x+ 840tvx5 + 37800tx3 Y 2 + 1450000tvx4 + 808500tx2 Y 2+ 6930000tvx3 − 22680tx5 Y + 1450000tvY 2 + 252tvx2 Y 2+ 4200tvxY 2 − 113000000v 2 Y − 270000Y 3 − 1050t2 x5 Y− 2028000000x2 Y − 12660000000xY − 18750t2 x4 Y − 28t2 x2 Y 3− 252tvx4 Y − 8400tvx3 Y − 13500000tx3 Y − 7560txY 3− 8700000tvx2 Y − 20790000tvxY + t2 x8 − 2733000000vxY+ t2 Y 4 + 18750t2 x2 Y 2 + 6750000txY 2 − 350t2 xY 3 − 156000t2 x3 Y− 100800000tx2 Y − 5720000tvY − 1250t2 Y 3 − 53900tY 3+ 16800000tY 2 + 13500000x5 + 1350000tx5 + 3460000000vx84+ 5720000tvx2 − 28t2 x6 Y + 78000t2 xY 2 − tvY 3 + 4050000x2 Y 2597Φ2 = −67200000txY − 156000t2 x2 Y − 911000000vY − 5400000x3 Y+ 12660000000x2 + 1620000xY 2 + 8t2 x7 + 528000000v 2− 4220000000Y + 3460000000v + 13500000Y 2 + 1352000000x3+ 67500000x4 + 1620000x5 + 350t2 x6 + 7560tx6+ 7500t2 x5 + 6750000tx4 + 2733000000vx2 + 226000000v 2 x+ 8500000000vx+56t2 x3 Y 2 +4200tvx4 + 22680tx2 Y 2+ 1350000tY 2 + 5800000tvx3 + 20790000tvx2 + 840tvY 2504tvxY 2 − 56t2 x5 Y − 135000000x2 Y − 1352000000xY+5− 1750t2 x4 Y − 37800tx4 Y − 336tvx3 Y − 1078000tx3 Y− 8400tvx2 Y − 5800000tvxY + 78000t2 x4 + 1050t2 x2 Y 2+ 67200000tx3 + 323400txY 2 + 11440000tvx − 8t2 xY 3− 25000t2 x3 Y + 7500t2 xY 2 − 13500000tx2 Y − 6930000tvY504tvx5− 50t2 Y 3 + 15600t2 Y 2 − 1080tY 3 + 323400tx5 +5Выразим Y из уравнения гиперболыx2YG(x, Y ) =−− 1 = 0,20.150.752и подставим найденное выражение в уравнения системы (1.82).

Затем исключимпеременную v из полученной системы из двух уравнений. Получим полиномX (x, t) = 1278748152915862487040000t4 x20+ 18660923840890817740800000t4 x19+ 690524002574565743001600000t3 x19+ 51911971388539631678832640000t4 x18+ 10076898874081041580032000000t3 x18+ 523373022336749162998784000000t4 x17+ 12508108904502351219440025600000t3 x1798+ 11536023450930511921329909760000t4 x16− 106346561950259451088220160000000t3 x16− 553243148281600291307520000000000t2 x16+ 126909558850478840311688284160000t4 x15+ 4051311377785459734997728870400000t3 x15− 42470078997213230741913600000000000t2 x15− 135860490950215090176000000000000000tx15− 177756320059335112931691952320000t4 x14+ 912625413143511812859678720000000000t2 x14− 41945683720830289920000000000000000tx14+ 50234364253218906953870508646400000t3 x14+ 3920308762130841600000000000000000000x14− 92860804934105782113426342252800000t3 x13+ 5193262617248002693234841600000000000t2 x13+ 137803299920011862507904000000000000000tx13− 1360104191439680391508258143680000t4 x13+ 84262842547513344000000000000000000000x13− 831561839734859300108316532080000t4 x12− 569431029697101642132371498067200000t3 x12− 26140757389160245526629836800000000000t2 x12+ 714468624854364297694400000000000000000tx1299+ 6935287353014097792000000000000000000000x12− 44396814134091856976047879552500t4 x11− 640421157376160250285371396103200000t3 x11− 73686074866663199183316764480000000000t2 x11− 3259950301632229341733856000000000000000tx11− 24873800174149168944000000000000000000000x11− 197213027353583788468914489586875/4t4 x10− 196677416207045605601026361618350000t3 x10− 116884523221425999746423568260000000000t2 x10− 10260029142485893327050794000000000000000tx10− 332743895279398320816700000000000000000000x10+ 33464961849696005468240793121875/8t4 x9+ 23957723290988270455396921272646875t3 x9− 73349337363342307967123824050000000000t2 x9− 13457474568294195652345110125000000000000tx9− 241137923877613819794700000000000000000000x9+ 380980311364918765521836745508125/32t4 x8+ 71315012263423892705879725546453125/2t3 x8− 19192301454080721023859710168125000000t2 x8− 8041774316370962396546077062500000000000tx8− 928832592123176769960712500000000000000000x8100+ 232006408214175558108786525496875/32t4 x7− 81885299734585755367948413041559375/8t3 x7+ 11816513555024952199582819720312500000t2 x7− 5280123142373121714232491109375000000000tx7− 365807080222643084471043750000000000000000x7− 1994327265810900385407381436254375/2048t4 x6+ 1678954211317000488224132179734375/8t3 x6− 92148872072249617891488662519531250t2 x6+ 828731569964766555258773400390625000000tx6− 408810948028651571213338476562500000000000x6− 517672292202664251033526347313125/1024t4 x5+ 353144116352894260845417046691596875/512t3 x5− 576338073251221662106088887060546875t2 x5+ 295025564328898157781899271606445312500tx5− 60800797518142217173496289062500000000000x5+ 2497878328189267993386275683183125/65536t4 x4− 27300794882631517527633345989615625/256t3 x4+ 144892958696009170718150202626953125/2t2 x4− 31394318550329936808287744567871093750tx4+ 9255352511557371810218078613281250000000x4+ 6088962226201945011121186005519375/524288t4 x3101− 262102186167441588903741229046840625/16384t3 x3+ 331477728499385909879334005126953125/32t2 x3− 5909323315988451845195235626220703125tx3+ 1957897028240585619222207641601562500000x3− 5794725234465117243947022667205625/8388608t4 x2+ 403909860162678081719934595547615625/131072t3 x2− 1134988668583166308006525716826171875/512t2 x2+ 3879576382007724178697029083251953125/16tx2+ 130387345295479036736545658111572265625x2− 1486823392017435976111089367430625/16777216t4 x+ 261825848481488617059567185379740625/2097152t3 x− 58949966145867455802792189287109375/1024t2 x+ 11935985508359115770722751861572265625/256tx− 10134174409099762391337490081787109375x+ 1226786483101733910503774015625/262144t4− 107790080634481301193626751624384375/4194304t3+ 648790191872195415621835227978515625/32768t2+ 1469401220116593974297328277587890625/512t− 2780737104500325442990207672119140625Для любого значения t из интервала [12.935, 1152] этот полином, рассматриваемый как полином относительно x, не должен иметь вещественных корней.Рассмотрим систему уравненийX (x, t) = 0,∂X= 0,∂t102которая состоит из двух последних уравнений системы (1.79).

Исключая из этихуравнений переменную t, получим полиномD(x) = 64018432 · 1060 x104 − 9562852746725191085320708987056384\02781791261114557996316858095419087715711229401279575009530077\453057963247492991792709632 · 1061 x103 − 30477586200419696191551\48253934141645671938889985193745184438430429636096029\261547135084249148762224929633167991145203025051648 · 1060 x102−26974600820364588115862000660750877891934921\76548761101792214092325464599597407677827807554918986\3934453296193820300757295955968 · 1061 x101 + 25101251219\92951715440235898321069265233511261980679318084334891\41911318266062472642444069291223554195377752395575140\90784040681472 · 1060 x100 + 50442461997883716179152707367758005340\42488328780141096458422122156889848301733290845043249631652570777209\33959067121386181189697536 · 1060 x99 + 11986560834124128205695060715604\04521545869171323714824210552269352634125362181971219\707078828460036149054120371176822534698770473418752 · 1060 x98 \+8997070266495854825778304417076527362099677531298\73273802890152383672835617543289465737136484335541\68613054733978305637571924345124552704 · 1060 x97 − 755608\43707599913631443113859729750359059999114926652\168114327294159544367167742645270954432499757013229\66357221441490333020485676582305792 · 1060 x96 − .

Характеристики

Список файлов диссертации